série trigonométrica e exponencial de fourier

REPRESENTAÇÕES DE FOURIER
PARA SINAIS CONTÍNUOS – SÉRIE
TRIGONOMÉTRICA
• Qualquer função periódica prática de frequencia ωo pode ser
expressa com uma soma infinita de funções seno ou cosseno
com múltiplos inteiros de ωo .
Série Trigonométrica de Fourier de f(t)
wo =
2p
® Frequência Fundamenta l
T
sin(n wot) ou cos(nwot) ® nth harmônicas de f(t)
an e bn ® coeficient es de Fourier(amplitude das senóides do componente ac) ao ® componente dc ou valor médio de f(t)
• A série de Fourier de uma função periódica f(t) é a
representação que separa f(t) em um componente CC e um
componente CA, contendo uma série infinita de senóides
harmônicas.
• Para ter-se uma série de Fourier convergente f(t) deve:
– Ter apenas um valor para cada t
– Ter um número finito de descontinuidades finitas em um período.
– Ter um número finito de máximos e mínimos em um período.
to +T
ò
f (t ) dt < ¥
to
• A principal tarefa na série de Fourier é a determinação dos
coeficientes de Fourier a0 ,an e bn . O processo de
determinação dos coeficientes é chamado Analise de Fourier.
• Integrais trigonométricas úteis na análise de Fourier:
• Integrais trigonométricas úteis na análise de Fourier:
• Expressão de a0:
a0 é o valor médio de f(t)
• Expressão de an:
• Similarmente como obteve-se a expressão de an, obtém-se a
expressão de bn :
• Desde que f(t) é periódica, pode ser mais conveniente atribuir
os limites de integração de –T/2 a T/2 ou generalmente de to
a to+T em vez de 0 a T.
• Forma alternativa da série de Fourier é a forma amplitudefase:
• Espectro de frequencia de um sinal consiste em plotar a
amplitude e a fase das harmônicas versus a frequencia.
• Para avaliar os coeficientes Fourier a0 ,an e bn ,
frequentemente precisamos aplicar as seguintes integrais:
Amplitude decai rápido com a frequencia
SIMETRIA
• Serve para saber antecipadamente quaL coeficiente será
zero.
• SIMETRIA PAR
SIMETRIA PAR
SIMETRIA PAR
SIMETRIA PAR
SIMETRIA IMPAR
SIMETRIA IMPAR
SIMETRIA IMPAR
• Qualquer função periódica que não é par nem
ímpar pode ser decomposta em partes pares e
ímpares.
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par.par=par
Ímpar.ímpar=par
Ímpar.par=ímpar
par+(-)par=par
ímpar +(-) ímpar= ímpar
SIMETRIA DE MEIA ONDA
• Um meio ciclo é a versão invertida do meio ciclo
adjacente.
SÉRIE EXPONENCIAL DE
FOURIER
• Uma maneira resumida de expressar a série
trigonométrica é colocá-la na forma exponencial.