Probabilidades

“Será que vai chover amanhã ?”
Quantificando a incerteza
Probabilidades – Aula 1
Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas
“Vai chover amanhã?”
“Quanto tempo levarei de casa até a universidade?”
“Em quanto tempo serei atendido se eu pegar a fila única?”
“E se eu pegar as filas separadas?”
Na área científico-investigativa,
não é diferente ….
“Se fizermos uma intervenção ‘X’, quantos casos da
doença eliminaremos na área 1 ?”
“Quantos bebês dos próximos 10 recém-nascidos
precisarão de cuidados na UTI neo-natal ?”
“Qual será o tamanho da ninhada de uma fêmea felina
da raça siamesa?”
“Se nascerem 6 gatinhos, quantos vão sobreviver?”
Lidando com a incerteza
Uma das maneiras de lidar com a incerteza
acerca de um evento é expressá-la em
números.
Ou seja , quantificando a incerteza.
Probabilidades:
quantificando a incerteza
Probabilidade é uma medida da incerteza
acerca de um evento.
Esta medida é um número que vai de 0 a 1.
Quanto maior a probabilidade de evento,
menor a incerteza acerca dele.
“Segundo o centro de meteorologia, a probabilidade de
chover amanhã é de 0.60 (ou 60%)”
“A probabilidade de gastar mais de 20 minutos de casa
até o trabalho é de 75%”
“A probabilidade de esperar menos de 2 minutos na fila
única é de 85%”
“Na fila separada, esta probabilidade
é de 40%”
Conceitos básicos
Experimento aleatório é aquele no qual os resultados possíveis são
conhecidos antes da realização do experimento, mas só saberemos
qual deles irá ocorrer quando ele for realizado.
EXEMPLOS:
Experimento aleatório 1: retirar uma carta de um baralho de 52
cartas e verificar sua cor.
Resultados possíveis: {vermelha, preta}
Experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a face de cima.
Resultados possíveis: {1,2,3,4,5,6}
Experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e verificar
quantos filhos ela tem.
Resultados possíveis: {0,1,2,3,4....}
Conceitos básicos
Espaço Amostral (E) é o conjunto de resultados possíveis para um
experimento aleatório.
EXEMPLOS:
Para o experimento aleatório 1: retirar uma carta de um
baralho de 52 cartas e verificar sua cor.
Espaço amostral E1 = {vermelha, preta}
Para o experimento aleatório 2: jogar um dado e observar a
face de cima.
Espaço amostral E2 ={1,2,3,4,5,6}
Para o experimento aleatório 3: sortear uma mulher na cidade e
verificar quantos filhos ela tem.
Espaço amostral E3 ={0,1,2,3,4....}
Conceitos básicos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um
experimento aleatório é chamado
EXEMPLOS:
do espaço amostral E1, A = {preta}
do espaço amostral E2, B = {2,4,6}
A é um Evento Simples (somente um elemento do espaço amostral)
Evento Complementar ( A ): o complementar de um evento A é
formado pelos elementos do espaço amostral que não fazem
parte do evento.
Exemplo:
se o espaço amostral é E2 = {1,2,3,4,5,6} e
B = {2,4,6}, B = {1,3,5}
Conceitos básicos
Evento vazio ( ∅) é evento que não contém nenhum elemento do
espaço amostral.
Exemplo: no experimento aleatório 1, o evento B: “carta verde” é
um evento vazio, B = ∅ .
Evento União ( A ∪ B ): o evento “A união B” é formado pelos
elementos que estão em A ou em B.
Conceitos básicos
Evento Interseção ( A ∩ B ): o evento “A interseção B” é formado
pelos elementos que estão em A e em B.
Exemplo : Sejam os eventos
A “sair um número par na jogada de um dado”, A = { 2, 4, 6} e
B “sair um número menor do que 4 na jogada de um dado”,
B = {1, 2, 3} .
O evento união é formado por (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 6} e
O evento interseção é formado por (A ∩ B) = { 2 }.
Conceitos básicos
Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos A e B são
mutuamente exclusivos quando A ∩ B=∅
B
A
E
Exemplo : Seja o experimento aleatório “retirar uma carta de um
baralho de 52 cartas”
A : “sair uma carta vermelha”, A = {vermelha} e
B : “sair uma carta de espadas”, B = {espadas} .
O evento interseção (A ∩ B)=∅
Definição Clássica para Probabilidade
Quando TODOS os elementos do espaço amostral têm a mesma
probabilidade de ocorrerem, a definição clássica da
probabilidade de um evento A ocorrer é dada por
P( A ) =
número de elementos do evento A
total de elementos do espaço amostral
Exemplo: seja o experimento aleatório “jogar um dado e observar
a face de cima”.
Se o dado for honesto, todas as seis faces têm a mesma
probabilidade de saírem para cima.
Assim, a probabilidade do evento F “o número é par”, F = {2,4,6},
é dada por P(F)=3/6=0.5.
Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de
52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número
E= {A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠
A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣
A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥
A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦}
A = “carta preta”
B= “carta com letra”
P(A)=26/52 = 1/2
P(B) = 16/52 = 4/13
C = “carta de copas” P(C) = 13/52 = 1/4
D = “carta de ouros preta” P(D) = 0/52 = 0
Propriedades da Probabilidade
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2.
P(E) =1
3.
P(A) = 1 - P(A)
Probabilidade da União de Dois Eventos
P(A ∪ B) = P(A) + P (B) - P (A ∩ B)
Probabilidade Condicional
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que o
evento B ocorreu, é dada por:
P( A ∩ B)
P( A | B) =
P( B)
Exemplo: no experimento aleatório “jogar um dado e observar
a face de cima”.
Eventos: F = {2,4,6} e B={2}.
16 1
P( F ∩ B)
P ({2})
=
=
P( B | F ) =
=
P( F )
P({2,4,6}) 3 6 3
Probabilidade Condicional
Podemos enxergar a probabilidade condicional como uma
redução do espaço amostral inicial.
Exemplo: o experimento aleatório “jogar um dado e observar a
face de cima”.
Espaço amostral inicial E = {1,2,3,4,5,6}
Se F = {2,4,6} ocorre, então o espaço amostral inicial E={1,2,3,4,5,6}
é reduzido para E’={2,4,6}
1
P( B | F ) =
3
Independência de Eventos
Se a ocorrência de B não altera a probabilidade
de ocorrência de A, os eventos A e B são
independentes.
Ou seja, se
P ( A | B ) = P ( A)
os eventos A e B são independentes.
Independência de Eventos
Se A e B são independentes, isto significa que
P ( A ∩ B ) = P( B ) × P( A)
ind
PP((AA∩ BB)) indind
PP((PAA(|A
|BB|))B==)
== PP((PAA())A⇒
)⇒
PP((PAA( A ∩
BB))B ) P=
P((P
AA())A)PP
×((P
BB())B )
P( B)
Experimento aleatório: retirar uma carta de um baralho de
52 cartas e verificar sua cor, naipe ou número
E= {A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠
A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣
A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥
A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦}
A = “carta preta”
B= “carta com letra”
P(A)=26/52 = 1/2
P(B) = 16/52 = 4/13
A e B são eventos independentes ?
P(B|A) = 8/26 = 4/13 = P(B). SIM
Interseção A e B : P(AB) = 8/52 = 2/13
Experimento aleatório: jogar um dado e verificar qual é a
face de cima
E= {
}
A = “número 4”
B= “número ímpar”
P(A)=1/6
P(B) = 3/6 = 1/2
AB = “número ímpar igual a 4”
P(AB) = 0/6 = 0
A e B são eventos independentes ?
P(B|A) = P(AB)/P(A) = 0/(1/6) = 0 ≠ P(B). NÃO
Definição Frequentista da Probabilidade
Quando os elementos do espaço amostral NÃO têm a
mesma probabilidade de ocorrerem, a definição
clássica da probabilidade NÃO pode ser usada.
A probabilidade de um evento deve ser
estimada atráves da frequência da ocorrência
do evento na repetição do experimento um
grande número de vezes.
Definição Frequentista da Probabilidade
Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja
portadora da bactéria H. pylori ?
Experimento aleatório : “selecionar uma pessoa do grupo
de interesse e verificar um dos resultados possíveis:
E = {portadora, não-portadora}
P( portadora ) ≠ P (não − portadora )
A probabilidade de ser portadora deve ser estimada com a
utilização de uma grande amostra de pessoas do grupo de
interesse
Definição Frequentista da Probabilidade
Exemplo: Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja
portadora da bactéria H. pylori ?
# de pessoas portadoras na amostra
ˆ
P ( portadora) =
tamanho da amostra
O valor de Pˆ ( portadora ) é uma estimativa de P( portadora )
Cálculo de Probabilidades em
tabelas de classificação cruzada
Grupo
Sangüíneo
Tromboembolismo
Doente
Sadia
A
32
51
83
B
8
19
27
AB
6
5
11
O
9
70
79
Total
55
145
200
Total
55
P (doente) =
= 0.275
200
P( sadia ) = 1 − P (doente)
= 1 − 0.275 = 0.725
83
P ( A) =
= 0.415
200
32
P ( A ∩ doente) =
= 0.16
200
Cálculo de Probabilidades em
tabelas de classificação cruzada
Grupo
Sangüíneo
Tromboembolismo
Doente
Sadia
A
32
51
83
B
8
19
27
AB
6
5
11
O
9
70
79
Total
55
145
200
32
P ( A ∩ doente) =
= 0.16
200
Total
32
P (doente | A) =
= 0.385
83
Os eventos “ser doente” e “pertencer ao grupo sanguíneo A”
podem ser considerados independentes ? NÃO
P (doente) = 0.275
P (doente | A) ≠ P (doente)
Para pensar …
Um exame rápido para detecção de leishmaniose em
cães resulta em positivo para 90% dos animais doentes
examinados.
Dentre os animais sadios, o resultado é negativo para
80% dos animais testados.
Acredita-se que 15% dos cães de uma determinada
região da cidade sejam portadores da leishmaniose.
Se um cão dessa região é testado e seu resultado é
positivo, qual é a probabilidade de que ele esteja
realmente doente?
Para saber mais …
Seções 1 e 2 da Apostila “Avaliação de Testes
Diagnósticos” (Reis e Reis, 2002)
Para praticar …
Exercícios da Seção 3 do Caderno de Exercícios
Referências Bibliográficas
REIS, E. A. ; REIS, I. A. (2002) Avaliação de Testes Diagnósticos.
Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG.
Disponível em: http://www.est.ufmg.br