Lista – Razões e Equações Trigonométricas

Lista – Razões e Equações Trigonométricas - Prof. Gaspar
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2
1. (Fgv 2010) No intervalo [0, π], a equação 8sen
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
x
senx 
4
1
8
admite o seguinte número de raízes:
2. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar.
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55°
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75°
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195°
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115°
°
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195
3. (Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa.
No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de
comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme
ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
a)
2m
b) 2 2 m
c) 3 2 m
d) 4 2 m
e) 5 2 m
4. (Pucrj 2010) O valor de
cos 45  sen30
é:
cos60
a)
2 1
b) 2
c)
2
4
d)
2 1
2
e) 0
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5. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do
ângulo A F̂ B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2.
6. (G1 - cftmg 2011) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de medida, em radianos,
igual a
56 π
3
7π
b) 
4
5π
c)
6
21π
d)
5
a) 
7. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.
Dados: sen 60º 
1
3
; cos 60º  ; tg 60º  3 .
2
2
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A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é
a) 600 dam
b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
8. (Fgv 2012) No intervalo 0,4π, a equação sen3 x  2sen2 x  5senx  6  0 tem raízes cuja soma é:
a) 2
b) -2
c) 6
π
d)
2
e) 3π
9. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo
5π
radianos.
α mede
6
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é
a) 26 3.
b)
3.
3
.
2
3
d)
.
3
c)
10. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280°) é
1
a)  .
2
1
b) .
2
2
.
c) 
2
3
.
d) 
2
3
.
e)
2
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11. (G1 - ifal 2012) Considerando-se o arco trigonométrico α 
23π
rad, assinale a alternativa falsa.
3
a) α  1380.
b) α dá três voltas e para no 4° quadrante.
c) sen α  sen 60.
d) cos α  cos 60.
e) α dá três voltas e para no 1° quadrante.
12. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto
P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma
distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, podese afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre
a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7
13. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado
instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na
planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a
distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1)
d) 180 ( 3 – 1)
e) 180 ( 3 + 1)
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14. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível
determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a
uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa
o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o
teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T,
mede o ângulo de 60° com a horizontal.
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à
qual pertencem A e B é, em metros:
a) 80 3  1,5
b) 80 3  1,5
c)
160 3
 1,5
3
d)
160 3
 1,5
3
15. (Ifsp 2013)
Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa
ˆ
circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5π cm. A medida do ângulo central AOB,
correspondente ao arco AB considerado, é
a) 120°.
b) 150°.
c) 180°.
d) 210°.
e) 240°.
16. (Ucs 2014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em
 2π(t  105) 
função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por T(t)  14  12sen 
.
364


Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de
a) julho.
b) setembro.
c) junho.
d) dezembro.
e) março.
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17. (Ufjf-pism 2 2015) No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas transversais, um engenheiro
obteve a seguinte equação sen x  sen3 x. Sabendo que x não excede 180, é CORRETO afirmar que:
a) x  1
b) x  0
c) x  1
π
d) x 
2
3π
e) x 
2
18. (Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles
que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em
que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com
preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal
 πx  π 
pode ser descrito pela função P(x)  8  5cos 
 , onde x representa o mês do ano, sendo x  1 associado ao
 6 
mês de janeiro, x  2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x  12 associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
a) janeiro.
b) abril.
c) junho.
d) julho.
e) outubro.
19. (Espcex (Aman) 2015) O valor de  cos 165  sen 155  cos 145  sen 25  cos 35  cos 15  é
a)
2.
b) 1.
c) 0.
d) 1.
e)
1
.
2
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
3
8 sen
2
4
x
3sen3 x
2
senx
2
1
8
2 senx
1
8
3.sen x = 2senx –
1
(.4)
4
2
12.sen x = 8senx – 1
2
12.sen x - 8senx + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:
1
1
ou senx =
2
6
Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no intervalo dado.
senx =
Resposta da questão 2:
[E]
Dividindo 4555° por 360° obtemos quociente 12 e resto 235°
Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante.
Dividindo 4195° por 360 obtemos quociente 11 e resto 235°
Concluímos, então que 4555° é côngruo de 4195°
Logo a resposta E é a correta.
Resposta da questão 3:
[B]
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x2  x2  22
o
sen 30 =
2
 L  2. 2
L
x 2
Resposta da questão 4:
[A]
2 1 1

( 2  1)
2 2  2
 2 1
1
1
2
2
Resposta da questão 5:
[A]
o
tg 30 =
x
3
 x  600.
 x  200. 3m
600
3
Resposta da questão 6:
[A]
56π 54π 2π


3
3
3
Logo, sua primeira determinação positiva é 2π 
2π 4 π
(terceiro quadrante).

3
3
Resposta da questão 7:
[D]
h = altura.
sen60o 
h
12
3
h

2
12
h  6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 8:
[E]
Sabendo que senx = 1 é uma das raízes da equação polinomial na incógnita senx, temos:


sen3 x  2sen2 x  5senx  6  0   senx  1  sen2 x – senx – 6  0, logo:
π
5π
ou x 
2
2
senx  3 (não convém) ou senx  2 (não convém)
senx  1  x 
Portanto, a soma pedida é 3π.
Resposta da questão 9:
[B]
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AB =  cos
AC = sen
5π
3

6
2
5π 1

6
2
Portanto:
3
AB
2

 3.
1
AC
2
Resposta da questão 10:
[A]
2280° = 360°.6 + 120°
1
Logo, cos (2 280°) = cos 120° =  .
2
Resposta da questão 11:
[E]
α
23π 5π

 3  2π
3
3
23π 23  180

 1380 .
3
3
23π 5π
[B] Verdadeira, pois α 

 3  2π .
3
3
[A] Verdadeira, pois α 
[C] Verdadeira, pois sen α  sen 60 
[D] Verdadeira, pois cos α  cos 60 
 3
.
2
1
.
2
[E] Falsa, pois dá três voltas e para no 4º quadrante.
Resposta da questão 12:
[B]
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que h2  h2  (6 2)2 , logo h = 6.
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No triângulo APR, podemos escrever:
tg30 
h
h  AB
3
6

3
AB  6
AB 
18  6 3
3
AB 
18 3  18
3
AB
4,2
e 4 < 4,2 < 5.
Resposta da questão 13:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ  45, segue que PQ  QG. Desse modo, AQ  240  QG  240  PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
tgQAP 
PQ
AQ

3
PQ

3
240  PQ
 (3  3)PQ  240 3
 PQ 
240 3
 PQ 
240 3 3  3

 120( 3  1) m.
3 3 3 3
3 3
Resposta da questão 14:
[A]
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H é a altura do morro em metros.
O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m.
No triângulo assinalado, temos:
sen60 


H  1,5
3 H  1,5


 H  80 3  1,5 m
160
2
160
Resposta da questão 15:
[B]
Medida do arco em rad:
5π
rad.
6
5π
rad  150°.
6
Resposta da questão 16:
[A]
A temperatura média máxima ocorre quando
π
 2π(t  105) 
 2π(t  105) 
sen 
  1  sen 
  sen 2
364
364




2π(t  105) π

  2kπ
364
2
 t  105  91  364k
 t  196  364k, k  .
Assim, tomando k  0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja,
no mês de julho.
Resposta da questão 17:
[D]
Sendo 0  x  π, temos
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sen x  sen3 x  sen x  (1  sen2 x)  0
 sen x  cos2 x  0
sen x  0

ou
cos2 x  0
x
π
.
2
Resposta da questão 18:
[D]
 πx  π 
A produção é máxima quando preço é mínimo, ou seja, quando cos 
  1. O menor valor positivo de x para
 6 
o qual se tem o preço mínimo é tal que
πx  π
 πx  π 
cos 
  cos π  6  π  2kπ
6


 x  12k  7, k  .
Portanto, para k  0, segue que x  7, e o mês de produção máxima desse produto é julho
Resposta da questão 19:
[C]
 cos165  sen155  cos145  sen25  cos35  cos15 
 cos15  sen25  cos35  sen25  cos35  cos15  0
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