gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS – 2011 - GABARITO
1) (UNEB) Se x pertence ao intervalo 0,   e tgx  2 , então cos x vale:.
 2


3
b) 2
c) 1
d) 5
e) 3
2
2
5
2
5
Solução. O arco x está no 1º quadrante. Os valores de senx e cosx são positivos. Aplicando as relações
trigonométricas, temos:
a)
1  tg 2 x  sec 2 x

1
1
1
5.

 1  (2) 2  sec 2 x  sec x  5  (positiva )  cos x 


sec x 
cos x
sec x
5
5

tgx  2
2) Para todo x є IR tal que x    k, k  Z , a expressão cos 2 x 
. tg 2 x  1 é igual a:
2
senx
a)
b) 1 cos x
c) 1
d) 2senx
e) senx  cos x
cos x
Solução. Substituindo as relações trigonométricas para simplificação, temos:
tg 2 x  1  sec 2 x

1

 1 
 cos 2 x . tg 2 x  1  cos 2 x . sec 2 x  cos 2 x .
  1.
sec x 
2
cos
x
cos
x



2
2

 cos x . tg x  1




 

 


3) (CEFET) Assinale a alternativa falsa.
c) cos x  3
d) senx  1
e) cos x  50
4
Solução. Analisando as possibilidades levando em conta as condições de existência, temos:
a) sec x  3
b) tgx  50000
a) (V). Se secx = 3, então cosx = 1/3 < 1.
b) (V). A tgx pode assumir valores elevados. Basta que o arco aproxime-se do ponto (1,0).
c) (V). O valor do cosseno informado pertence ao intervalo [-1, 1].
d) (V). O valor do seno informado corresponde ao arco de π/2 rad.
e) (F). O valor do cosseno informado é maior que 1.
4) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) nas proposições.
3
3
(V) cot g30º  3 (V) sec 60º  2 (F) cos sec 30º 
3
3
Solução. É preciso conhecer os valores das funções nos pontos indicados.
(F) tg30º  3
(F) tg60º 
5) Simplificando a expressão E  sec x  cos x
. cos sec x  senx 
. tgx  cot gx obtém-se:
a) E  senx
b) E  cos x
c) E  tgx
d) E  1
e) E  0
Solução. Escrevendo a expressão em termos de senos e cossenos, temos:
 1
 1
  senx cos x 
E  sec x  cos x 
. cos sec x  senx 
. tgx  cot gx   
 cos x .
 senx .


cos
x
senx


  cos x senx 
 1  cos 2 x   1  sen 2 x   sen 2 x  cos 2 x   sen 2 x   cos 2 x  
.
1

.
.
  
.
.
E  

cos
x
senx
senx
.
cos
x
cos
x
senx
senx
.
cos
x




 


1


E  senx. cos x .
 1
senx
.
cos
x


6) (UCSAL) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos 4 x  sen 4 x é equivalente a:
a) sen 2 x  1 b) 2senx cos x
c) 2 cos 2 x  1
d) 2  cos 2 x e) (senx  cos x ). cos x
Solução. Aplicando a fatoração dos produtos notáveis (a2 – b2) = (a + b).(a – b), temos:

 



cos 4 x  sen 4 x  cos 2 x  sen2 x . cos 2 x  sen2 x  cos 2 x  1 cos 2 x .(1)  2 cos 2 x  1 .
7) Simplificando a expressão y  senx  1  cos x , obtém-se:
1  cos x
senx
a) y  2 cot gx
b) y  2senx
c) y  2 cos x
d) 2tgx
e) y  2 cos sec x
Solução. Igualando os denominadores e aplicando as relações trigonométricas, temos:
senx
1  cos x sen 2 x  1  cos x 
sen 2 x  1  2 cos x  cos 2 x
1  1  2 cos x




1  cos x
senx
senx.1  cos x 
senx 1  cos x 
senx 1  cos x  .
2
y
y
2  2 cos x
21  cos x 
2
 1 


 2.
  2. cos sec x
senx 1  cos x  senx 1  cos x  senx
 senx 
8) Sabe-se que 4tg 2 x  9 e

 x   . Então a expressão E  4senx  6 cos x  cot gx vale:
2
b)  3
a) 3
c) 2
2
2
e) 9
d)  2
3
4
3
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno é positivo e o cosseno negativo. Logo a tangente e
cotangente são negativas.
i) 4tg 2 x  9  tg 2 x 
9
 tgx 
4
ii) sec 2 x  1  tg 2 x  sec 2 x  1 
9
3
2
  negativa   cot gx  
4
2
3
9
13
13
2
2 13
 sec x 

 cos x  

(negativo )
4
4
2
13
13
.
iii) sen 2 x  cos 2 x  1  senx  1 
4
9
3
3 13
 senx 


(positivo )
13
13
13
13
 3 13 


  6  2 13     2    12 13  12 13  2   2
E  4senx  6 cos x  cot gx  4


13   3 
13
13
3
3
 13 

9) (UF VIÇOSA) Sabendo que senx 
a) 3 2
4
b) 2 2
3
1 
e  x   , o valor de cos sec x  sec x é:
3 2
cot gx  1
d)  2 2
3
c)  3 2
4
e) 3
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno e a cossecante são positivos, o cosseno, secante,
tangente e cotangente são negativos.
i) senx 
1
 cos sec x  3
3
ii) sen 2 x  cos 2 x  1  cos x  1 
iii) tgx 
1
senx
3

cos x  2 2

3
1
 cos x 
9
8
2 2
3
3 2

 sec x  

9
3
4
2 2
1 3
1
.

 cot gx  2 2
3 2 2
2 2
.
 3 2
 12  3 2
3   

4
cos sec x  sec x
12  3 2
12  3 2   1  2 2 


4
iv )



.

cot gx  1
 2 2 1
 2 2  1 4  2 2  1 4  1  2 2   1  2 2 


 12  24 2  3 2  12 21 2
3 2


41  8 
 28
4
 


10) (UNIFOR) Para todo x  k. , k  Z , a expressão cos sec x  cos x é equivalente a:
2
sec x  senx
a)  tgx
b) tgx
c)  cot gx
d) cot gx
e) sec x.tgx
Solução. Escrevendo as funções em termos de senos e cossenos, temos:
1
1  senx. cos x
 cos x
cos sec x  cos x senx
1  senx. cos x
cos x
cos x
senx



.

 cot gx .
1
1  senx. cos x
sec x  senx
senx
1  senx. cos x senx
 senx
cos x
cos x

 x   e tgx   2 . O valor do seno de x é:
2
a) 3
b) 2
c) 3
d) 6
e) 2
3
2
3
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno e a cossecante são positivos, o cosseno, secante,
tangente e cotangente são negativos.
11) (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal que

2
2

sec x  1  tg x
i) 
 sec 2 x  1   2

tgx   2

2
 sec 2 x  3  sec x   3  cos x  


2
e x está no 1º quadrante, calcule: a) cot gx
3
Solução. Aplicando as relações trigonométricas, temos:
4
a) sen x  cos x  1  cos x  1   cos x 
9
2
b) cos sec x 
2
1
1 3
 
2
senx
2
3
3

3
3
.

senx
senx
3 
6
ii) tgx 
 2
 senx   
. 2 

cos x
3
3
 3 

3
12) Se senx 
1
b) cos sec x
5
5
5
cos x
5 3
5
3

 cot gx 


. 
2
9
3
senx
3 2
2
.
3