Fluxo de Fluidos

Fluxo de Fluidos
Linha de fluxo: trajectória de uma partícula individual
Curva que é tangente à
velocidade do fluido em
qualquer ponto.
Tubo de fluxo: formado pelas linhas de fluxo que passam
pela borda de uma área A qualquer.
Fluxo estático: O padrão do fluxo não muda com o tempo
— fluido dentro de um tubo de fluxo não sai desse tubo
— tubos de fluxo diferentes não se cruzam
— fluido em tubos de fluxo diferentes não se misturam
Fluxo Laminar
1
Fluxo Turbulento
— linhas de fluxo (e tubos de fluxo) cruzam-se, desaparecem e aparecem
e a sua forma e propriedades variam com o tempo.
A Equação de Continuidade
Tubo contendo fluido incompressível
Todo o fluido que entra num extremo
Fluxo:
∆V
Q=
∆t
⎡⎣ m 3 s-1 ⎤⎦
Fluxo: volume de fluido que atravessa qualquer
superfície na unidade de tempo
Equação de continuidade:
Q1 =Q 2
Sai no outro extremo
Q1 = Q (A1)
Q2 = Q (A2)
2
A Equação de Continuidade
Fluido incompressível com densidade ρ constante:
No intervalo de tempo dt:
— fluido em
em
A1 entra, dentro do volume, o fluido
dV1 = A1v1dt
com massa
— em
A1 move-se v1dt
dm1 = ρ A1v1dt
A2 sai do volume o fluido
dV2 = A2 v2 dt
com massa
dm2 = ρ A2 v2 dt
Se o fluxo é estático a massa total dentro do tubo é constante:
dm1 = dm2
ρ A1v1dt = ρ A2 v2 dt
A1v1 = A2 v2
A Equação de Continuidade
Av é a taxa de fluxo volumétrica
A taxa de fluxo mássica é
dV
= Av
dt
dm
= ρ Av
dt
Se, para o mesmo fluxo,
a área da secção variar
A1v1 = A2 v2
3
A Equação fundamental da hidrodinâmica:
Equação de Bernoulli
Relaciona o trabalho realizado num fluido com a
variação da sua energia cinética
Só é válida para:
1.Fluidos incompressíveis (densidade constante)
2. Fluido não viscoso (atrito interno é desprezável)
3. Fluxo estável (não turbulento)
4. Fluxo estacionário (velocidade do fluido num ponto
não varia com o tempo)
Equação de Bernoulli
Aplicar a conservação de energia a um tubo de fluxo
no intervalo de tempo dt :
- fluido em
a➞b
c➞d
e moveu-se
ds1 = v1dt
ds 2 = v2 dt
(A1v1 = A2 v2 )
A1ds1 = A2 ds2 (= dV )
- equação de continuidade
com v=ds/dt
O movimento do fluido faz-se sob a acção de:
- Peso (conservativa, energ. mecân. conserva-se)
- Pressão (conservativa, Força externa)
∆Wext = ∆Ec + ∆E p
fluido incompressível
4
Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dE p
Em a:
⎧ m = ρ A1ds1 ⎫
1
2
⎨
⎬ ⇒ Ec1 = ρ (A1ds1 )v1
2
⎩v = v1
⎭
Em b:
⎧ m = ρ A2 ds2 ⎫
1
2
⎨
⎬ ⇒ Ec2 = ρ(A2 ds2 )v2
v
=
v
2
2
⎩
⎭
dEc = Ec2 − Ec1
dEc =
1
ρdV (v22 − v12 )
2
Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dE p
Em a:
Em b:
⎧ m = ρ A1ds1 ⎫
⎨
⎬ ⇒ E p1 = ρ (A1ds1 )gy1
⎩h = y1
⎭
⎧ m = ρ A2 ds2 ⎫
⎨
⎬ ⇒ E p = ρ (A2 ds2 )gy2
⎩h = y2
⎭
2
dE p = E p2 − E p1
dE p = ρdVg(y2 − y1 )
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Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dE p
Em a:
⎧ F = p1 A1 ⎫
⎨
⎬ ⇒ W1 = p1 A1ds1
⎩ s = ds1 ⎭
Em b:
⎧ F = − p2 A2 ⎫
⎬ ⇒ W2 = − p2 A2 ds2
⎨
⎭
⎩ s = ds2
dW = W1 + W2 = p1 A1ds1 − p2 A2 ds2
dW = ( p1 − p2 )dV
Equação de Bernoulli
dWext = dEc + dE p
dW = ( p1 − p2 )dV
1
dEc = ρdV (v22 − v12 )
2
dE p = ρdVg(y2 − y1 )
( p1 − p2 )dV =
( p1 − p2 ) =
1
ρdV (v22 − v12 ) + ρdVg(y2 − y1 )
2
1
ρ (v22 − v12 ) + ρ g(y2 − y1 )
2
Equação de
Bernoulli
6
Equação de Bernoulli
( p1 − p2 ) =
1
ρ (v22 − v12 ) + ρ g(y2 − y1 )
2
p1 + ρ gy1 +
1 2
1
ρv1 = p2 + ρ gy2 + ρv22
2
2
p + ρ gy +
1 2
ρv = Const
2
Equação de Bernoulli - fluidos estáticos (hidroestática)
Fluido em repouso: v = 0
P + ρ gy = Const.
PA = 1 atm
PB = ?
PA + ρ gh = PB + ρ gyB
PB = PA + ρ g d
(d= h - yB)
Lei de Pascal
Princípio dos vasos comunicantes
PA = PE = ... = Patm
hA = hE = ... = h
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Equação de Bernoulli - circulação sanguínea
As forças viscosas no sangue
são pequenas
P + ρ gh = Const
Velocidades pequenas e ≈ iguais
Podemos desprezar o termo
1
ρ v2
2
PF = PH + ρghH = PB + ρ ghB
_ impedir que o sangue “fuja” da cabeça
_ obrigar o sangue a subir das pernas
Valores típicos para um adulto são:
hH = 1,3 m
hB = 1,7 m
-Diminuir φ das veias na cabeça e no pescoço
PH = 13,3 kPa
- Nas pernas:
PF = 26,8 kPa e PB = 9,3 kPa
-válvulas que impedem que o sangue desça
- Movimentos constantes nos músculos
Equação de Bernoulli - exemplos dinâmicos
p + ρ gy +
1 2
ρv = Const
2
⇒ ρ gy = Const.
Ex. 1 - Fluxo Horizontal
1
1
PB + ρ v B2 = P0 + ρ v02
2
2
1
P0 − PB = ρ (v B2 − v A2 )
2
Como
v B > v0
⇒
P0 > PB
as folhas aproximam-se
Ex. 2 – Automóvel cruza com camião
8
Eq. Bernoulli - Aplicações
Qual é a velocidade com que o líquido sai?
Pa = Pb = Patm
Patm
Da Equação de Bernoulli:
Patm + ρ gh + 0 = Patm + 0 +
v = 2gh
1 2
ρv
2
Teorema de Torricelli
Fluido num tubo horizontal:
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
v>⇒P<
Eq. Bernoulli - Aplicações
Tubo de Venturi
P1 +
1 2
1
⎫
ρv1 = P2 + ρv22 ⎪
2
2
⎬
⎪⎭
A1v1 = A2 v2
v=
2A22 ∆P
ρ A12 − A22
(
)
9
O voo das aves e dos aviões
Avião ou ave perturbam temporariamente o ar ⇒ não se pode
aplicar a eq Bernoulli
Porém, se estivermos dentro do avião, vemos um
fluxo de ar estável em torno do aparelho e das asas
⇒ Podemos pois aplicar a eq Bernoulli
PA
Linhas de fluxo acima da asa
estão mais juntas
VA > VB
PB
E da eq. Bernoulli
p + ρ gy +
vem:
1 2
ρv = Const
2
r
FL
PA < PB
Pb − Pa =
1
ρ (va2 − vb2 )
2
e a força (para cima) aplicada na asa de área A é:
FL = ( Pb − Pa ) A = A
ρ
2
(v a2 − vb2 )
10
FL = ( Pb − Pa ) A = A
Experimentalmente verifica-se que:
E a força de Sustentação será
ρ
2
(v a2 − vb2 )
va ∝ v
e
vb ∝ v
FL = A C L
ρ
2
v2
Em que CL é o Coeficiente de Sustentação – pode ser medido
experimentalmente e depende da forma da asa, do ângulo de
ataque etc.-
Eq. Bernoulli - Aplicações
Atomizador:
- P no estrangulamento é menor
- Fluido sobe no tubo e pulveriza
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
Bola de Ping-pong suspensa
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Eq. Bernoulli - Aplicações
“Efeito” nas bolas em movimento
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
r
F
Circulação Sanguínea
AIT - Acidente Isquémico Transitório
Síndroma de Roubo da Subclávia
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
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