Meu nome é Carlos Eduardo, sou professor de

Meu nome é Carlos Eduardo, sou professor de Matemática,
Estatística, Raciocínio Lógico e Física
nos principais cursos
preparatórios do Rio de Janeiro. Também sou autor do livro
RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS e MATEMÁTICA FINANCEIRA
PARA CONCURSOS, ambos da editora Método/grupo Gen. A convite
do meu amigo Leandro Macedo, estou aqui para conquistar essa
vitória com vocês.
Vamos lá, meus queridos?...Mãos à obra!
AULA 00: Proposições e Conectivos Lógicos
Bem, nesta aula faremos uma introdução à Lógica, falando
sobre Proposições Simples, Proposições Compostas e Conectivos
Lógicos. Também mostraremos o que é a negação de uma proposição
simples. Não há entendimento do restante do conteúdo programático,
sem os fundamentos que apresentaremos aqui.
Então vamos lá!
Mas antes vamos
organizarmos nossas idéias.
fazer
um
pequeno
sumário
para
SUMÁRIO
1. Conceito de Proposição
2. Proposições Simples e Compostas
3. Negação de uma Proposição Simples
4. Conectivos Lógicos
5. Questões Propostas
1. Conceito de Proposição
O que é proposição? Vamos ver?
Podemos conceituar proposição assim: “Proposição é toda
oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou
falsa (F).”
Vamos entender esse conceito, analisando cada palavra
destacada (sublinhada) acima. Pois bem!
Se proposição é uma oração, então deve possuir pelo menos
um verbo. Se é declarativa, então não pode ser interrogativa nem
exclamativa.
Possui
necessariamente
um
único
valor
lógico,
verdadeiro (V) ou falso (F). Daí, podemos citar os seguintes exemplos
de proposição:
a) A Lua é menor que a Terra.
b) Oito é menor que sete.
c) João passou na prova.
Vejam, caros amigos, que, no exemplo “a”, temos uma
oração (verbo “ser”; sujeito: “A Lua”; predicado: “é menor que a
Terra”); além disso, a oração é declarativa (não é exclamativa nem
interrogativa) e tem um único valor lógico (verdadeiro).
No exemplo “b”, também temos uma oração declarativa
logicamente falsa.
Também no exemplo “c”, temos uma oração declarativa que
pode ser classificada em verdadeira ou falsa (João passou ou não
passou na prova; só existe uma possibilidade).
Só pra confrontar, vejamos agora algumas construções que
NÃO SÃO CONSIDERADAS PROPOSIÇÕES:
a) Sete é um número ímpar?
b) Venha cá, meu filho!
c) Duas vezes um número mais três é igual a sete. (2x + 3
= 7)
Vejamos porque esses exemplos não são considerados
proposições.
A construção “a” não é proposição, pois é interrogativa.
Lembrem-se de que proposições são sempre orações declarativas e
nunca interrogativas ou exclamativas.
A construção “b” não é proposição, pois é exclamativa. E
vimos que proposições são sempre orações declarativas e nunca
interrogativas ou exclamativas.
A construção “c” não é proposição, pois não pode ser
classificada como verdadeira ou falsa. Vejam, caros amigos, que o
valor lógico da expressão depende do valor atribuído à incógnita x.
Por exemplo, para
x =2, a expressão 2.2 + 3 = 7 é verdadeira,
mas pra qualquer outro valor atribuído a x, a expressão é falsa.
Expressões desse tipo, ou seja, expressões que contém incógnitas,
são
classificadas
como
sentenças
abertas,
que
estudaremos
futuramente.
Caríssimos,
só
pra
finalizar,
vamos
acrescentar
duas
particularidades de uma proposição:
● Uma proposição deve exprimir um pensamento de sentido
completo. Então, não são consideradas proposições as seguintes
construções:
- é diferente de cinco (falta o sujeito da oração)
- João estava (falta o predicado)
Mas
cuidado!
pensamento
de
proposições.
Por
sentido
Existem
expressões
completo,
exemplo,
as
mas
não
expressões
que
são
exprimem
consideradas
“Atenção!”,
“Viva!”,
“Parabéns!”, “Ai”, “Raios!”, “Rua!” etc exprimem pensamento de
sentido completo, mas não são consideradas proposições.
● Orações imperativas, ou seja, que exprimem ordem,
pedido, advertência, convite etc, não são consideradas proposições.
Então, não são proposições as seguintes construções:
- Desça daí, menino. (ordem)
- Beije-me, querida. (pedido)
- Escuta primeiro os teus botões. (advertência)
- Sente-se, por favor. (convite)
Muito bem, meus amigos! Agora que já sabemos qual o
conceito de proposição, vejamos como isso cai na prova. Ah! Mas
antes cabe lembrar que vamos dar prioridade ao modelo Cespe/Unb,
ok?
Caiu na prova!
1 – (BB/Cespe-Unb/2007) – julgue o item seguinte em certo
(C) ou errado (E).
● Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
- O BB foi criado em 1980.
- Faça seu trabalho corretamente.
- Manuela tem mais de 40 anos de idade.
Comentário:
Vimos que proposição é toda oração declarativa (nunca
exclamativa, interrogativa ou imperativa), que exprime um
pensamento de sentido completo, e que tem necessariamente um
único valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Com base nesse
conceito, vamos analisar cada uma das construções dadas:
- “O BB foi criado em 1980” é proposição, pois temos uma oração
declarativa (sujeito: O BB; predicado: foi criado em 1980; não é
exclamativa, nem interrogativa, nem imperativa), que exprime um
pensamento de sentido completo, e tem o valor lógico falso.
- “Faça seu trabalho corretamente” não é proposição, pois é
imperativa.
- “Manuela tem mais de 40 anos” é proposição, pois trata-se de uma
oração declarativa, que exprime um pensamento de sentido
completo, e que possui um único valor lógico, verdadeiro ou falso
(Manuela tem ou
não mais de 40 anos; não existe outra
possibilidade).
Conclusão: Há duas proposições no conjunto de sentenças, conforme
afirma o item.
Gabarito: certo (C).
Agora que ficou claro o conceito de proposição, passemos para o
próximo item. Avante!
2. Proposições Simples e Compostas
Muito bem! Já sabemos qual o conceito de proposição. Mas
qual a diferença entre uma proposição simples e uma proposição
composta? Vamos ver?
É fácil! Basta lembrar, da Língua Portuguesa, que o verbo
(ou a expressão verbal) é a base da oração, ou seja, um único verbo
constitui uma única oração, uma única proposição, chamada
proposição simples (ou atômica), conforme os casos vistos
anteriormente.
Já uma proposição composta (molecular) é constituída por
dois ou mais verbos, ou seja, são duas ou mais proposições simples
ligadas por conectivos lógicos. Vejam os exemplos abaixo:
a) Marcos é advogado e João é dentista.
b) Samanta mentiu ou Márcia falou a verdade.
c) Se não chover, então Carlos irá à praia.
No exemplo “a” temos uma proposição composta formada
por duas proposições simples, ligadas pelo conectivo lógico “e”. No
exemplo “b”, temos uma proposição composta formada por duas
proposições simples, ligadas pelo conectivo “ou”. No exemplo “c”,
temos uma proposição composta formada por duas proposições
simples, ligadas pelo conectivo “se...então...”.
Agora que já sabemos a diferença entre uma proposição
simples (ou atômica) e uma proposição composta (ou molecular),
vamos resolver mais uma questão que caiu em prova?
Mãos à obra!
Como o tema poderia ser cobrado em prova?
2 – (Questão inédita) Considere as construções abaixo e
julgue os itens seguintes em certo (C) ou errado (E).
- O homem sábio agiu com tranquilidade.
- Carlos e Antenor foram aprovados no concurso.
- José não passou, mas Mário foi classificado no concurso.
- Se não chover, então Beto irá à praia.
I.
A primeira é uma proposição lógica simples.
II. A segunda é uma proposição lógica composta.
III. A terceira é uma proposição lógica simples.
IV. A quarta tem dois conectivos lógicos.
Comentário:
● item I
A primeira construção é “O homem sábio agiu com
tranquilidade”. Vejam que não há conectivos lógicos. Portanto, é uma
proposição lógica simples, conforme afirma o item.
Gabarito: certo (C).
● item II
A segunda construção é “Carlos e Antenor foram aprovados
no concurso”. Reparem que o “e” sublinhado não é um operador
lógico, não liga duas proposições simples; ele está apenas unindo os
núcleos do sujeito composto “Carlos e Antenor”. Logo, como não
aparecem conectivos lógicos, temos uma proposição lógica simples.
Como o item afirma que temos uma proposição composta, o item
está errado.
Gabarito: errado (E).
● item III
A terceira construção é “José não passou, mas Mário foi
classificado no concurso”. Vejam que aqui temos o conectivo “mas =
e” que liga duas proposições simples, duas orações: José não passou;
Mário foi classificado no concurso. Portanto, é uma proposição lógica
composta, contrariando a afirmação do item.
Gabarito: errado (E).
● item IV
A quarta construção é “Se não chover, então Beto irá à
praia”. Temos aqui um único conectivo lógico: “Se...então...”. Embora
sejam duas palavras (“se” e “então”), o conectivo é único. Como o
item afirma que a construção tem dois conectivos lógicos, o item está
errado.
Gabarito: errado (E).
Muito bem, meus jovens! Vamos em frente! Falaremos agora
sobre negação de uma proposição simples. Quanto à negação de uma
proposição composta, deixaremos esse assunto pra frente, quando
estudarmos equivalências lógicas.
3. Negação de uma Proposição Simples
Dada uma proposição simples P qualquer, sempre podemos
obter outra proposição ¬P (lê-se: “não P”) chamada negação de P, e
cujo valor lógico é oposto ao P, ou seja: se P é verdadeira (V), ¬P é
falsa (F); se P é falsa (F), ¬P é verdadeira (V).
Vejam a tabela seguinte:
simples:
P
¬P
V
F
F
V
Vejamos alguns exemplos de como negar uma proposição
a)
P: João é advogado.
¬P: João não é advogado.
b)
P: Aline é mentirosa.
¬P: Aline não é mentirosa (ou Aline só fala a verdade).
c)
P: Oito é menor que vinte.
¬P: Oito não é menor que vinte (ou Oito é maior ou igual a
vinte).
Então vocês já sabem como se nega uma proposição
simples, ok? Mas antes de partirmos para o próximo item, cabe
acrescentar que podemos empregar outras expressões que são
equivalentes a “não P”.
Vejam que expressões são essas:
● “Não é verdade” que P.
● “É falso” que P.
Daí, as seguintes proposições são equivalentes:
● Estudar não é fácil.
● Não é verdade que estudar é fácil.
● É falso que estudar é fácil.
Ah! Outra coisa: é comum o uso do “~” no lugar do “¬”, ou
seja, escrever ~P é o mesmo que escrever ¬P. Mas o Cespe/Unb
prefere “¬” como símbolo da negação.
Só pra encerrar o item, vamos resolver uma questão inédita.
Avante!
Como o tema poderia ser cobrado em prova?
3 – (Questão inédita) Julgue os itens seguintes em certo (C)
ou errado (E).
● Considere como verdadeiro que “Não é verdade que Marcos
não está mentindo”. Logo, podemos concluir que:
I.
É mentira que Marcos não está mentindo.
II. Não é mentira que Marcos está dizendo verdade.
III. É verdade que Marcos não está mentindo.
IV. É mentira que Marcos está dizendo a verdade.
Comentário:
Caríssimos! Reparem que a proposição dada no enunciado é
equivalente a “Marcos está mentindo”, já que trata-se da negação
(não é verdade) da proposição”Marcos não está mentindo”.
Agora vamos analisar cada item dado. Estará certo aquele
que equivaler a “Marcos está mentindo”.
● item I
“É mentira que Marcos não está mentindo”. Reparem que o
item afirma que “Marcos não está mentindo” é uma mentira.
Concluímos então que “Marcos está mentindo”. Portanto, o item está
correto.
Gabarito: certo (C).
● item II
porque
errado.
Se “Não é mentira que Marcos está dizendo a verdade”, é
“Marcos está dizendo a verdade”. Portanto, o item está
Gabarito: errado (E).
● item III
Se “É verdade que Marcos não está mentindo”, então é fácil
concluir que “Marcos não está mentindo”. O item está, portanto,
errado.
Gabarito: errado (E).
● item IV
Se “É mentira que Marcos está dizendo a verdade”, então
concluímos que “Marcos está mentindo”. O item está, portanto,
correto.
Gabarito: certo (C).
Vamos partir pra outro assunto? Agora falaremos sobre
conectivos lógicos; aqueles usados pra formar proposições
compostas.
Muito bem! Quando fizemos a diferença entre proposição
simples e proposição composta, falamos nos conectivos “e”, “ou” e
“se...então...”. Vamos, no item seguinte, fazer um estudo detalhado
desses e dos demais conectivos lógicos.
4. Conectivos Lógicos
Já sabemos que proposição composta é aquela formada
por duas ou mais proposições simples, que vêm ligadas por
conectivos lógicos. Então, conectivos lógicos são palavras ou símbolos
que usamos para formar proposições compostas, a partir de
proposições simples dadas. São conectivos usuais em Lógica
Matemática: “e”, “ou”, “ou...ou...”, “se...então...”, “...se e somente
se...”.
Façamos, a partir de agora, um estudo detalhado desses
conectivos.
● Conectivo Λ (lê-se: “e”)
Quando colocamos o conectivo “Λ” entre duas proposições
simples P e Q, obtemos uma proposição composta P Λ Q, chamada
conjunção.
Vejam o exemplo seguinte:
P: Oito é numero par. (proposição simples)
Q: Dois é divisor de 6. (proposição simples)
P Λ Q: Oito é número par e dois é divisor de seis.
(proposição composta formada pela conjunção de P e Q)
Já vimos o que é uma conjunção. Mas resta acrescentar o
seguinte: assim como as proposições simples possuem um valor
lógico verdadeiro (V) ou falso (F), devemos também atribuir um valor
lógico (V ou F) para as proposições compostas. Então, vamos postular
um critério para estabelecer o valor lógico da conjunção P Λ Q, a
partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições simples.
Vejam:
A conjunção P Λ Q será verdadeira se P for verdadeira
e Q for verdadeira. Se ao menos uma delas for falsa, P Λ Q
será falsa.
Vamos resumir esse critério em uma pequena tabela,
chamada tabela-verdade, onde são analisadas todas as possibilidades
para os valores lógicos de P e de Q.
P
Q
PΛQ
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Caríssimos, memorizem esse e os demais critérios. Isso é
fundamental para o perfeito entendimento do conteúdo das aulas
posteriores.
Observem os exemplos seguintes:
a)
P: 2 < 7. (verdadeiro)
Q: 10 > 1. (verdadeiro)
P Λ Q: 2 < 7 e 10 > 1. (verdadeiro)
b)
P: 2 é primo. (verdadeiro)
Q: 5 divide 7. (falso)
P Λ Q: 2 é primo e 5 divide 7. (falso)
Agora que vocês já sabem o que é uma conjunção, e como
se atribui o seu valor lógico, vamos resolver duas questões de prova
envolvendo o assunto.
Caiu na prova!
4 – (TRT – BA/Cespe-Unb/2008) Considerando a proposição
P: “Mário pratica natação e judô”, julgue o item seguinte em
certo (C) ou errado (E).
● Simbolizando a proposição P por A Λ B, então a proposição
“Mário pratica natação, mas não pratica judô é corretamente
simbolizada por A Λ ¬B.
Comentário:
Sejam as proposições:
A: Mário pratica natação.
B: Mário pratica Judô.
¬B: Mário não pratica judô.
A proposição composta “Mário pratica natação mas não
pratica judô” também pode ser escrita da forma “Mário pratica
natação e Mário não pratica judô”. Em símbolos, temos: A Λ ¬B. O
item está correto.
Gabarito: certo (C).
Caiu na prova!
5 – (BB/Cespe-Unb/2008) Julgue o item seguinte em certo
(C) ou errado (E).
● Considere que A seja a proposição “As palavras têm vida” e
B seja a proposição “Vestem-se de significados”, e que sejam
consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição A Λ¬B é
falsa.
Comentário:
Como as proposições A e B são verdadeiras, concluímos que
a negação de B, ou seja, ¬B é falsa. Logo, A Λ¬B é falsa, já que V Λ F
= F.
Gabarito: certo (C).
● Conectivo v (lê-se: “ou”)
Quando colocamos o conectivo “v” entre duas proposições P
e Q, obtemos uma proposição composta P v Q, chamada disjunção.
Observem o exemplo seguinte:
P: Cinco é número natural. (proposição simples)
Q: Dois é número inteiro. (proposição simples)
P v Q: Cinco é número natural ou dois é número inteiro.
(proposição composta formada pela disjunção de P e Q)
Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico
(V ou F) da disjunção P v Q, a partir dos valores lógicos de P e de Q.
A disjunção P v Q será verdadeira se ao menos uma
das proposições P ou Q for verdadeira. Se P e Q forem ambas
falsas, então P v Q será falsa.
P
Q
PvQ
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Exemplos:
a)
P: 5 > 3. (verdadeiro)
Q: 7 é par. (falso)
P v Q: 5 > 3 ou 7 é par. (verdadeiro)
b)
P: Flamengo é time paulista. (falso)
Q: A Lua é maior que o Sol. (falso)
(falso)
P v Q: Flamengo é time paulista ou a Lua é maior que o Sol.
Agora que já apresentamos o conectivo “v”, vamos resolver
mais duas questões.
Como o tema poderia ser cobrado em prova?
6 – (Questão inédita) Julgue o item seguinte em certo (C) ou
errado (E).
● Considere que a proposição “Mário é artista ou jogador de
futebol” seja logicamente verdadeira. Então, a proposição
“Mário é artista” é necessariamente verdadeira.
Comentário:
Para facilitar o entendimento, vamos chamar de P a
proposição “Mário é artista” e de Q a proposição “Mário é jogador de
futebol”. O enunciado afirma que P v Q é verdadeira. Vimos que a
disjunção P v Q é verdadeira quando ao menos uma das proposições
for verdadeira. Então, P pode ser falsa e Q verdadeira. O item está
errado, já que ele afirma que P é necessariamente verdadeira.
Gabarito: errado (E).
Caiu na prova!
7 – (TRT-ES/Cespe-Unb/2009) Considere que cada uma das
proposições abaixo sejam verdadeiras, e julgue os itens
seguintes em certo (C) ou errado (E).
● Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade.
● Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla
não pagou o condomínio.
● Jorge não foi ao centro da cidade.
I.
A partir dessas proposições, é correto afirmar que a
proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data
correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico
verdadeiro.
II. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico falso.
III. “Tânia não estava no escritório” tem, obrigatoriamente,
valor lógico verdadeiro.
Comentário:
Muito bem, caríssimos! Para facilitar a resolução, vamos
representar cada proposição simples por uma letra maiúscula do
nosso alfabeto.
P: Tânia estava no escritório.
Q: Jorge foi ao centro da cidade.
R: Manuel declarou o imposto de renda na data correta.
S: Carla não pagou o condomínio.
Agora vamos representar, em símbolos, as proposições
compostas dadas no enunciado.
● “Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade” é
simbolicamente dada por P v Q.
● “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não
pagou o condomínio” é simbolicamente dada por R Λ S.
● “Jorge não foi ao centro da cidade” é dada por ¬Q.
Vejam que o enunciado da questão nos garante que TODAS
ESSAS PROPOSIÇÕES SÃO VERDADEIRAS. Logo, como ¬Q é
verdadeira, Q é falsa. Como P v Q é verdadeira e Q é falsa,
concluímos que
P é necessariamente
verdadeira (lembrem-se de que V v F = V). Como
R Λ Sé
verdadeira, necessariamente R é verdadeira e S é verdadeira.
(lembrem-se de que V Λ V = V).
Agora que já sabemos o valor lógico de cada proposição
simples dada, vamos analisar os itens I, II e III.
● item I
O item afirma que a proposição “Manuel declarou o imposto
de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor
lógico verdadeiro, ou seja, afirma que R Λ Q é verdadeira. O item
está errado, pois vimos que R é verdadeira e Q é falsa; portanto, R Λ
Q é falsa. Gabarito: errado (E).
● item II
O item afirma que a proposição “Carla pagou o condomínio”
tem valor lógico falso, ou seja, afirma que ¬S é falsa. O item está
correto, pois vimos que S é verdadeira e, consequentemente, sua
negação
¬S
é
falsa.
Gabarito: certo (C).
● item III
O item afirma que a proposição
“Tânia não estava no
escritório” tem valor lógico verdadeiro, ou seja, afirma que ¬P é
verdadeira. O item está errado, já que P é verdadeira e,
obrigatoriamente,
sua
negação
¬P
é
falsa.
Gabarito: errado (E).
Além da disjunção inclusiva, ou simplesmente disjunção,
que acabamos de estudar, existe a chamada disjunção exclusiva
“ou...ou”. Vamos ver a diferença entre as duas?
● Conectivo v (lê-se: “Ou...ou...”)
Caríssimos jovens, é importante não confundir a disjunção
“ou” (símbolo “v”) com a disjunção exclusiva “ou...ou...” (símbolo v).
Vamos exemplificar a diferença entre elas.
Vejam as proposições as proposições seguintes:
- Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma pulseira.
(disjunção)
- Ou Mário vai ganhar um relógio ou vai ganhar uma
pulseira. (disjunção exclusiva)
Reparem, no primeiro exemplo, que sendo a proposição
“Mário vai ganhar um relógio” verdadeira, a segunda “Mário vai
ganhar uma pulseira” também pode ser verdadeira, ou seja, Mário
pode ganhar os dois presentes. Já no segundo exemplo, temos uma
disjunção exclusiva, ou seja, Mário pode ganhar um ou outro
presente, mas não os dois.
Então vejamos qual o critério utilizado para estabelecer o
valor lógico da disjunção exclusiva.
A disjunção exclusiva P v Q será verdadeira se uma
das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Nos demais
casos, ou seja, quando ambas as proposições forem
verdadeiras ou falsas, a disjunção exclusiva será falsa.
Observem a tabela verdade:
P
Q
PvQ
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Vejam os exemplos seguintes:
a)
P: O Brasil será campeão da Copa do Mundo de 2014.
(verdadeiro)
(falso)
Q: A Argentina será campeã da Copa do Mundo de 2014.
P v Q: Ou o Brasil será campeão da Copa do Mundo de
2014 ou a Argentina será campeã da Copa do Mundo de 2014.
(verdadeiro)
Reparem, nesse exemplo, que não há possibilidade de as
duas seleções serem, ao mesmo tempo, campeãs do torneio. Para
que a disjunção exclusiva seja verdadeira, devemos ter que se uma
proposição for verdadeira, a outra deverá ser necessariamente falsa.
b)
P: 4 é múltiplo de 3. (falso)
Q: 7 é par. (falso)
P v Q: Ou 4 é múltiplo de 3 ou 7 é par. (falso)
Você quer saber como esse assunto pode aparecer na sua
prova?...Então vamos resolver mais duas questões. Avante!
Como o tema poderia ser cobrado em prova?
8 – (Questão inédita) Julgue o item seguinte em certo (C) ou
errado (E)
● Amanda, Bia e Cátia são atrizes que vão desempenhar
diferentes papeis em uma peça: bruxa, fada e princesa. Sabese que: ou Amanda é bruxa, ou Cátia é bruxa; ou Amanda é
fada, ou Bia é princesa; ou Cátia é princesa, ou Bia é princesa;
ou Bia é fada ou Cátia é fada. Com essas informações é correto
concluir que Amanda desempenhará o papel de bruxa.
Comentário:
Sejam as proposições:
P: Amanda é bruxa.
Q: Cátia é bruxa.
R: Amanda é fada.
S: Bia é princesa.
T: Cátia é princesa.
U: Bia é fada.
V: Cátia é fada.
De acordo com o enunciado,
premissas, admitidas como VERDADEIRAS:
temos
as
seguintes
● “Ou Amanda é bruxa ou Cátia é bruxa”, isto é, P v Q. (premissa 1)
● “Ou Amanda é fada ou Bia é princesa”, isto é, R v S. (premissa 2)
● “Ou Cátia é princesa ou Bia é princesa”, isto é, T v S. (premissa 3)
● “Ou Bia é fada ou Cátia é fada”, isto é, U v V. (premissa 4)
A partir desse conjunto de premissas verdadeiras, vamos
chegar a uma conclusão também verdadeira.
Vamos lá?!
Como a proposição “S” aparece mais vezes, nas premissas
2 e 3, vamos atribuir a ela o valor V(verdadeiro) e depois o valor
F(falso); não é possível um terceiro valor. Veremos que apenas um
desses dois valores (V ou F, para a proposição “S”) satisfaz à
condição de todas as premissas serem verdadeiras.
Mas antes de atribuirmos esses valores, lembrem-se de
que, com o conectivo v (“ou exclusivo”), a proposição composta será
verdadeira se uma das proposições simples for verdadeira e a outra
for falsa.
Como dissemos anteriormente, vamos atribuir valores pra
“S” nas premissas 2 e 3.
● premissa 2: R v S. Se admitirmos que “S” é verdadeira, “R” deve
ser falsa, para que R v S seja verdadeira, conforme o enunciado.
● premissa 3: T v S. Foi Admitido que S é verdadeira. Então, “T” deve
ser falsa, para que a premissa T v S seja verdadeira, conforme o
enunciado.
Muito bem! Vejam que, admitindo “S” como verdadeira,
podemos escrever o seguinte:
- Bia é a princesa. (“S” é verdadeira)
- Amanda não é a fada. (“R” é falsa)
- Cátia não é a princesa. (“T” é falsa)
Conclusão: Bia é a princesa. Como Amanda não é a fada nem a
princesa (a princesa é Bia), Amanda é a bruxa. Por eliminação, Cátia
só pode ser a fada.
Bem, ainda não terminamos! Devemos testar esses
valores nas
outras premissas (1 e 4), e verificar se não há
contradição, ou seja, se as premissas 1 e 4 também são verdadeiras.
● premissa 1: P v Q. “Ou Amanda é bruxa (V) ou Cátia é bruxa (F)” é
logicamente verdadeira.
● premissa 4: U v V. “Ou Bia é fada (F) ou Cátia é fada (V)” é
logicamente verdadeira.
Vejam que NÃO HÁ CONTRADIÇAO; todas as premissas
são verdadeiras. Logo, a nossa conclusão anterior é correta, ou seja,
Cátia é a fada, Bia é a princesa e Amanda é a bruxa. O item está,
portanto, correto.
Gabarito: certo (C).
Ah! Antes de encerrar a questão, cabe lembrar que, se
admitíssemos a proposião “S” como falsa, chegaríamos a uma
contradição, ou seja, as premissas não seriam todas verdadeiras.
Vamos ver?
● Nas premissas 2 e 3 (verdadeiras), se “S” é falsa (Bia não é a
princesa), então “R” deve ser verdadeira (Amanda é a fada), e “T”
deve ser verdadeira (Cátia é a princesa). Por eliminação, concluímos
que Bia é a bruxa.
Agora vamos atribuir esses valores às outras premissas
(1 e 4), e chegaremos a uma contradição, isto é, as premissas 1 e 4
serão falsas, contrariando o enunciado da questão.
● premissa 1: P v Q. “Ou Amanda é a bruxa (F) ou Cátia é bruxa (F)”
é uma proposição logicamente falsa.
● premissa 4: U v V. “Ou Bia é a fada (F) ou Cátia é a fada (F)” é uma
proposição logicamente falsa.
E então, perceberam porque “S” só admite o valor
verdadeiro (V)? Esse tipo de solução pode ser chamado de MÉTODO
DAS TENTATIVAS: Admitimos uma hipótese, e verificamos se há ou
não contradição; se não houver, a hipótese admitida é a correta.
Vamos resolver mais uma questão desse modelo?
Avante, caríssimos!
Caiu na prova!
9 – (PREF. NATAL/ESAF/2008) X, Y e Z são números inteiros.
Um deles é par, outro é ímpar, e o outro é negativo. Sabe-se
que: ou X é par ou Z é par; ou X é ímpar ou Y é negativo; ou Z
é negativo ou Y é negativo; ou Y é ímpar ou Z é ímpar. Assim:
a) X é par, Y é ímpar e Z é negativo;
b) X é par, Y é negativo e Z é ímpar;
c) X é ímpar, Y é negativo e Z é par;
d) X é negativo, Y é par e Z é ímpar;
e) X é ímpar, Y é par e Z é negativo.
Comentário:
Mais uma questão de disjunção exclusiva que resolveremos
pelo MÉTODO DAS TENTATIVAS.
Sejam as proposições:
P: X é par.
¬P: X é ímpar.
Q: Z é par.
¬Q: Z é ímpar.
R: Y é negativo.
S: Z é negativo.
T: Y é ímpar.
Vamos representar com símbolos todas as premissas
verdadeiras do enunciado.
● “Ou X é par ou Z é par”, isto é, P v Q.
● “Ou X é ímpar ou Y é negativo”, isto é, ¬P v R.
● “Ou Z é negativo ou Y é negativo”, isto é, S v R.
● “Ou Y é ímpar ou Z é ímpar”, isto é, T v ¬Q.
Por hipótese, vamos admitir que P é verdadeira (X é par). Então:
● Na disjunção exclusiva P v Q, como P é verdadeira, Q deve ser
falsa.
● Na disjunção exclusiva ¬P v R, como ¬P é falsa (já que P é
verdadeira), R deve ser verdadeira.
● Na disjunção exclusiva S v R, como R é verdadeira, S deve ser
falsa.
● Na disjunção exclusiva T v ¬Q, como ¬Q é verdadeira (pois já
vimos que Q é falsa), T deve ser falsa.
Resumindo, temos:
● P é verdadeira, ou seja, X é par.
● Q é falsa, ou seja, Z é ímpar.
● R é verdadeira, ou seja, Y é negativo.
Gabarito: letra B.
Reparem que nossa por hipótese foi: P é verdadeira (X é
par). Se admitirmos qualquer uma das outras duas hipóteses para X
(ímpar ou negativo), chegaremos a uma CONTRADIÇÃO. Por
exemplo, façamos X ímpar; teremos que Z é par, e Y não é negativo,
o que é uma contradição, pois se já temos o número par (Z) e o
ímpar (X), o terceiro (Y) deveria ser, necessariamente, o número
negativo.
Agora só falta falarmos em dois conectivos lógicos: o
condicional e o bicondicional. Vamos lá?!
● Conectivo (lê-se: “se...então...”)
Quando colocamos o conectivo “” entre duas proposições
simples P e Q, obtemos uma proposição composta PQ (lê-se: “se P,
então Q”), chamada condicional.
Vejam os exemplos seguintes:
a)
P: Ana foi ao parque.
Q: Marcos ficou em casa.
PQ: Se Ana foi ao parque, então Marcos ficou em casa.
b)
P: 5 divide 30.
Q: 20 é múltiplode 4.
PQ: Se 5 divide 30, então 20 é múltiplo de 4.
Vamos postular um critério para a determinação do valor
lógico (V ou F) de PQ.
A proposição PQ é falsa somente quando P é verdadeira e
Q é falsa. Em qualquer outro caso, PQ é verdadeira.
Vejam a tabela verdade que resume o critério anterior:
P
Q
PQ
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Exemplos:
a)
P: Cinco é menor que sete. (verdadeiro)
Q: Dois é divisor de seis. (verdadeiro)
PQ: Se cinco é menor que sete, então dois é divisor de
seis. (verdadeiro)
b)
P: Todo número par é múltiplo de dois. (verdadeiro)
Q: Cinco não é primo. (falso)
PQ: Se todo número par é múltiplo de dois, então cinco
não é primo. (falso)
Caríssimos, antes de partirmos para os exercícios, é
importante acrescentar que, na proposição PQ, dizemos que P é
condição suficiente para Q; e Q é condição necessária para P.
Também podemos dizer que P é o antecedente e Q é o consequente.
Vamos aos exercícios?
Agora são três questões que foram cobradas em concursos
anteriores realizados pelo Cespe/UnB.
Caiu na prova!
10 – (INSS/CESPE/2008) Proposições são sentenças que
podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não
admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere
que A represente a proposição simples “É dever do servidor
apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao
exercício da função” e que B represente a proposição simples
“É permitido ao servidor que presta atendimento ao público
solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o
cumprimento de sua missão”.
Considerando as proposições A e B, julgue os itens seguintes,
com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor
Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes
ao Raciocínio Lógico.
I. A proposição composta “Se A, então B” é necessariamente
verdadeira.
II. Sabe-se que uma proposição na forma “A ou B” tem valor
lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos,
a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta
“A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é
verdadeira.
Comentário:
● item I
Sabemos que a proposição “Se A, então B”, simbolicamente
representada por AB , é falsa se tivermos “V(verdadeiro)F(falso)”;
em todos os outros casos, a proposição AB é verdadeira, ou seja,
VF = F, VV = V, FF = V, FV = V.
De acordo com o texto, no que se refere ao Código de Ética
Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, a
proposição A é verdadeira e a proposição B é falsa. Logo, a
proposição composta AB é falsa (VF = F). Como o item afirma
que AB é verdadeira, o item está errado.
Gabarito: errado (E).
● item II
Sabemos que a proposição composta “A ou B”, chamada
disjunção e representada simbolicamente por A v B, é falsa quando A
e B são ambas falsas; em todos os outros casos, A v B é verdadeira,
ou seja, V v V = V, V v F = V, F v V = V, F v F = F.
No texto dado no enunciado, vimos que A é verdadeira e B é
falsa. Logo, A v B é verdadeira (V v F = V). O item está, portanto,
correto.
Gabarito: certo (C).
Caiu na prova!
11 – (TCU/Cespe-Unb/2004) Suponha que P represente a
proposição “Hoje choveu”, Q represente a proposição “José foi
à praia” e R represente a proposição “Maria foi ao comércio”.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir:
I.
A sentença “Hoje não choveu, então Maria não foi ao
comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente
representada por ¬P(¬R Λ ¬Q).
II. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser
corretamente representada por P Λ ¬Q.
III. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como
falsa e a proposição “José foi à praia” for valorada como
verdadeira, então a sentença representada por ¬P v Q é falsa.
Comentário:
Muito
bem!
Vamos
lá?
Primeiramente,
vamos
esquematizar os dados do enunciado. As proposições simples e suas
respectivas negações são:
P: Hoje choveu.
Q: José foi à praia.
R: Maria foi ao comércio.
¬P: Hoje não choveu.
¬Q: José não foi à praia.
¬R: Maria não foi ao comércio.
Agora vamos analisar cada item.
● item I
A sentença “(Se) Hoje não choveu, então Maria não foi ao
comércio e José não foi à praia” é simbolicamente representada por
¬P(¬R Λ ¬Q). O item está correto.
Gabarito: certo (C).
● item II
A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” é
simbolicamente representada por P Λ ¬Q. O item está certo.
Gabarito: certo (C).
● item III
Temos que:
● “Hoje não choveu” = ¬P = F (falsa).
● “José foi à praia” = Q = V (verdadeira).
Vimos que a disjunção (v) será verdadeira se pelo menos
uma das proposições for verdadeira, e será falsa quando ambas as
proposições forem falsas. Logo, a sentença representada por ¬P v Q
é logicamente verdadeira (V), já que F v V = V. Como o item afirma
que a sentença é falsa, o item está errado.
Gabarito: errado (E).
Muito bem, meus amigos!
Agora vamos resolver uma questão que caiu na última prova
para o cargo de papiloscopista da Polícia federal. Esse concurso foi
realizado em 2004. Vamos resolver apenas o item I. O item II, de
raciocínio análogo, vai ficar como questão proposta.
Vejam que molezinha!
Caiu na prova!
12 – (Papiloscopista - DPF/Cespe – Unb/2004) Sejam P e Q
variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem
julgadas como verdadeiras (V) ou falsas(F). A partir dessas
variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a
proposição condicional, denotada por PQ, que será falsa
quando P for verdadeira e Q for falsa, ou V nos outros casos; a
disjunção de P e Q, denotada por P ou Q, que será F somente
quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção
de P e Q, denotada por P Λ Q, que será V somente quando P e
Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P,
denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma
tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto
de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue o item
subseqüente.
● As tabelas de valorações das proposições P Q e Q ¬P são
iguais.
Comentário:
Vamos construir as tabelas de valorações das proposições P
Q e Q ¬P, e depois compará-las.
Vejam:
P
Q
P Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
P
Q
¬P
Q ¬P
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
Comparando as últimas colunas dessas tabelas, notamos que
são diferentes. Por exemplo, na primeira linha, quando P e Q são
logicamente verdadeiras, P Q é logicamente verdadeira, e Q ¬P
falsa.
Como o item afirma que as tabelas são iguais, o item
está errado.
Gabarito: errado (E).
Oh! só pra lembrá-los, faremos um estudo mais detalhado
dessas tabelas em aulas posteriores.
Muito bem, caríssimos! Vamos ao último conectivo?
Agora é o conectivo “...se e somente se...”. Com ele,
encerramos o conteúdo teórico desta “aula OO”.
● Conectivo  (lê-se: “...se, e somente se,...”)
Quando colocamos o conectivo “” entre duas proposições P
e Q, obtemos uma nova proposição P Q (lê-se: “P se, e somente
se, Q”), chamada bicondicional.
Vejam os exemplos:
a)
P: 7 é número ímpar.
Q: 18 é divisor de 36.
P Q: 7 é número ímpar se, e somente se, 18 é divisor de
36.
b)
P: Um trapézio tem dois lados paralelos.
Q: Um triângulo tem três lados.
P Q: Um trapézio tem dois lados paralelos se, e somente
se, um triângulo tem três lados.
Vamos postular um critério para determinar o valor lógico (V
ou F) do bicondicional P Q , a partir dos valores lógicos conhecidos de P
e Q.
O bicondicional P Q é verdadeiro somente quando P
e Q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em qualquer
outro caso, o bicondicional é falso.
Vejam a tabela-verdade que resume o critério anterior.
Comparem essa tabela-verdade com as outras vistas anteriormente.
P
Q
P Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Vamos aos exemplos:
a)
P: 8 divide 16. (verdadeiro)
Q: 5 é múltiplo de 25. (falso)
(falso)
P Q: 8 divide 16 se, e somente se, 5 é múltiplo de 25.
b)
P: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a
hipotenusa. (falso)
Q: A área de triângulo é a base vezes a altura. (falso)
PQ: Num triângulo retângulo, o cateto é maior que a
hipotenusa se, e somente se, a área de um triângulo é a base vezes a
altura. (verdadeiro)
OBSERVAÇÃO: No bicondicional PQ, dizemos que P é condição
necessária e suficiente para Q; e Q é condição necessária e suficiente
para P.
Vamos resolver uma questão referente ao assunto?
Caiu na prova!
13 – (STN/Esaf/98) Sabe-se que a ocorrência de B é condição
necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a
ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é
condição necessária e suficiente para a ocorrência de A.
Assim, quando C ocorre:
a) D ocorre e B não ocorre;
b) D não ocorre e A não ocorre;
c) B e A ocorrem;
d) nem B nem D ocorrem;
e) B não ocorre ou A não ocorre.
Comentário:
Sabemos que, no condicional P Q, a proposição P é
condição suficiente para Q e a proposição Q é condição necessária
para P; no bicondicional P Q, a proposição P é condição necessária
e suficiente para Q e a proposição Q é condição necessária e
suficiente para P.
De acordo com o enunciado, temos:
C B; B D; D A
Assim, quando C ocorre, temos:
● C B: Como C é verdadeira, B é necessariamente verdadeira.
● B D: Como B é verdadeira, D é necessariamente verdadeira.
● D A: Como D é verdadeira, A é necessariamente verdadeira.
Resumindo: A, B, C e D são logicamente verdadeiras, isto é,
ocorrem.
Gabarito: letra c.
Ufa!!! Finalmente encerramos a “aula 00”. Espero que
tenham tido 100% de aproveitamento. Pra conferir, segue
uma coletânea de questões de provas anteriores. Vamos
começar a “aula 01” resolvendo essas questões.
Caprichem e até a próxima!!!
5. Questões Propostas
01 - (TRT-BA/2008) Considerando a proposição P: ”Mário
pratica natação e judô”, julgue o item seguinte.
● Simbolizando a proposição P por A∧B, então a proposição
”Mário pratica natação mas não pratica judô” é corretamente
simbolizada por A v ¬B.
02 – (STF/Cespe-Unb/2008) Considere as seguintes
proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:
P: Nesse país o direito é respeitado.
Q: O país é próspero.
R: O cidadão se sente seguro.
S: Todos os trabalhadores têm emprego.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes em
certo (C) ou errado (E).
I. A proposição ”O país ser próspero e todos os trabalhadores
terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito
ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q
∧ R) P.
simbolicamente por (Q ∧ R) P.
II. A proposição ”Se o país é próspero, então todos os
trabalhadores têm emprego” pode ser representada
simbolicamente por Q S.
III. A proposição ”Nesse país o direito é respeitado, mas o
cidadão não se sente seguro” pode ser representada
simbolicamente por P ∧ (¬R) .
03 – (TRE-MT/Cespe-Unb/2010) Os 21 vereadores de
determinada câmara municipal são filiados aos partidos A, B e
C. Sabe-se que a quantidade de vereadores do partido A é
igual à metade da quantidade de vereadores do partido B e
igual ao dobro da quantidade de vereadores do partido C.
Tendo como referência a situação apresentada, considerando
os conectivos lógicos ∧ que significa ”e”, v que significa ”ou”,
¬ que significa ”não”, julgue o item seguinte:
● A proposição ”Se o partido A tem 8 vereadores, então o
partido C tem 4 vereadores” é uma proposição verdadeira.
04 – (TJ-SE/FCC/2009) Considere as seguintes premissas:
P: Trabalhar é saudável.
Q: O cigarro mata.
A afirmação ”trabalhar não é saudável ou o cigarro mata” é
falsa se:
(A) P é falsa e ¬Q é falsa.
(B) P é falsa e Q é falsa.
(C) P e Q são verdadeiras.
(D) P é verdadeira e Q é falsa.
(E) ¬P é verdadeira e Q é falsa.
05 – (MPA/FEC/2010) Sabemos que ”Rita vai à praia ou ao
cinema” é uma proposição logicamente verdadeira. Ocorre que
Rita não foi ao cinema, logo:
(A) Rita não foi à praia.
(B) Rita foi à praia.
(C) Rita foi à praia e ao cinema.
(D) Rita pode não ter ido à praia.
(E) Rita foi ao cinema.
06 – (ENAP/Esaf/2006) Carmem, Gerusa e Maribel são
suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por
uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido
individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente,
então Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é
culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel não é
inocente. Logo:
(A) Gerusa e Maribel são as culpadas;
(B) Carmem e Maribel são culpadas;
(C) somente Carmem é inocente;
(D) somente Gerusa é culpada;
(E) somente Maribel é culpada.
07 – (MTE/Esaf/2008) De três irmãos - José, Adriano e Caio -,
sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço.
Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o
mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos
são, respectivamente:
(A) Caio e José.
(B) Caio e Adriano.
(C) Adriano e Caio.
(D) Adriano e José.
(E) José e Adriano.
08 – (FISCAL-RECIFE/Esaf/2003) André é inocente ou Beto é
inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é
inocente se, e somente se, Dênis é culpado. Ora, Dênis é
culpado. Logo:
(A) Caio e Beto são inocentes.
(B) André e Caio são inocentes.
(C) André e Beto são inocentes.
(D) Caio e Dênis são culpados.
(E) André e Dênis são culpados.
09 – (MTE/Esaf/2003) Se não durmo, bebo. Se estou furioso,
durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não
bebo. Logo:
(A) não durmo, estou furioso e não bebo;
(B) durmo, estou furioso e não bebo;
(C) não durmo, estou furioso e bebo;
(D) durmo, não estou furioso e não bebo;
(E) não durmo, não estou furioso e bebo.
10 – (EMBASA/Cespe-Unb/2010) Julgue o item seguinte em
certo (C) ou errado (E).
● Considerando que as proposições A, B, B C e (A∧B) (C
D) sejam verdadeiras, então a proposição D será,
obrigatoriamente, verdadeira.
Gabarito
01 – E
02 – E/C/C
B
08 – B
09 – D
03 – E
04 – D
10 – C
05 – B
06 – B
07 –