A tangente no ciclo trigonométrico Matemática 2 Aulas 10 e 11 Prof. Figo Inicialmente definimos a função tangente como sendo o quociente entre os catetos oposto e adjacente em relação ao ângulo interno (agudo) de um triângulo retângulo. No âmbito do ciclo trigonométrico usaremos o mesmo conceito, todavia sua estrutura permite extender o conceito da tangente para ângulos maiores do que 90°. sen 𝜃 tg 𝜃 = cos 𝜃 A função tangente Considere o ciclo trigonométrico abaixo, o qual apresenta uma reta tangente no ponto que consideramos (desde o início) a origem das medidas dos arcos, isto é, o ponto 𝐴(1; 0) Algebricamente a tangente de um ângulo 𝛼 é definida como sendo o comprimento do segmento 𝐴𝐵, o qual poderá ser zero, positivo ou negativo. Evidentemente, o sinal da tangente depende da orientação que tomamos para o seu cálculo. Como a mesma é medida na vertical, teremos que os valores medidos acima do zero serão considerados positivos. Os valores medidos abaixo do zero serão tomados como negativos. Tangente dos ângulos notáveis e seus múltiplos Variação do sinal da função tangente A função cotangente A cotangente de um ângulo é definida como sendo o inverso de sua tangente, ou seja, se 𝜃 é um arco do ciclo trigonométrico, temos que 1 cotg 𝜃 = tg 𝜃 se n 𝜃 Como tg 𝜃 = cos 𝜃 , segue que cotg 𝜃 = cotg 𝜃 = cos 𝜃 sen 𝜃 1 se n 𝜃 cos 𝜃 , ou seja: Para quais ângulos 𝜃 a cotangente não está definida? Observando a relação cotg 𝜃 = cos 𝜃 sen 𝜃 , concluímos que, se sen 𝜃 = 0, sua cotangente não existe. Ilustremos com alguns exemplos: 𝜃 = 0 , 𝜃 = 𝜋 , 𝜃 = 2𝜋 𝜃 = 3𝜋, etc. De modo geral, se 𝜃 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, temos que ∄ cotg 𝜃 Interpretação geométrica da cotangente Outras relações trigonométricas Definimos como a secante de um ângulo 𝜃 o inverso de seu cosseno, isto é: sec 𝜃 = 1 cos 𝜃 , onde cos 𝜃 ≠ 0. Para o seno não ficar “sozinho” nesse conceito, definimos a cossecante de um ângulo 𝜃 como sendo o inverso de seu seno, isto é: 1 cossec 𝜃 = se n 𝜃 , onde sen 𝜃 ≠ 0.