Inequação do 2º Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Inequação do Segundo
Grau
Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de produção
Introdução
• As inequações representam uma desigualdade
matemática. Elas são identificadas pelos sinais
>(maior), <(menor), ≤(menor igual), ≥(maior
igual).
• São inequações do 2º grau ou quadráticas, as
inequações constituídas por uma lei matemática
com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são
números reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal
de desigualdade. Assim é uma inequação do
segundo grau, por exemplo, 3x² +2x –5 > 0
onde a = 3, b = 2 e c = -5.
Exemplos de Inequações do 2º
Grau
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c ≠ 0
Sendo a ≠ 0.
Soluciando Inequações do 2º Grau
Para solucionar inequações do 2º grau deve-se:
1 – Determinar as raízes das funções;
2 – Representar graficamente a função a partir dos
pontos determinados com o cálculo das raízes e
com a análise do coeficiente a;
3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal;
4 – Analisar os resultados e obter a resposta da
inequação.
Exemplo:
Determine o conjunto solução da inequação:
x² - 5x + 8 < 0
Solução:
Etapa1: Vamos encontrar as raízes da função.
Observe que neste caso, queremos encontrar
os valores onde a função é negativa. Assim:
Δ = (-5)² - 4.1.8  Δ = 25 – 32  Δ = -7
Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos
obter uma raiz quadrada negativa, logo ela não
vai pertencer ao conjunto dos reais.
Continuando:
Etapa2: Como os valores das raízes
encontradas não irão pertencer ao conjunto dos
reais, a parábola não irá cortar o eixo x. Como
sabemos que a =1, portanto a > 0, a parábola
apresenta a concavidade para cima.
Etapa 3 e 4: Como
queremos f(x) < 0,
estamos buscando os
valores onde a função é
negativa, porém o gráfico
mostra que a função não
tem valores negativos:
S={}
Exercícios:
1. Encontre o conjunto solução das inequações
abaixo:
a) x² - 6x + 8 < 0
b) x² - 2x + 1 > 0
Sistema de Inequações do 2º grau
Para resolver um sistema de
inequações podemos resolver cada
uma das inequações separadamente
e, em seguida, fazer a intersecção dos
conjuntos solução.
Exemplo:
1. Resolva o sistema:
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0
3𝑥 − 6 > 0
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e
g(x) = 3x – 6
Em f(x) = x² - 6x + 9
Δ = (-6)² - 4.1.9
Δ=0
x’ = x’’ = 3
Em g(x) = 3x – 6
3x – 6 = 0
3x = 6
X=2
Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0.
Continuando:
Estudando os sinais das funções:
Indicando os valores de x que satisfazem as
inequações:
V1 = R
V2 = {x ∈ IR/ x
> 2}
Continuando:
Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções:
V = {x ε IR/ x > 2}
Inequeção-Produto
Considerando f(x) e g(x) funções da variável x,
chamamos
de
inequação-produto
desigualdades como:
f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0
A resolução de uma inequação-produto pode
ser feita com o estudo dos sinais das funções
separadamente, seguido da determinação dos
sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente,
identificando os valores de x que satisfazem a
inequação-produto.
Exemplo:
1. Determine o conjunto solução da inequaçãoproduto:
(x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0
Solução:
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x +
10 e
g(x) = 6x +12
x² - 7x + 10 = 0
Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9
x1 = (7+3)/2 = 5
x2 = (7-3)/2 = 2
6x + 12 = 0
6x = -12
x = -2
Vamos estudar os sinais das funções 
Continuando:
Estudando os sinais das funções:
Queremos que f(x).g(x) ≥ 0.
Continuando:
Estudando os sinais do produto das funções:
Identificando os valores de x que satisfazem a
inequação, temos:
S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}
Inequação-Quociente
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x,
chamamos
de
inequação-quociente
desigualdades como:
Na resolução de uma inequação-quociente
devemos lembrar que o denominador deve ser
diferente de zero e a regra de sinais é a mesma,
tanto para multiplicação como para divisão, no
conjunto dos reais.
Exemplo:
Determine o conjunto solução da inequação-quociente:
Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x–3 e g(x)
= -x+2:
-x² + 4x–3 = 0
Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4
x1 = (-4+2)/(-2) = 1
x2 = (-4-2)/(-2) = 3
-x + 2 = 0
-x = -2
x=2
Continuando:
Estudando o sinal das funções:
Queremos que f(x)/g(x) ≥ 0.
Continuando:
Estudando os sinais do quociente das funções:
Identificando os valores de x que satisfazem a
inequação, temos:
S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
Exercícios:
1. Resolva as inequações abaixo:
a) x² + 2x – 5 ≤ -3x + 1 ≤ 4x² + x +2
b) (x² – 2x + 1).(-x + 6) < 0
x+4
Obrigado pela atenção!
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