método das séries de fourier para determinação da resposta

MÉTODO DAS SÉRIES DE FOURIER PARA DETERMINAÇÃO
DA RESPOSTA ESTACIONÁRIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
LINEARES
Joaquim Henrique Reis – [email protected]
IFG / Itumbiara
Tatiana Pires Fleury Bezerra – [email protected]
IFG / Aparecida de Goiânia
Paulo César da Silva Júnior – [email protected]
IFG / Itumbiara
PIBIC / CNPq, CAPES e PRPPG-IFG
Resumo: Em geral, uma função periódica contínua ou pontualmente descontínua que
possua valores máximo e mínimo finitos é descrita como uma soma infinita de funções
trigonométricas, partindo de uma frequência mínima, denominada fundamental, até os
seus infinitos múltiplos inteiros, denominados harmônicos, o que define uma Série de
Fourier. Em sistemas físicos lineares, é possível avaliar a resposta a uma entrada
periódica não senoidal por meio da decomposição harmônica. Associada a essa ordem
harmônica, é necessário determinar uma função da frequência para o sistema,
denominada função de transferência. A resposta do sistema é o somatório do produto
da função de transferência pela componente harmônica equivalente da Série de
Fourier. A resolução, nesse caso, ocorre por superposição. Como estudo de caso,
considerou-se um circuito RLC série cuja tensão de entrada é na forma dente-de-serra.
Inicialmente, determina-se a função de transferência. No resistor (R), ela é constante,
entretanto o indutor (L) e o capacitor (C) são sensíveis à frequência, e suas variações
alteram um parâmetro denominado reatância. A resistência e a reatância representam,
no regime estacionário, respectivamente as partes real e imaginária da impedância,
que quantifica a oposição à passagem de corrente do circuito. Numa ligação série, a
função de transferência é a impedância do componente dividida pela impedância do
circuito. Posteriormente, representa-se a tensão de entrada pela sua Série de Fourier,
o termo inicial equivale à resposta contínua e os demais, à alternada. Na resposta final,
são somados os produtos da função de transferência com cada componente harmônica
da série.
Palavras-chave: Harmônicos. Função de Transferência. Resposta Estacionária.
Superposição.
Introdução
No século XVIII, vários matemáticos sabiam que uma onda periódica podia ser
representada aproximadamente por uma soma finita de senóides harmônicas, isto é,
senóides cujas frequências são múltiplas de uma frequência mínima denominada
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fundamental, mas foi em 1807 que o barão Jean-Baptiste-Joseph Fourier propôs que
uma função periódica podia ser decomposta em uma soma infinita de suas
componentes harmônicas (1), que resultavam exata ou aproximadamente a função
original. Dessa forma, quando um sistema físico linear é submetido a uma excitação
periódica qualquer, desde que seja contínua ou pontualmente descontínua e possua
valores extremantes finitos, como uma onda quadrada ou triangular, essa entrada pode
ser decomposta em suas componentes harmônicas e a resolução ocorre por meio de
superposição.
A contribuição, em amplitude, de cada harmônico é calculada por meio dos
coeficientes de Fourier, indicados em (2).
Objetivos
De um modo geral, este trabalho objetiva fazer um estudo técnico e
matemático das Séries de Fourier e sua aplicação em circuitos elétricos lineares cuja
entrada seja periódica.
Metodologia
Associada com a ordem harmônica, determina-se uma função da frequência
que caracteriza o sistema, denominada função de transferência, que descreve
matematicamente o comportamento do sistema conforme varia-se a frequência.
A resposta do sistema é o produto da função de entrada com a função de
transferência. Tal resultado só é válido se o sistema for linear, isto é, forem válidas as
propriedades de homogeneidade, em que valida que o produto por uma constante na
entrada resulta que a saída será multiplicada por essa mesma constante, e
superposição, em que a resposta da soma das entradas é igual à soma das respostas
das entradas analisadas isoladamente.
“ Se a função que descreve o sistema não é puramente senoidal, mas é uma
outra forma de onda periódica, então a resposta do sistema em regime
estacionário representará uma superposição das oscilações harmônicas do
sistema.” (KREYSZIG)
“ Quando se deseja determinar a resposta do circuito excitado por um sinal
periódico, utiliza-se a Série de Fourier supondo que o circuito seja linear, isto é,
a soma de duas ou mais entradas seja igual à soma da resposta a essas
entradas isoladamente (superposição) e a multiplicação por uma constante na
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entrada implique que a saída seja multiplicada por essa mesma constante
(homogeneidade).” (DORF)
“ As Séries de Fourier têm uma aplicação muito importante na engenharia e é
uma ferramenta valiosa na investigação de fenômenos periódicos. A Série de
Fourier, que permite a decomposição do sinal em seus harmônicos, pode
diferenciar faixas de cores e sons, num processo conhecido como análise
espectral.” (BOYCE)
Resultados e discussão
Um estudo de caso é o circuito elétrico RLC ligado em série, em que R é um
parâmetro real constante denominado resistência e L e C são respectivamente
denominados indutância e capacitância, estes estão associados a componentes
sensíveis à frequência do sistema e conforme esta varia, eles alteram sua oposição à
passagem de corrente, denominada reatância indutiva ou capacitiva, conforme o caso.
A resistência e a reatância são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de
um valor complexo denominado impedância (3). A impedância é um parâmetro que
quantifica, de uma maneira mais ampla, a oposição à passagem de corrente elétrica do
circuito e enquanto a resistência é um parâmetro para as perdas térmicas, a reatância
é um parâmetro para perdas devido a um campo eletromagnético variante no tempo.
Figura 1 – Circuito R-L-C ligado em série submetido a uma tensão alternada na forma dente-deserra (superior à esquerda). Representação como uma associação de fontes a diferentes
frequências (inferior à esquerda), circuito característico na forma contínua (inferior à direita) e
alternada (superior à direita).
Fonte: Matlab / Simulink (2013)
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A função de transferência, nesse caso, é a razão entre a impedância do
componente e a do sistema. Por exemplo, o indutor, possui a função de transferência
indicada em (4). A tensão de entrada é, nesse exemplo, uma onda dente de serra, cuja
Série de Fourier é indicada em (5). A tensão de saída é composta por uma componente
contínua, que nesse caso é nula, pois em regime contínuo o capacitor abre o circuito e
não há corrente fluindo no indutor. Logo, não há queda de tensão no componente. As
componentes alternadas somam-se para gerar a resposta estacionária (6).
Conclusões
Os resultados obtidos mostram que a representação da Série de Fourier
possibilita a análise de um sistema linear, uma vez que pode ser avaliada a resposta do
sistema a cada ordem harmônica que compõe um sinal de entrada periódico qualquer.
Como no caso do circuito, em que a solução ocorreu por superposição.
Agradecimentos
Às agências financiadoras da pesquisa CAPES, CNPq e PRPPG-IFG e aos
professores do IFG que, direta ou indiretamente, contribuíram com este projeto e o
esclarecimento de seu conteúdo, sobretudo os orientadores Paulo César da Silva
Júnior e Tatiana Pires Fleury Bezerra.
Referências
DORF, Richard; SVOBODA, James. Introdução aos circuitos elétricos. 7. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2009.
KREYSZIG, Erwin. Matemática superior para engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2009, v 1, 2.
BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Editora Guanabara
Koogan S.A. 1990.
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