Inequação do Segundo Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1
Inequação do Segundo
Grau
Bárbara Magalhães Simionatto Engenharia Civil
Rafael Alves da Silva – Engenharia Civil
Na aula de hoje...
Introdução e Exemplos de Inequação do Segundo
Grau;
Solucionando as Inequações do Segundo Grau;
Sistemas de Inequações;
Inequação- Produto e Inequação- Quociente.
Introdução
• As inequações representam uma desigualdade
matemática. Elas são identificadas pelos sinais (>)
maior, (<) menor, (≤) menor igual, (≥) maior igual.
• São inequações do 2º grau ou quadráticas, as
inequações constituídas por uma lei matemática com
a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são números
reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade.
Assim é uma inequação do segundo grau, por
exemplo, 3x² +2x –5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.
Exemplos de Inequações do 2º Grau
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c ≠ 0
Sendo a ≠ 0.
Soluciando Inequações do 2º Grau
Roteiro para solucionar inequações do 2º grau
deve-se:
1– Determinar as raízes das funções;
2– Representar graficamente a função a partir dos
pontos determinados com o cálculo das raízes e
com a análise do coeficiente a;
3– Aplicar os conceitos de estudo do sinal;
4– Analisar os resultados e obter a resposta da
inequação.
Exemplo
Determine o conjunto solução da inequação:
x² - 5x + 8 < 0
Solução:
Etapa 1: Vamos encontrar as raízes da função. Observe
que neste caso, queremos encontrar os valores onde a
função é negativa. Assim:
Δ = (-5)² - 4.1.8  Δ = 25 – 32  Δ = -7
Ao colocarmos na fórmula de Bháskara, vamos obter uma
raiz quadrada negativa, logo ela não vai pertencer ao
conjunto dos reais.
Continuando...
Etapa 2: como os valores das raízes encontradas não irão
pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não irá cortar o
eixo x. Como sabemos que a =1, portanto a > 0, a parábola
apresenta a concavidade para cima.
Etapas 3 e 4: Como queremos
f(x) < 0, estamos buscando os
valores onde a função é
negativa, porém o gráfico
mostra que a função não tem
valores negativos:
S={}
Exercícios
1. Encontre o conjunto solução das inequações
abaixo:
a) x² - 6x + 8 < 0
b) x² - 2x + 1 > 0
Sistema de Inequações do 2º grau
Para resolver um sistema de inequações podemos
resolver cada uma das inequações separadamente
e, em seguida, fazer a intersecção dos conjuntos
solução.
Exemplo
1. Resolva o sistema:
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e
g(x) = 3x – 6
Em f(x) = x² - 6x + 9 = 0
Δ = (-6)² - 4.1.9
Δ= 0
x1= x2 = 3
Em g(x) = 3x – 6 = 0
3x – 6 = 0
3x = 6
x= 2
Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0.
Continuando...
Estudando os sinais das funções:
Indicando os valores de x que satisfazem as
inequações:
V1 = R
V2 = {x ε IR/ x > 2}
Continuando...
Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções:
V = {x ε IR/ x > 2}
Inequeção- Produto
Considerando f(x) e g(x) funções da variável x,
chamamos de inequação-produto desigualdades
como:
f(x).g(x) > 0
f(x).g(x) ≥ 0
f(x).g(x) < 0
f(x).g(x) ≤ 0
Resolvendo inequações-produto
A resolução de uma inequação-produto pode ser
feita com o estudo dos sinais das funções
separadamente, seguido da determinação dos
sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente,
identificando os valores de x que satisfazem a
inequação-produto.
Exemplo
1. Determine o conjunto solução da inequação-produto:
(x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0
Solução:
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x + 10 e
g(x) = 6x +12
Para f(x):
x² - 7x + 10 = 0
Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9
x1 = (7+3)/2 = 5
x2 = (7-3)/2 = 2
Para g(x):
6x + 12 = 0
6x = -12
x = -2
Vamos estudar os sinais das funções 
Continuando...
Estudando os sinais das funções:
Queremos que f(x).g(x) ≥ 0.
Continuando...
Estudando os sinais do produto das funções:
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação,
temos:
S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}
Exercícios
2. Encontre o conjunto solução do produto das
inequações abaixo:
a) (x²- 6x + 8) . (-2x² + 18) > 0
b) (x²- 5x + 4) . (-x² + 6x) > 0
Inequação- Quociente
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x,
chamamos de inequação-quociente desigualdades
como:
Exemplo
Determine o conjunto solução da inequação-quociente:
Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x–3 e g(x) = x+2:
Para f(x):
Para g(x):
-x² + 4x–3 = 0
-x + 2 = 0
Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4
-x = -2
x=2
x1 = (-4+2)/(-2) = 1
x2 = (-4-2)/(-2) = 3
Resolvendo inequações-quociente
Na resolução de uma inequação-quociente
devemos lembrar que o denominador deve ser
diferente de zero e a regra de sinais é a mesma,
tanto para multiplicação como para divisão, no
conjunto dos reais.
Continuando...
Estudando o sinal das funções:
Queremos que f(x)/g(x) ≥ 0.
Continuando...
Estudando os sinais do quociente das funções:
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação,
temos:
S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
Exercícios
3. Encontre o conjunto solução do quociente da
inequação abaixo:
2
𝑥 − 6𝑥 + 5
≤0
𝑥−3
Obrigado pela atenção!
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