teoremas usando -médio

CALCULO II
Teorema Fundamental do Calculo
TEOREMA FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
O que vimos na aula passada por meio de cálculos
numéricos(somas de Riemman ) :
b
S=
! f (x)dx
a
N
! f (xi) ! x, onde
i=0
!x =
b!a
N
TEOREMA FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
Se f’ existe para todo intervalo [a,b] então:
b
S=
" f '(x)dx = f (b) ! f (a)
a
A integral definida de a até b de uma função derivada
dá a variação total, expressa pela diferença dos valores
da função nos extremos do intervalo
TEOREMA FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
Portanto , calcular a integral de uma função
corresponde a encontrar a função f a partir da sua
derivada.
f é chamada de primitiva de f’
Por isso a integral também é chamada de antiderivada
b
S=
" f '(x)dx = f (b) ! f (a)
a
Derivadas
Primitivas
TEOREMA FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
Na literatura além do símbolo usual para denominar a
operação de integral ( s alongado ) também é muito
comum encontra a notação abaixo , ambas são
equivalentes
b
" f '(x)dx = f (b) ! f (a)
a
b
!
f '(x)dx =[ f (x)]xx =b
= a = f (b) " f (a)
a
EXEMPLO
Aproxime a função abaixo por somas de riemann e
depois calcule , utilizando o teorema fundamental do
cálculo . Compare os resultados...
4
! 2xdx
0
USANDO SOMAS DE
RIEMANN
Tomando n=8 , tem-se: ! x =
4!0
= 0, 5
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
! 2xdx
0
!Soma Inferior = (0+1+2+3+4+5+6+7)*0,5
!Soma Inferior =14
!Soma Superior = (1+2+3+4+5+6+7+8)*0,5
!Soma Superior = 18
4
Assim, 14 <
! 2xdx
<18
0
USANDO O TEOREMA
4
2 4
2
2
2xdx
=
[x
]
=
4
"
0
= 16
0
!
0
O teorema leva a um resultado exato , o qual pertence
ao intervalo aproximado por meio das somas .
EXERCÍCIO
Calcule as integrais abaixo usando o teorema
fundamental do cálculo.
! /2
" cos xdx
0
5
" dx
!2
REGRAS DE DERIVAÇÃO
PARTE I
INTEGRAL DE F.
POTÊNCIA
Valido para n ! -1
x =b
b
! 1 n +1 $
'a x dx = #" n + 1 x &%
x=a
n
EXERCÍCIO
Calcule o valor das integrais abaixo:
2
" x dx
3
!1
4
!
1
1
dt
t
EXERCÍCIO
x=2
! x4 $
2 4 ('1)4 15
3
('1 x dx = #" 4 &% = 4 - 4 = 4
x=-1
2
x=4
4
!
1
# " 1 +1 &
4
x=4
1
1
1
% t 2 (
1
" 12
#
2&
2
2
dt = ! t dt = %
=
2t
=
2(4)
"
2(1)
=2
(
%
(
1
$
'
x =1
t
1
% " + 1(
$ 2
' x =1
INTEGRAL DA F.
INVERSA
A função cuja a derivada é 1/x é f(x) = ln x.
Na verdade isso só vale para x>0 pois o log neperiano
não tem definição em valores negativos.
b
1
x =b
!a x dx = [ ln | x |]x = a
INTEGRAL DA FUNÇÃO
b
% e dx = !" e
x
a
x
e
x
x =b
#$ x = a
EXERCÍCIOS
Paramos aqui
Calcule o valor da integral abaixo:
2
1
!1 x dx
2
Considerando que depois de t horas uma população de
fungos marinhos está crescendo a uma taxa de et
milhões de células por hora , qual o crescimento total
durante a primeira hora??
EXERCÍCIOS
2
1
1
x=2
dx
=
ln
|
x
|
=
ln
2
"
ln
= 1.3863
[
]
!1 x
x = 12
2
2
1
t
! e dx
x
0
x =1
x
x
0
!
#
e
dx
=
e
=
e
%
e
= e %1
" $x=0
&
0
PROPRIEDADES DA
INTEGRAL - PARTE I
PROPRIEDADE DE
INTEGRAIS
Propriedade 1: Integra de uma constante
multiplicando uma função.
b
b
a
a
! c. f (x)dx = c.! f (x)dx
Propriedade 2: Integra da soma de funções
b
b
b
a
a
a
! [ f (x) + g(x)]dx = ! f (x)dx + ! g(x)dx
EXEMPLOS
Calcule as integrais abaixo
2
4
3x
" dx
!1
2
5
"1/2 x dx
!1
!1
2&
# 22
3x
+
5x
+
"!2 %$3x + 5x dxx (' dx
"(
!2
)
EXEMPLOS
Resolução:
2
) 2 5 (!1)5 , 3.33 99
# x5 &
4
"!1 3x dx = 3. %$ 5 (' = 3.+* 5 ! 5 .- = 5 = 5
!1
2
2
5
1
2
dx
=
5
ln
x
=
5(ln
2
"
ln
) = 6.9314
[
]
!1/2 x
1/2
2
!1
" ( 3x
2
!1
)
+ 5x dx =
!2
!1
" 3x dx + " 5xdx
2
!2
!2
EXEMPLOS
!1
" ( 3x
2
!2
'1
!1
)
+ 5x dx =
!1
" 3x dx + " 5xdx
2
!2
!2
'1
! x3 $
! x2 $
'13 '2 3
'12 '2 2
3 # & + 5 # & = 3(
'
) + 5(
'
)
3
2
3
3
2
2
" % '2
" % '2
7
'3
3. + 5( ) = '0.5
3
2
O que significa geometricamente esse
valor negativo??
PROPRIEDADE DE
INTEGRAIS
Propriedade 3: se a e b são os limites da integral logo
b
a
a
b
" f (x)dx = ! " f (x)dx
EXEMPLO
" /2
0
0
" /2
# cos xdx = 1 ! # cos xdx = $1
!1
" ( 3x
!2
2
)
+ 5x dx = !0.5 #
!2
" ( 3x
!1
2
)
+ 5x dx = 0.5
PROPRIEDADE DE
INTEGRAIS
Propriedade 4: Considere c ! ao intervalo [a,b]
b
c
b
a
a
c
! f (x)dx = ! f (x)dx + ! f (x)dx
EXEMPLO
1,8
Supondo que
! senx dx = 0.89348 , ! senx dx = 0.31027.
0
Calcule:
1.8
a) ! senx 2 dx
1
1
b) ! senx 2 dx
"1
"1
c) ! senx 2 dx
1.8
1
2
2
0
EXEMPLO
1.8
a) ! senx 2 dx
1
sabe se que é valido a seguinte propriedade:
1.8
1
1.8
! senx dx = ! senx dx + ! senx dx
2
2
0
0
1.8
1.8
2
1
1
! senx dx = ! senx dx " ! senx dx = 0.89348 " 0.31027 = 0.58321
2
1
2
0
2
0