Gabarito Comentado - Colégio Curso Martins

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
• 5º ANO ESPECIALIZADO/CURSO – MILITAR/APLICAÇÃO/PEDRO II •
• FOLHA Nº 02 – GABARITO COMENTADO •
1) Como queremos encontrar os restos 9 e 15 vamos seguir os passos abaixo, veja:
1º) Retiramos os restos dos números citados assim:
549 – 9 = 540
465 – 15 = 450
2º) O número que precisamos encontrar tem que ser comum e o maior possível , logo será o m.d.c. entre 540 e 450:
m.d.c.(540, 450) = 90
3º) Ao dividirmos os números iniciais por 90 teremos:
549 : 90 = 6 e resto = 9
465 : 90 = 5 e resto = 15
Opção E
2) Considerando n um número múltiplo de 3, temos:
• Número menor = n
• Segundo número = n + 3
• Número maior = n + 6
Como o triplo do menor é igual a dobro do maior, temos:
3 n = 2 .(n + 6)
3 n = 2 n + 12
3 n – 2 n = 12
n = 12 (menor)
n + 6 = 18 (maior)
18 é divisor de 54.
Opção D
3) Os números procurados são múltiplo do m.m.c. entre 28, 42 e 63 maiores que 300 e menores que 1 000. O m.m.c
(28, 42, 63) = 504. O único múltiplo de 504 maiores que 300 e menores que 1 000 é o próprio 504, portanto temos
apenas 1 que possui em comum, como divisores, os números 28, 42 e 63.
Opção B
4) Marque a alternativa incorreta:
a) O único número primo que é par é o número 2. (verdadeiro)
b) Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos resulta em um número que seja múltiplo
de 9. (verdadeiro)
c) Um número natural é múltiplo de 6 quando for múltiplo de 2 e 3, ao mesmo tempo. (verdadeiro)
d) Um número natural é divisível por 4 quando a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 4. (errado)
Um número natural é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos
algarismos à direita é divisível por 4.
e) Todo número primo é divisível somente por 1 e ele próprio. (verdadeiro)
Opção D
5) Seja N = 3 • 6 • 9 • 12 • 15 • 20 • 25 • 27. Então, o número de divisores de N é:
Decomponha em fatores primos todos os fatores de N, assim:
N = 3 • 6 • 9 • 12 • 15 • 20 • 25 • 27.
N= 3 • 2 • 3 • 32 • 22 • 3 • 5 • 22 • 5 • 52 • 33 = 25 • 39 • 54
Pela regra dos expoentes temos (5 + 1 ) . (9 + 1) . (4 + 1) = 6 x 10 x 5 = 300 divisores.
N possui 300 divisores e 300 é um múltiplo de 12.
Opção C
6) A quantidade de múltiplos comuns a 7, 15 e 45 que são maiores que 0 e menores que 1000 é:
m.m.c.(7,15,45) = 315
315 . 2 = 630
315 . 3 = 945
São 3 múltiplos comuns de 7,15 e 45 maiores que 0 e menores que 1000.
Opção A
.2.
7) Os três eventos voltarão a se manisfestar, simultaneamente, num tempo que será o menor múltiplo comum de 3,
5 e 6 segundos.
m.m.c.(3,5,7) = 105
Opção B
8) m.m.c.(25,125) = 125 ® q = 125
m.d.c.(25, 125) = 25 ® r = 25
d = 102
D=d.q+r
D = 102 . 125 + 25 = 12 775
Opção D
9) Lembrando que A x B = MMC (A,B) x MDC (A,B), temos:
2 160 = 180 x MDC (A,B)
MDC (A,B) = 2160 : 180 = 12
Temos, então que:
AxB = 2 160 = 24 x 33 x 5
MDC (A,B) = 12 = 22 x 3
MMC (A,B) = 180 = 22 x 32 x 5
Não sabemos quais são os números A e B, mas sabemos que tanto o MMC como o MDC deles têm o fator 22. O
MMC tem fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente, e o MDC tem fatores comuns elevados ao
menor expoente. Em relação aos expoentes do fator 2, isto só é possível se tanto A quanto B tiverem o mesmo
fator 22. Temos agora que descobrir com quais expoentes aparecerão os fatores 3 e 5 em A e B. O problema fala
que: “o maior é múltiplo de 5 e não de 9”. Consideramos, então que A é o maior deles. Então A tem que ter o fator
5, e B não tem o fator 5. Falta agora analisar o fator 3. Se o maior deles não é múltiplo de 9, então A deve aparecer
com o fator 31, ficando:
A = 22 x 3 x 5 = 60
B = 24 x 32 = 36
O menor desses dois números é 36.
Opção B
10) Lembramos que o produto entre dois números é sempre igual ao produto do seu m.m.c. e seu m.d.c. Temos então:
A x B = m.m.c. (A,B) x m.d.c. (A,B) = 221
Fatorando 221 temos:
221 = 13 x 17
Como ambos os números são maiores que 1, a única forma do seu produto ser 13 x 17 é um sendo 13 e o outro
sendo 17. O problema pede a diferença entre esses números, que vale 4.
Opção A
11) Todos os alimentos das bandejas foram consumidos sem sobras.
Cada bandeja de arroz serve 3 pessoas. ® o número de pessoas é múltiplo de 3.
Cada bandeja de maionese serve 4 pessoas. ® o número de pessoas é múltiplo de 4.
Cada bandeja de carne serve 5 pessoas. ® o número de pessoas é múltiplo de 5.
Cada bandeja de massa serve 6 pessoas. ® o número de pessoas é múltiplo de 6.
O número de pessoas é múltiplo de 3, 4, 5 e 6. Então o número de pessoas deve ser igual ao m.m.c entre 3, 4 ,5
e 6, ou então um múltiplo deste valor.
m.m.c. (3,4,5,6) = 60.
O único múltiplo de 60 entre as opções é 120.
Opção D
12) Os números podem ir de 102 a 987.
I) O número é 102, é múltiplo de 6. (V)
II) O número é 984, é divisível por 3. (V)
III) O número é 968, é divisível por 11. (V)
Para encontrar o número 968, partimos do último múltiplo de 11 inferior a 1 000, que é 990, e subtraímos 11 sucessivas
vezes até encontrar um com três algarismos diferentes, que seria no caso, 968.
Opção E
13) Este tipo de problema pode ser resolvido com m.m.c. entre os números, somado com o resto, mas isso só funciona
quando o resto é o mesmo para todos os números. Neste problema, os restos são 1, 3 e 7. Quando isso ocorre, a
solução em geral não é o m.m.c. somado com o resto, e sim, o m.m.c. subtraído de um valor, caso seja o mesmo
para todos os números. Veja o que ocorre:
Dividido por 5 deixa resto 1 ® Faltam 4 para ser múltiplo de 5.
Dividido por 7 deixa resto 3 ® Faltam 4 para ser múltiplo de 7.
Dividido por 11 deixa resto 7 ® Faltam 4 para ser múltiplo de 11.
Então este número é um múltiplo de 5, 7, 11 menos 4.
m.m.c.( 5,7,11) = 385
O problema diz que o número não é superior a 400, então este é o múltiplo procurado. O número é 385 – 4 = 381.
É pedido o resto da divisão deste número por 8, que é 5.
Opção E
14) O número procurado é um múltiplo do m.m.c. entre 3, 5, 9 e 10, que é 90. Um múltiplo de 90 entre 5 000 e 6 000
pode ser então 5040, 5130, 5220, 5310, 5400, 5490, 5580, 5670, 5760,5850 ou 5940. Como o algarismo das centenas tem que ser maior que o algarismo das dezenas, os únicos que atendem são 5310, 5400, 5760, 5850 ou 5940.
O menor deles é 5310, seu resto da divisão 11 é 8.
Opção A
15) Inicialmente encontramos os divisores de 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54 e 108.
Cada divisor determina quantos alunos cada grupo terá. O número de alunos por grupo tem que estar entre 5 e
20 exclusive, então só pode ser 18, 12, 9 e 6, são portanto 4 formas.
Opção D
16) Como queremos o menor número de 4 algarismos vamos considerar o algarismo 1 ocupando a ordem das unidades
de milhar, temos assim:
N = 1 ____ 2 4
Para que N seja divisível por 3 a soma de seus algarismos tem que ser divisível por 3, então o algarismo das centenas deve ser 2. Logo N = 1 224.
N + 2 = 1 224 + 2 = 1 226
1 226 não é múltiplo de 10.
N = 1 224 = 23 x 32 x 17
N possui 3 divisores primos (2, 3 e 17)
Pela regra dos expoentes temos (3+1 ) x ( 2 + 1 ) x ( 1 + 1 ) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores.
N + 1 = 1 224 + 1 = 1 225
1 225 é múltiplo de 7.
Opção A
17) Para que o número 581a seja divisível, ao mesmo tempo por 2 e 3 a tem que ser igual a 4.
Para que o número 65b dividido por 11 deixe resto 8, b tem que ser igual a 7.
Para que o número abc dividido por 4 deixe resto 2, o menor valor de c é 0.
Opção A
98 - 315
(32 )8 - 315
316 - 315
3(315 - 314 )
=
=
=
= 315 - 314
3
3
3
3
Opção C
19) A – B = 336
A é o maior e B é o menor dos números.
Sabemos que quando um número é múltiplo do outro o m.m.c. é o maior deles.
Como o m.m.c.(A,B) = 378 , então A = 378 e B = 378 – 336 = 42.
A soma desses dois números então é 378 + 42 = 420.
Opção D
20) Para que os divisores sejam os menores possíveis o quociente tem ser o maior possível. Como os quocientes
obtidos precisam ser iguais e o maior possível, será obtido através do cálculo do m.d.c. entre 391 e 527 que é 17.
Sendo assim temos:
391 : a = 17 ® a = 391 : 17 = 23
527 : b = 17 ® b = 527 : 17 = 31
Como a e b são os dois menores divisores de 391 e 527 para que o quociente entre eles seja 17, então
b – a = 31 – 23 = 8
Opção D
18)