Fluxo de Fluidos Linha de fluxo: trajectória de uma partícula individual Curva que é tangente à velocidade do fluido em qualquer ponto. Tubo de fluxo: formado pelas linhas de fluxo que passam pela borda de uma área A qualquer. Fluxo estático: O padrão do fluxo não muda com o tempo — fluido dentro de um tubo de fluxo não sai desse tubo — tubos de fluxo diferentes não se cruzam — fluido em tubos de fluxo diferentes não se misturam Fluxo Laminar 1 Fluxo Turbulento — linhas de fluxo (e tubos de fluxo) cruzam-se, desaparecem e aparecem e a sua forma e propriedades variam com o tempo. A Equação de Continuidade Tubo contendo fluido incompressível Todo o fluido que entra num extremo Fluxo: ∆V Q= ∆t ⎡⎣ m 3 s-1 ⎤⎦ Fluxo: volume de fluido que atravessa qualquer superfície na unidade de tempo Equação de continuidade: Q1 =Q 2 Sai no outro extremo Q1 = Q (A1) Q2 = Q (A2) 2 A Equação de Continuidade Fluido incompressível com densidade ρ constante: No intervalo de tempo dt: — fluido em em A1 entra, dentro do volume, o fluido dV1 = A1v1dt com massa — em A1 move-se v1dt dm1 = ρ A1v1dt A2 sai do volume o fluido dV2 = A2 v2 dt com massa dm2 = ρ A2 v2 dt Se o fluxo é estático a massa total dentro do tubo é constante: dm1 = dm2 ρ A1v1dt = ρ A2 v2 dt A1v1 = A2 v2 A Equação de Continuidade Av é a taxa de fluxo volumétrica A taxa de fluxo mássica é dV = Av dt dm = ρ Av dt Se, para o mesmo fluxo, a área da secção variar A1v1 = A2 v2 3 A Equação fundamental da hidrodinâmica: Equação de Bernoulli Relaciona o trabalho realizado num fluido com a variação da sua energia cinética Só é válida para: 1.Fluidos incompressíveis (densidade constante) 2. Fluido não viscoso (atrito interno é desprezável) 3. Fluxo estável (não turbulento) 4. Fluxo estacionário (velocidade do fluido num ponto não varia com o tempo) Equação de Bernoulli Aplicar a conservação de energia a um tubo de fluxo no intervalo de tempo dt : - fluido em a➞b c➞d e moveu-se ds1 = v1dt ds 2 = v2 dt (A1v1 = A2 v2 ) A1ds1 = A2 ds2 (= dV ) - equação de continuidade com v=ds/dt O movimento do fluido faz-se sob a acção de: - Peso (conservativa, energ. mecân. conserva-se) - Pressão (conservativa, Força externa) ∆Wext = ∆Ec + ∆E p fluido incompressível 4 Equação de Bernoulli dWext = dEc + dE p Em a: ⎧ m = ρ A1ds1 ⎫ 1 2 ⎨ ⎬ ⇒ Ec1 = ρ (A1ds1 )v1 2 ⎩v = v1 ⎭ Em b: ⎧ m = ρ A2 ds2 ⎫ 1 2 ⎨ ⎬ ⇒ Ec2 = ρ(A2 ds2 )v2 v = v 2 2 ⎩ ⎭ dEc = Ec2 − Ec1 dEc = 1 ρdV (v22 − v12 ) 2 Equação de Bernoulli dWext = dEc + dE p Em a: Em b: ⎧ m = ρ A1ds1 ⎫ ⎨ ⎬ ⇒ E p1 = ρ (A1ds1 )gy1 ⎩h = y1 ⎭ ⎧ m = ρ A2 ds2 ⎫ ⎨ ⎬ ⇒ E p = ρ (A2 ds2 )gy2 ⎩h = y2 ⎭ 2 dE p = E p2 − E p1 dE p = ρdVg(y2 − y1 ) 5 Equação de Bernoulli dWext = dEc + dE p Em a: ⎧ F = p1 A1 ⎫ ⎨ ⎬ ⇒ W1 = p1 A1ds1 ⎩ s = ds1 ⎭ Em b: ⎧ F = − p2 A2 ⎫ ⎬ ⇒ W2 = − p2 A2 ds2 ⎨ ⎭ ⎩ s = ds2 dW = W1 + W2 = p1 A1ds1 − p2 A2 ds2 dW = ( p1 − p2 )dV Equação de Bernoulli dWext = dEc + dE p dW = ( p1 − p2 )dV 1 dEc = ρdV (v22 − v12 ) 2 dE p = ρdVg(y2 − y1 ) ( p1 − p2 )dV = ( p1 − p2 ) = 1 ρdV (v22 − v12 ) + ρdVg(y2 − y1 ) 2 1 ρ (v22 − v12 ) + ρ g(y2 − y1 ) 2 Equação de Bernoulli 6 Equação de Bernoulli ( p1 − p2 ) = 1 ρ (v22 − v12 ) + ρ g(y2 − y1 ) 2 p1 + ρ gy1 + 1 2 1 ρv1 = p2 + ρ gy2 + ρv22 2 2 p + ρ gy + 1 2 ρv = Const 2 Equação de Bernoulli - fluidos estáticos (hidroestática) Fluido em repouso: v = 0 P + ρ gy = Const. PA = 1 atm PB = ? PA + ρ gh = PB + ρ gyB PB = PA + ρ g d (d= h - yB) Lei de Pascal Princípio dos vasos comunicantes PA = PE = ... = Patm hA = hE = ... = h 7 Equação de Bernoulli - circulação sanguínea As forças viscosas no sangue são pequenas P + ρ gh = Const Velocidades pequenas e ≈ iguais Podemos desprezar o termo 1 ρ v2 2 PF = PH + ρghH = PB + ρ ghB _ impedir que o sangue “fuja” da cabeça _ obrigar o sangue a subir das pernas Valores típicos para um adulto são: hH = 1,3 m hB = 1,7 m -Diminuir φ das veias na cabeça e no pescoço PH = 13,3 kPa - Nas pernas: PF = 26,8 kPa e PB = 9,3 kPa -válvulas que impedem que o sangue desça - Movimentos constantes nos músculos Equação de Bernoulli - exemplos dinâmicos p + ρ gy + 1 2 ρv = Const 2 ⇒ ρ gy = Const. Ex. 1 - Fluxo Horizontal 1 1 PB + ρ v B2 = P0 + ρ v02 2 2 1 P0 − PB = ρ (v B2 − v A2 ) 2 Como v B > v0 ⇒ P0 > PB as folhas aproximam-se Ex. 2 – Automóvel cruza com camião 8 Eq. Bernoulli - Aplicações Qual é a velocidade com que o líquido sai? Pa = Pb = Patm Patm Da Equação de Bernoulli: Patm + ρ gh + 0 = Patm + 0 + v = 2gh 1 2 ρv 2 Teorema de Torricelli Fluido num tubo horizontal: P1 + 1 2 1 ρv1 = P2 + ρv22 2 2 v>⇒P< Eq. Bernoulli - Aplicações Tubo de Venturi P1 + 1 2 1 ⎫ ρv1 = P2 + ρv22 ⎪ 2 2 ⎬ ⎪⎭ A1v1 = A2 v2 v= 2A22 ∆P ρ A12 − A22 ( ) 9 O voo das aves e dos aviões Avião ou ave perturbam temporariamente o ar ⇒ não se pode aplicar a eq Bernoulli Porém, se estivermos dentro do avião, vemos um fluxo de ar estável em torno do aparelho e das asas ⇒ Podemos pois aplicar a eq Bernoulli PA Linhas de fluxo acima da asa estão mais juntas VA > VB PB E da eq. Bernoulli p + ρ gy + vem: 1 2 ρv = Const 2 r FL PA < PB Pb − Pa = 1 ρ (va2 − vb2 ) 2 e a força (para cima) aplicada na asa de área A é: FL = ( Pb − Pa ) A = A ρ 2 (v a2 − vb2 ) 10 FL = ( Pb − Pa ) A = A Experimentalmente verifica-se que: E a força de Sustentação será ρ 2 (v a2 − vb2 ) va ∝ v e vb ∝ v FL = A C L ρ 2 v2 Em que CL é o Coeficiente de Sustentação – pode ser medido experimentalmente e depende da forma da asa, do ângulo de ataque etc.- Eq. Bernoulli - Aplicações Atomizador: - P no estrangulamento é menor - Fluido sobe no tubo e pulveriza P1 + 1 2 1 ρv1 = P2 + ρv22 2 2 Bola de Ping-pong suspensa 11 Eq. Bernoulli - Aplicações “Efeito” nas bolas em movimento P1 + 1 2 1 ρv1 = P2 + ρv22 2 2 r F Circulação Sanguínea AIT - Acidente Isquémico Transitório Síndroma de Roubo da Subclávia P1 + 1 2 1 ρv1 = P2 + ρv22 2 2 12