números complexos

NÚMEROS COMPLEXOS
1) (UFRGS) A raiz x da equação a2 x - b=0, para a=1+i e b=2-i, é
(a) -0,5 - i
(b) -0,5 + i
(c) 0,5 - i
(d) 0,5 + i
(e) -1 - 2i
2) (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i) / (1 - i) é
(a) 1/2 + 3/2 i
(b) -1/2 + 3/2 i
(c) -1/2 + 2/3 i
(d) -1/2 - 2/3 i
(e) 1/2 - 3/2 i
3) (UFRGS) O valor de x que torna o número complexo m = 2 + (x-i)×(2-2i) um imaginário
puro é
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) i
(e) 2
4) (UFPA) Qual o valor de m para que o produto (2+mi)×(3+mi) seja um imaginário puro?
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8
(e) 10
1
5) (PUC) O número complexo
(a )
1
2  8i
(b)
1 8
 i
2 17
(c )
4 15

i
17 34
(d )
(e)
4
1
é igual a

4  i 2i
4 19

i
17 34
16 25
 i
17 34
6) (FCMSC) Se z = a+bi, com aR e bR*, então
(a) z + z não é um número real
(b) z - z não é um número real
(c) z . z não é um número real
(d) z / z é número real
(e) z2 é número real
7) Sendo z um número complexo, podemos afirmar que
(a) z . z é sempre um número real
(b) 1/z nunca poderá ser igual a - z
(c) z2 nunca é negativo
(d) z nunca poderá ser igual a z
(e) z4 = z8 apenas para z = 0 ou z = 1
2
8) (UFRGS) Se z = a + bi com b  0, a alternativa FALSA é
(a) z + z é um número real.
(b) z . z é um número real.
(c) z - z
não é um número real.
(d) z + z é um número real.
(e) z =  a2 + b2
9) (UFRGS) Se p(z) é um polinômio de coeficientes reais e p(i) = 2–i, então p(-i) vale
(a) –2 +i
(b) 2 + i
(c) –2 - i
(d) 1 + 2i
(e) 1 – 2i
10) (UFRGS) Considere Z1= -3 - 2i e Z2=4 - i. A representação trigonométrica de
z1  z 2 é
(a) (cos /4 + i sen /4)
(b) 2 (cos /4 + i sen /4)
(c) (cos 3/4 + i sen 3/4)
(d) 2 (cos 7/4 + i sen 7/4)
(e) (cos 7/4 + i sen 7/4)
11) O valor de (1+i)10 é
(a) 1
(b) i
(c) 32
(d) 32i
(e) 1024i
3
12) A forma trigonométrica do número complexo z=(1/2- i/2)-1 é
(a) 0,5 (cos(60o) + i sen(60o))
(b) 2 (cos(60o) + i sen(60o))
(c) 2 (cos(45o) + i sen(45o))
(d) 2 (cos(45o) + i sen(45o))
(e) 0,5 (cos(45o) + i sen(45o))
13) A região sombreada na figura representa o conjunto de todo z = r (cos() +i sen()) tal
que
450
(a) 0  r  1 e 3/4    5/4
(b) -1  r  1 e -/4    /4
(c) 0  r  1 e -/4    3/4
(d) -1  r  1 e -/4    3/4
(e) 0  r  1 e -/4    /4
14) (UFRGS) Se Z=3+i e Z’=3+3i, então Z×Z’
respectivamente, iguais a
(a) 23 e 30°
(b) 32 e 30 °
(c) 32 e 60°
(d) 43 e 30°
(e) 43 e 60°
4
tem módulo e argumento,
15) (UM) Se z=cos 6°+ i sen 6°, então z15 é igual a
(a) 1/2
(b) i
(c) 2
(d) 2
(e) 3
16) (PUC) Seja z um número complexo cujo afixo P está representando abaixo no plano
Argand-Gauss. A forma trigonométrica do número z é
y
(a) 3 (cos 150° + i sen 150°)
P
(b) 3 (cos 30° + i sen 30°)
3/2
-3/2
(c) 3 (-cos 150° + i sen 150°)
x
(d) 3 (cos 120° + i sen 120°)
(e) 3 (-cos 60° + i sen 60°)
17) (CESGRANRIO) O menor n > 0, de modo que (
3 1 n
 i) seja real positivo, é
2 2
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 8
(e) 12
18) (PUC) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, z e z no plano ArgandGauss são os vértices de um triângulo equilátero, então a medida do segmento que une as
imagens de z e z é
(a)
(b)
z
2
z
2
(c) z
(d) 2Re(z)
(e) Im(z)
5
19) (FURG) As raízes da equação polinomial z3 – 1=0 determinam, no plano complexo, um
triângulo. Qual a área desse triângulo?
(a) 33/4
(b) 33/2
(c) 33
(d) 35
(e) 1
20) Sabendo que ei = cos() + i sen(), ei + 1 vale
(a) 0
(b) 1
(c) –1
(d) i
(e) –i
21) Um possível logaritmo natural de um número complexo z é ln(z)= i + ln(r), onde r e 
é o módulo e o argumento de z. Um possível valor para ln(-1) é
(a) i
(b) 2i
(c) i
(d) 2i
(e) i/2
22) (UFRGS) (1 + i)15 é igual a
(a) 64(1 + i)
(b) 128(1 – i)
(c) 128(-1 – i)
(d) 256(-1 + i)
(e) 256(1 + i)
6
23) (UFGRS/2006) Sendo z um número complexo e z o seu conjugado, a representação
geométrica do conjunto solução da equação z = z -1 é
(a) um segmento de reta.
(b) uma reta.
(c) um arco de círculo.
(d) um círculo.
(e) uma parábola.
24) (UFRGS) Se u é um número complexo, as representações gráficas de u e iu podem ser
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
7
25) (FFFCMPA/2006) No gráfico abaixo, os pontos A, B, C são vértices de um triângulo
equilátero, inscrito num círculo de raio 1 cujo centro está na origem do sistema de
coordenadas. Identificando A, B, C com números complexos z, w, t, nesta ordem, examine
as sentenças abaixo.
I - z, w, t são raízes de 1.
II - w, t são números complexos conjugados.
B
III - z, w, t têm o mesmo módulo.
A
Quais são verdadeiras?
C
(a) Apenas I
(b) Apenas II
(c) Apenas III
(d) Apenas II e III
(e) I, II e III
8
RESOLUÇÃO
1) a2 x - b = 0, para a = 1 + i e b = 2 - i.
a2x=b
b
2i
2i
2i
2  i (2  i)  2i  4i  2  4i 2
x 2 







  i  0,5
2
2
1  2i  1
2i
2i
 2i
4
4
4
a
(1  i)
1  2i  (i)
2)
(1  2i) (1  i) 1  i  2i  2  1  3i
1 3



  i
(1  i) (1  i) 1  i  i  1
2
2 2
3) m = 2+(x-i)×(2-2i) = 2+(2x-2xi-2i-2) = 2x-2xi-2i = 2x-2(x+1)i.
Em m=2x-2(x+1)i, a parte real é a=2x e a parte imaginária é b=-2(x+1).
Para ser imaginário puro, a=2x=0 e b=-2(x+1)≠ 0.
Para x=0, temos que a=0 e b=-2≠0, sendo a+bi imaginário puro.
4) (2+mi)×(3+mi)=6+2mi+3mi-m2 = 6-m2+5mi
Parte real a=6-m2, parte imaginária b=5m.
Para ser imaginário puro, a=6-m2=0 e b=5m≠ 0.
Se 6-m2=0, então 6=m2, m=±√ 6.
Se 5m≠ 0, então m≠ 0.
Logo, m=±√ 6
5)
4
4
4i
16  4i
16  4i




4  i 4  i 4  i 16  4i  4i  1
17
1
1  2i  2i
i
 


2i 2i  2i
4
2
4
1 16  4i
i
16  4i i 2(16  4i)  17i 32  8i  17i 32  25i
 
 ( ) 
 



4  i 2i
17
2
17
2
34
34
34
32 25i 16 25i



34 34 17 34
9
Outro modo:
4
1 4  2i  (4  i) 8i  4  i  4  9i  4  9i 2  8i  8  32i  18i  72
 





4  i 2i
(4  i)  2i
8i  2
2  8i
2  8i 2  8i
4  16i  16i  64
64  50i 64 50 16 25

 i  i
68
68 68 17 34
6) Seja z=a+bi.
(a) Falso: z + z =(a+bi)+(a-bi)=2a, que é um número real.
(b) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, que nunca é um número real, pois b≠0.
(c) Falso: z . z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é um número real.
(d) Falso: z /z =
a  bi a  bi a  bi
a 2  2abi  b 2
a 2  2abi  b 2
,


 2

a  bi a  bi a  bi a  abi  abi  b 2
a2  b2
que não é número real.
(e) Falso: z2=zz=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+b2=a2+b2+2abi, que pode ser não real.
7) Seja z=a+bi.
(a) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é sempre um número real.
(b) Falso: 1/i = -i. Logo, pode ocorrer que 1/z seja igual a - z.
(c) Falso: i2=-1. Logo pode ocorrer que z2 seja negativo.
(d) Falso: Se z=2+0.i, então z=2-0.i. Assim, z=z .
(e) Falso: i4=1 e i8=1. Logo, pode ocorre que z4 = z8 para z≠ 0 e z≠ 1.
8) Seja z = a + bi com b  0.
(a) Verdade: z + z =(a+bi)+(a-bi)=2a, que é um número real.
(b) Verdade: z.z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2, que é sempre um número real.
(c) Verdade: z - z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, que nunca é um número real, pois b≠ 0.
(d) Falsa: z + z =(a+bi)+(a+bi) = 2a+2bi = 2a-2bi, que não é um número real, pois b≠ 0.
(e) Verdade:
r=|z|= a 2  b 2
r2=a2+b2
b
r
a
10
9) O polinômio p(z) poderá ser definido por p(z)=2-z, pois, neste caso, ocorrerá que
p(i)=2-i.
Sendo p(z)=2-z, temos que p(-i)=2-(-i)=2+i.
10) z1+z2 = (-3+2i)+(4-i)=1+i.
r=√ 2 e =45.
1
r
)
z=√ 2(cos(45)+isen(45).
1
z=√ 2(cos(/4)+isen(/4).
11) Em z=1+i, a=1 e b=1.
r=√2 e =45.
z=√2(cos(45)+isen(45).
1
z10=(√2)10 (cos(1045)+isen(1045))
r
)
z10=(√2)10 (cos(450)+isen(450))
1
z10 = (√2)10(0+i1) = (√2)10icos(450)=cos(90)=0.
= (21/2)10i = 25i = 32i.
sen(450)=sen(90)=1.
12)
1
1
1
(0,5  0,5i) 0,5  0,5i 0,5  0,5i
1 1
1




 1 i
  i   (0,5  0,5i) 
0,5  0,5i (0,5  0,5i) (0,5  0,5i) 0,52  0,52
0,5
2 2
Em z=1+i, a=1 e b=1.
r2=12+12=2
r=√ 2
=45
r
)
z=√2(cos(45) + i sen(45))
13)
i
z2
45
0
z2
z
Qualquer complexo z na região sombreada tem o seu módulo r
variando de zero a 1. Logo, 0 ≤ r ≤ 1.
)-450
O menor argumento é o do complexo z1 e o maior é do z2.
z1
Logo, -45 ≤  ≤ 135. Ou seja, -/4 ≤  ≤ 3/4.
11
14) z×z´ = (√ 3+i)×(3+√ 3i) = 3√ 3+3i+3i-√3 = 2√3+6i
Em z×z´ =2√ 3+6i, a=2√ 3 e b=6.
r2 = (2√3)2+62 = 12+36 = 48
6
r
6
r= 48 =4√3
)
2√3
sen()=
15) z=1(cos(6)+isen(6))
6
6 3
3
. Logo, =60.

2
4 3 12
z15=115(cos(156) + isen(156))

z15 = cos(90) + isen(90)
z15 = 0+i1= i
16)
r2 = (√3/2)2 + (-3/2)2 = 3/4+9/4 =
12/4 = 3.
r=√ 3
3
3 1
1
sen(α)= 2 


2
3
3 2
√3/2
(
-3/2
r
3/2

Logo, α=30.
Se α=30, então =150.
Logo, z=√ 3(cos(150)+isen(150).
17) Em
3 1
 i , a=√3/2 e b=1/2.
2 2
r2 = (√3/2)2 + (1/2)2 = 3/4+1/4 = 1
r=1.
sen() =
1/2
r
)
1/ 2
 1/ 2 .
1
Logo, =30.
1/2
√ 3/2
z=1((cos(30)+isen(30)).
zn = (1n)( cos(n30)+isen(n30)) = cos(n30)+isen(n30)
Para ser real, sen(n30) tem que ser zero.
O menor valor positivo para n de forma que sen(n30) seja zero é 12, uma vez que
sen(1230)=sen(360)=0.
12
18) Seja z=a+bi. Logo, z=a-bi.
A medida do segmento que une z e z é o lado ℓ do
triângulo. Como o triângulo é equilátero, ℓ é o módulo de z
z
b
b
a
ℓ
b
-b
z
z  3 1 {z1, z2, z3}
19) z3=1
Uma raiz cúbica de 1 é 1. Seja z1=1.
z1, z2, z3 definem 3 vetores simétricos em um círculo centrado na origem e raio 1.
Devido à simetria, o ângulo entre os vetores é de 120.
No triângulo sombreado, temos:
z2
sen(60) 
1
60 120
60
z1
/2
1
2 3
A

4
3 

2
2
 3
2
3
4

 3
3 3
4
z3
20) Se ei = cos() + isen(), então ei = cos() + isen().
ei =-1 + i0 = -1.
ei = -1
ei + 1 = 0
21) O número complexo -1 tem argumento  e módulo 1:
ln(z)= i + ln(r)

ln(-1)=i + ln(1)
ln(1)  log e (1)  0
-1
Logo, um possível valor para ln(-1) é i.
13
22)
(1 + i) = 2(cos(45°)+isen(45°))
(1 + i)15 = (2)15(cos(45°15) + isen(45°15))
1
2
45°
= (2)15(cos(675°) + isen(675°)) =
1
(2)15(cos(315°) + isen(315°)) = (2)15(cos(45°) - isen(45°))
=
 2
15
 2
2


 2 i 2  


z  z 1
z=a+bi
16
2
_
_
23)
 2
z
 2
i
16
2

28
28
i
 2 7  i 2 7  128  128i
2
2
_
1
z
z z 1
a2 - abi + abi +b2 = 1
(a+bi)×(a-bi)=1
a2 + b2 = 1, que á a equação de um círculo no plano complexo, centrada em
(0, 0) e raio 1.
b
a
24) i tem módulo 1 e argumento 90.
i = 1(cos(90) + isen(90)
i
u = r(cos()+isen())
i×u tem módulo 1r = r e argumento 90+.
Logo, u e i×u tem mesmo módulo e formam um ângulo de 90.
Os únicos possíveis são as representações da alternativa (a)
iu
u
14
25)
(I) z, w, t são raízes de 1: Verdade.
As raízes cúbicas de 1 são os complexos z=1, w, t, cujas representações no plano complexo
são vetores que formam um ângulo de 120º entre si, conforme o desenho.
(II) w, t são números complexos conjugados: Verdade.
Conforme a figura, w=a+bi e t=a+bi.
(III) z, w, t têm o mesmo módulo: Verdade
As raízes cúbicas de 1 são os complexos z=1, w, t, cujas representações no plano complexo
são vetores de módulo 1, raios do círculo.
B
b
w
a
z
A
t
-b
C
15
GABARITO
1) A
2) B
3) C
4) B
5) E
6) B
7) A
8) D
9) B
10) B
11) D
12) C
13) C
14) E
15) B
16) A
17) E
18) C
19) A
20) A
21) C
22) B
23) D
24) A
25) E
16