Equações e Funções Trigonométricas

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2013.2
Equações e Funções
Trigonométricas
Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção
Equações Trigonométricas
Equações trigonométricas são aquelas que envolvem
as funções trigonométricas em seus membros.
Exemplos:
sen (x) =
𝟏
𝟐
cos (2x) = -cos(x)
tg (x) =
𝝅
𝟒
Como as equações trigonométricas possuem uma
gama muito grande de variedades, vamos fazer o
estudo dos principais tipos.
Salvo indicação em contrário, usaremos x como
incógnita.
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Relações Trigonométricas
As relações entre os valores das funções
trigonométricas de um mesmo arco são
denominadas relações trigonométricas. Algumas
relações são importantes como:
𝐬𝐞𝐧𝟐
(𝐱) + 𝐜𝐨𝐬² (𝐱) = 1
𝐭𝐠 (𝐱) =
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
𝐜𝐨𝐭𝐠 (𝐱) =
𝟏
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝟏
𝐭𝐠 (𝐱)
=
𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝟏
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
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Equações Trigonométricas
a)
sen (x) = a
-1 < a < 1
y
y
/2
sen (x) = sen (y)
x = y + 2k
sen (x) = sen ( - y)
x = ( - y) + 2k
-y
a -y
y

y
2 x
O
3/2
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Praticando
Resolva as equações:
a) sen2 (𝑥) + 3 sen(𝑥) + 2 = 0
𝒙 =
𝟑

𝟐
+ 𝟐𝒌, k  Z
b) sen(2𝑥 − ) = −
𝒙 =
𝟕

𝟔
3
2
+ 𝟐𝒌, k  Z
OU
𝒙 =
𝟒

𝟑
+ 𝟐𝒌, k  Z
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Equações Trigonométricas
b)
cos (x) = a
-1 < a < 1
cos (x) = cos (y)
x = y + 2k
cos (x) = cos (2 - y)
x = y + 2k
y
/2
y

O
22--yy
a
2
3/2
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x
Praticando
Resolva as seguintes equações:
a) cos(2𝑥) = 0
𝒙 =

𝒌
+ ,
𝟒
𝟐
kZ
b) sen2 (𝑥) + 2cos(𝑥) = 1
𝒙 =

𝟐
+ 𝒌, k  Z
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Equações Trigonométricas
t
c)
tan (x) = b
b  IR
y
/2
b
y
tan (x) = tan (y)
x = y + k

O
O
2
3/2
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xx
Praticando
Resolva as equações:
a) tan(3𝑥) = 0
𝒙 =
𝒌
,
𝟑
b) cotg(𝑥) =
𝒙 =

𝟔
kZ
3
+ 𝒌, k  Z
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Revisando
Vamos observar o sinal das funções em
cada quadrante.
/2
Use Sempre a Tua Cabeça.
S U

T
C
2
U = Todas as funções tem valor positivo.
S = A função seno tem valor positivo.
T = A função tangente tem valor positivo.
C = A função cosseno tem valor positivo.
3/2
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Revisando Funções
O estudo de Funções é de extrema importância para
vários segmentos da ciência.
1) Graficaliza expressões matemáticas complicadas;
2)
3)
Modela o comportamento de fenômenos físicos;
Fundamenta o Cálculo Diferencial e Integral;
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Revisando Funções
Uma expressão matemática pode representar
uma função ou simplesmente uma relação
entre duas ou mais variáveis. Para identificar,
graficamente, uma função devemos:
Ver aplicação no GeoGebra:
Identificar_função
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Conceitos Trigonométricos
Antes de falar sobre as funções
trigonométricas, vamos fazer uma
pequena
revisão
de
conceitos
trigonométricos:
Ver aplicação no GeoGebra:
o Ciclo_trigonométrico1
o Ciclo_trigonométrico2
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Histórico
Historicamente, o primeiro indício do
tratamento funcional da Trigonometria surgiu
em 1635.
Gilles Personne de Roberval
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Histórico
Porém, essa área só avançou efetivamente no
século XIX com Fourier.
Jean–Baptiste Joseph Fourier
Estudo dos movimentos periódicos
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Funções Trigonométricas
a) Função Seno:
f : IR  IR
f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y = sen x.
 x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
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Funções Trigonométricas
a) gráfico :
y
-
-

2
0

2
3
2
2
x
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Funções Trigonométricas
a) Função seno:
Periodicidade :
sen x = sen ( x + 2)
• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2
radianos.
2
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
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Funções Trigonométricas
b) Função cosseno :
f : IR  IR
f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y = cos x.
 x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
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Funções Trigonométricas
b) gráfico:
y
-

2
0

2

3
2
2
x
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Funções Trigonométricas
b) Função cosseno:
Periodicidade :
cos x = cos ( x + 2)
• A função y = cos x é periódica e tem período
igual a 2 radianos.
2
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
cos x = cos (- x)
• A função y = cos x é par.
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Funções Trigonométricas
c) Função tangente:
f : D  IR
D = { x  IR / x   / 2 + k  }
f(x) = tg x
A função associa cada arco x, x   / 2 + k , da
circunferência trigonométrica a um número real
y = tg x.
Im(f) = IR
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Funções Trigonométricas
c) gráfico:
y
-

2

2

3
2
2
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Funções Trigonométricas
c) Função Tangente:
Periodicidade :
tg x = tg ( x + )
• A função y = tg x é periódica e tem período igual a 
radianos.

• Se f(x) = a + b. tg(cx + d)  período de f =
c
Paridade :
tg x = - tg (- x)
• A função y = tg x é ímpar.
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Funções Trigonométricas
Ex.: Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais
positivos, uma função periódica de período 3/ 2.
a) Determine c.
Resposta: c = 4/3
b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ],
determine a e b.
Resposta: a = 4 e b = 1
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Obrigada pela atenção!
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