números complexos números complexos

NÚMEROS COMPLEXOS
Prof Eduardo Nagel
1. DEFINIÇÃO
No conjunto dos números reais R, temos que a2 = a . a é sempre um número não
negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo
em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C.
Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número
complexo i tal que i2 = - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação
estão definidas em C, e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades
fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante).
Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos
números escritos na forma:
z = a + bi,
onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as
partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re(z) e b = Im(z). Desta forma:
z = Re( z ) + Im( z ) i
Definimos ainda que dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, serão iguais
quando a = c e b = d.
2. OPERAÇÕES ELEMENTARES
As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural,
considerando-se o número complexo como um binômio.
Exemplo 1. Sejam z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i. Então,
z1+ z2 = (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i
z1- z2 = (3 + 2i) - (1 + 5i) = 2 – 3i
z1.z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i) = 6 +15i +2i + 10i2 = 6 + 17i – 10 = - 4 + 17i
Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número z = a − bi .
Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo
conjugado do denominador. Por exemplo, usando z1 e z2 dados acima, temos:
z1 3 + 2i
=
z2 1 + 5i
(1 − 5i ) 13 − 13i 1 1
=
= − i
26
2 2
( 1 − 5i )
1
3. PLANO DE ARGANDARGAND-GAUSS
Gauss associou a cada número complexo a+bi um par ordenado (a,b) com a,b∈R
R e
representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de
“Plano
Plano de ArgandPlano Complexo”:
Argand-Gauss”
Gauss ou “Plano
Complexo
Obs.: Simbolizamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de
afixo o ponto que representa o número.
Chamamos de módulo do complexo z a distância do afixo de z até a origem e o
representamos por z ou ρ. Chamamos de argumento do número complexo z = a + bi, com z
≠ 0, ao ângulo θ, 0 ≤ θ < 2π , que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P.
z
θ
4. FORMA TRIGONOMÉTRICA:
TRIGONOMÉTRICA: OPERAÇÕES
OPERAÇÕES
4.1 POTENCIAÇÃO e QUO
QUOCIENTE NA FORMA POLAR
Consideremos os números complexos na forma polar z1 = r1 cos α + i.sen α 
e
z2 = r2 [ cos β + i.senβ ] . Podemos escrever o produto de z1.z2 da seguinte maneira:
z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2  cos (α + β ) + i.sen (α + β ) 
sua potência
potência zn elevado ao expoente natural n:
z n = r n cos ( nα ) + i.sen ( nα )  , onde 0 ≤ nα < 360 (Fórmula
Fórmula de Moivre)
Moivre
E seu quociente z1/z2 da seguinte maneira:
z1 r1
= cos (α − β ) + i.sen (α − β ) 
z2 r2 
2
4.2.
.2 RADICIAÇÃO NA FORMA POLAR
Chamamos de raiz nn-ésima de um número complexo z o número complexo zk tal que
( zk )
n
•
•
•
= z . Por exemplo,
i é raiz quadrada de − 1 pois i 2 = −1 .
i é raiz cúbica de − i pois i 3 = −i .
4
2i é raiz quarta de 16 pois (2i ) = 16 .
A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números
racionais não inteiros. Desta forma, podemos utilizar a fórmula de Moivre para calcular
também as raízes enésimas de um número complexo:
1
1

 θ + K ⋅ 360 
 θ + K ⋅ 360  
θ + K ⋅ 360
≤
< 360 e 0 ≤ k < n
,
onde
0
z n = r n cos 
+
i
.
sen



n
n
n





Exemplo 2*. Encontre as raízes quadradas de z = 4 + 4 3i
(
1º. Passo: calcular o módulo de z : z = 42 + 4 3
)
2
=8

4 3
3
=
 senθ =
8
2 ⇒ θ = 60 + 360 ⋅ K
2º. Passo: determinar o argumento de z : 
cos θ = 4 = 1

8 2
3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:
1
1

 60 + 360 ⋅ K 
 60 + 360 ⋅ K  
z 2 = 8 2 cos 
i
sen
+
.



2
2





= 8 cos 30 + 180 ⋅ K + i.sen 30 + 180 ⋅ K 
(
1
)
(
(
)
)
Ou seja, para k = 0, z 2 = 2 2 cos 30 + isen30 = 6 + i 2
1
(
)
e para k = 1, z 2 = 2 2 cos 210 + i sen210 = 6 − i 2
* para exemplos mais detalhados, consulte o caderno.
3
6. EXERCÍCIOS
1. Obtenha o produto w = z1 .z2 .z 3 onde:
a)
z1 = 3(cos14 + i sen14 )
z1 = 2(cos 45 + i sen45 )
z2 = 3(cos150 + i sen150 )
0
0
b) z2 = 4(cos 31 + i sen31 )
z 3 = 6(cos 43 + i sen43 )
R. a) w= 3 2 (cos 60 0 + sen 60 0 )
b) w = 72(cos88°+ isen88°)
2. Determine o módulo e o argumento do número z 4 para os complexos:
b) z = 2(cos300º + isen300º)
a) z = 3(cos125°+isen125°)
R. a) ρ = 81 e θ = 140 b) ρ = 16 e θ = 120°
3. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica:
a) (1 − i 3)8
b) ( 3 + i)6
R. a) -128 - 128 3 i
b) -64
4. Escreva as expressões abaixo na forma a + bi :
(2 − i )
2
(3 + i)
2
a) (4 − i) + i − (6 + 3i)i
b)
R. a) 7 − 6i
b) −
i 0
1
i
5. Sabendo que  2
i
i 3

i
2
c) (4 − i).(1 − 4i)
d)
3−i
4 + 5i
c) 17i
d)
7 − 19i
41
=1
=i
= −1
determine:
= −i
a) i 20
b) (1 + i )
R. a) 1
b) -64
6. Determine a real para que
R. ± 1
7. Determine a real para que
12
10
1+i 
c) 

1−i 
c) -1
d) 1 + i + i 2 + … + i1992
d) 1
a+i
seja real.
1 + ai
2 + ai
seja um imaginário puro.
1−i
R. 2
4
8. Resolva em C as seguintes equações:
a) z 2 = 2i
b) z 2 − 2 z = −1 + i
R. a) {1 + i, − 1 − i}
b) {
2 + 2 + 2i 2 − 2 − 2i
,
}
2
2
9. Representar na forma trigonométrica:
a) 1 + 3i
b) −1 + i
R.a) 2 cos π + i sin π 

3
3
1
1 1
= +
z+3 z 3
c)
− 3 ± 3 3i
2
c) 5
b) 2  cos 3π + i sin 3π 

c)
4
4 
c) 2(cos 0 + i sin 0)
10. Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura abaixo?
30
2 3
R. −3 + i 3
11. A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se
que BF = 8 , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos
afixos são os pontos B e D .
R. B : 2 2 + i 2 2 ; D : −2 2 + i 2 2
12. Calcule, dando a resposta na forma polar, as raízes quadradas de 1 − 3i ;
R. z0 = −
6
2
6
2
+
i e z1 =
−
i
2
2
2
2
5