() () i t i t (( 4)( 0.4) 1.6 ) ( 2.8 1.6) ( 2)( 0.8) s s s s ss s ss s + +

DEPARTAMENTO
DE
FÍSICA
E
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA
26/01/09 » Duração:2H30+30m
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
Exame da Época Normal – Teste B
1. Considere um circuito eléctrico representado pela figura 1, em que os valores da indutância (L), da resistência
(R) , de C e E são os que estão registados na figura, com condições iniciais i1 (0) = i2 (0) = 0 .
Figura 1 – Circuito eléctrico
[0.50] (a) De acordo com as leis de Kirchhoff e atendendo aos dados do problema, o sistema de equações diferenciais
 ′
 i ′ + 4i1 − 4i2 = 12
 i1 + 4(i1 − i2 ) = 12
⇔  1

 6i2 + 4(i2 − i1 ) + 4 ∫ i2dt = 0
 i2′ + 0.4i2 − 0.4i1′ = 0


permite-lhe determinar as correntes i1 (t ) e i2 (t ) ? Justifique.
T
[3.00] (b) Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução,  i1 (t ) i2 (t )  , do sistema da alínea anterior.


Sugestão: s((s + 4)(s + 0.4) − 1.6s ) = s(s 2 + 2.8s + 1.6) = s(s + 2)(s + 0.8)
[0.50] (c) Interprete, recorrendo ao gráfico de figura 1, os resultados de i1 (t ) e i2 (t ) do problema.
2. Utilizando métodos matriciais, exponencial de matrizes e At , resolva as alíneas seguintes:
T
[2.50] (a) Determine a solução, Y (t ) =  y1 (t ) y2 (t )  , do seguinte sistema de equações diferenciais:


 y1′ = y2

 ′
 y2 = −6y1 + 7y2

[2.00] (b) Aplicando o algoritmo de redução de Equações Diferenciais Lineares para um Sistema de Equações de 1ª
Ordem, determine a solução, y(t ) , do seguinte problema de valores iniciais:
y ′′ − 7y ′ + 6y = 0,
y(0) = 1, y ′(0) = 0
[0.50] (c) Que outros métodos conhece que lhe permitiriam resolver o problema da alínea anterior.
Exame de MatAplicada
Curso: ENG. BIOMÉDICA – Ramo de BIOELECTRÓNICA – 2ºA / 1ºS
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3. Seja f (t ) = t para −1 ≤ t ≤ 1 e f (t + 2) = f (t ) .
[2.00] (a) Determine a série de Fourier associada a f (t ) .
Qual das figuras seguintes está associada ao desenvolvimento da função em série de Fourier? Justifique.
∞
i) f (t ) =
cos((2k − 1)πt )
1
4
−
2 π 2 k∑
(2k − 1)2
=1
1 4 cos(πt ) 4 cos(3πt ) 4 cos(5πt )
ii) f (t ) = − +
+
+
+…
2
π2
9π 2
25π2
Figura 2
Figura 3
[0.50] (b) Defina analiticamente uma função y = g(t ) , cujo desenvolvimento em série de Fourier coincide com o da alínea
que excluiu anteriormente.
[1.00] (c) Determine o desenvolvimento em série incompleta de Fourier de cossenos para a função h(t ) = t , t ∈ [ 0,1 ]
4. Considere as funções (sinais) definidas por:
e −t , se t > 0

f (t ) =  t
e g (t ) = t × f (t )
e , se t < 0

[1.00] (a) Determine a transformada de Fourier das funções.
[1.00] (b) Determine a transformada inversa de Fourier da função h(ω) =
2i ω
1 + ω2
[0.50] (c) Qual das figuras seguintes representa o espectro de amplitude e de fase da transformada de f ? Justifique.
Figura 4
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Figura 5
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[1.50] (d) Complete a script seguinte e acrescente comentários em todas as instruções.
clear
clc
syms t w
?
f
=
;
f_w = fourier(f,t,w)
w
= -2*pi:0.01:2*pi;
f_w = eval(vectorize(char(f_w)));
amplitude = abs(f_w);
phase
= atan2(0,f_w);
clf;
subplot(2,1,1), plot(w,amplitude)
ylabel('|f(\omega)|')
subplot(2,1,2), plot(w,phase)
ylabel('phase')
xlabel('\omega')
5. Considere o problema diferencial
 ∂u
∂ 2u

= 2 2 , x ∈ (0, 2), t > 0
∂x
 ∂t
(P )  u(x , 0) = x , x ∈ (0, 2)

 u(0, t ) = u(2, t ) = 0 , t > 0


[0.50] (a) Identifique e classifique o problema diferencial.
[2.00] (b) Determine a candidata a solução exacta u(x , t ) do problema diferencial.
[1.00] (c) Mostre, utilizando o Método das Diferenças Finitas, que a EDPs do problema se transforma na equação semi-
discreta ui, j +1 = r × ui −1, j + (1 − 2r ) × ui, j + r × ui +1, j , i = 1, …, n − 1, j = 1, …, m − 1 para os pontos
interiores da malha, que se obtém pela partição regular do domínio:
L−0
2−0
2
• x ∈ (0, 2) em n sub-intervalos com h = ∆x =
=
=
n
n
n
x 0 = 0 , x i = x i −1 + h , i = 1, …, n − 1 , x n = L = 2 ;
T −0
T
• t ∈ (0,T ) em m sub-intervalos com k = ∆t =
=
m
m
t0 = 0 , t j = t j −1 + k , j = 1, …, m − 1 , tm = T ;
Em que:
•
ui, j +1 = u(x i , t j +1 ) , ui −1, j = u(x i −1, t j ) , ui, j = u(x i , t j ), ui +1, j = u(x i +1, t j )
•
r =
•
•
αk
2k
= 2 (número de Reynolds)
h2
h
ui, j +1 − ui, j
∂u
=
∂t
k
ui −1, j − 2ui, j + ui +1, j
∂2u
=
∂x 2
h2
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