1 1. Uma pesquisa irá avaliar três novas vacinas ( A, B - ICEB-UFOP

1. Uma pesquisa irá avaliar três novas vacinas (A, B, C) para dois tipos de vírus da gripe.
Quantos tratamentos (Pontos amostrais) terão no experimento? Qual é o espaço
amostral S?
Vacinas A, B, C
Tipos de Vírus V1, V2
Número de tratamentos = numero de vacinas xnumero de vírus = 3x2 = 6
O Espaço amostral
Ω = { AV 1, AV 2, BV 1, BV 2, CV 1, CV 2}
2. Segundo dados do SEBRAE – MG, a probabilidade de uma microempresa se manter
funcionando após um ano de criação é de 2 . Num grupo de três microempresas,
3
recém criadas em Lavras, considerando X como a variável aleatória que representa o
“número de microempresas em funcionamento após um ano”, pede-se:
a. O espaço amostral S;
Ω = { XXX , XXY , XYX , XYY , YXX , YXY , YYX , YYY }
b. A distribuição de probabilidade de X;
2
2 1
P( X ) =
P (Y ) = 1 − P ( X ) = 1 − =
3
3 3
1 1 1 1
P ( X = 0 ) = P ( Y ) .P (Y ) .P (Y ) = . . =
3 3 3 27
P ( X = 1) = P ( X ) .P ( Y ) .P (Y ) + P ( Y ) .P ( X ) .P (Y ) + P ( Y ) .P (Y ) .P ( X )
2 1 1 1 2 1 1 1 2 2
2
2
6
= . . + . . + . . =
+
+
=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 27 27 27
1
P ( X = 2 ) = P ( X ) .P ( X ) .P (Y ) + P ( X ) .P (Y ) .P ( X ) + P ( Y ) .P ( X ) .P ( X )
2 2 1 2 1 2 1 2 2 4
4
4 12
= . . + . . + . . =
+
+
=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 27 27 27
2 2 2 8
P ( X = 3) = P ( X ) .P ( X ) .P ( X ) = . . =
3 3 3 27
Assim a distribuição de probabilidade de X é
X
0
1
2
3
1
6
12
8
P ( X = x)
27
27
27
27
c. O gráfico das distribuições de probabilidade de X;
0,5
0,4
P(x=x)
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
Número de empresas
d. O valor das seguintes probabilidades:
1
6 12 19
+
+
=
= 70, 40% ;
27 27 27 27
12 8 20
ii) P (1 < X ≤ 3) = P ( X = 2 ) + P ( X = 3) =
+
=
= 74,1% ;
27 27 27
iii)
7 20
1 6
P ( X > 1) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 −  P ( X = 0) + P ( X = 1)  = 1 −  +  = 1 − =
= 74,07%
27 27
 27 27 
i) P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) =
e. A media e a variância de X.
Média
n
1
6
12
8 54
X = ∑ xi P ( X = xi ) = 0 + 1 + 2 + 3 =
=2
27 27
27
27 27
i =1
Variância
n
2
2
2 1
2 6
2 12
2 8
Var ( x ) = ∑ ( xi − x ) P ( X = xi ) = ( 0 − 2)
+ (1 − 2 )
+ ( 2 − 2)
+ ( 3 − 2)
=
27
27
27
27 3
i =1
2
3. Uma variável aleatória contínua X expressa o “tempo de vida de um componente
eletrônico” e pode assumir valores entre x = 0 e x = 5 com função de densidade dada
por f ( x ) = 1 :
5
a. Mostre que a área sob a função f(x) e o eixo dos x é igual a 1;
0
1
2
3
4
5
1
Utilizando a área da figura (retângulo) A = b.h = 5 = 1
5
Por meio do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte
forma
∫
5
0
5
1
1
1
dx = x = ( 5 − 0 ) = 1
5
5 0 5
b. Encontre P ( 2 < X < 3,5 ) ;
0
1
33,5 4
2
5
1
A = b.h = 1,5 = 0,30
5
3,5
3,5 1
1
1
dx
=
x
∫2 5 5 2 = 5 ( 3,5 − 2 ) = 0,3
c. Calcule P ( X ≤ 2, 6 ) ;
0
1
2
2,6
3
4
5
1
A = b.h = 2, 6 = 0,52
5
∫
2,6
0
2,6
1
1
1
dx = x = ( 2, 6 − 0 ) = 0,52
5
5 0
5
d. Calcule P ( 2,1 < X < 4, 2 ) ;
3
0
1
2,1 3
4,2 5
1
A = b.h = 2,1 = 0, 42
5
∫
4,2
2,1
4,2
1
1
1
dx = x = ( 4, 2 − 2,1) = 0, 42
5
5 2,1 5
e. Calcule o tempo médio de vida do componente eletrônico.
5
∞
5
x = E[ x] = ∫ x f ( x)dx = ∫
−∞
0
&
1
1 x2
1
25
x dx =
= ( 25 − 0 ) =
= 2,5
5
5 2 0 10
10
4. Seja f uma função de densidade definida por:
2
 ( x + 1) , x ∈ ( 2 , 5 )
f ( x ) =  27
0,
x ∉ ( 2 , 5)

a. Mostre que f(x) é uma função de densidade;
0,44
0,22
0
1
2
3
4
5
Utilizando a área da figura (trapézio) A =
( b + B ) h = ( 0, 22 + 0, 44 ) 3 = 0,99 ≈ 1
2
2
5
Utilizando a integral
∫
5
2

2
2  x2
2  25
4
  2 27
( x + 1)dx =  + x  =  + 5 −  + 2   =
=1
27
27  2
2
  27 2
 2 27  2
b. Calcule:
c. i) P ( X < 4 ) ,
ii) P ( X > 3) ,
respectivas áreas no gráfico de f(x);
i) P ( X < 4 ) ,
iii) P ( 3 ≤ X ≤ 4 ) ,
4
mostrando
as
0,37
0,22
0
2
1
3
4
5
Utilizando a área da figura (trapézio) A =
Utilizando a integral
∫
( b + B ) h = ( 0, 22 + 0,37 ) 2 = 0,59
2
2
4

2
2 x
2  16
4
  2 27
( x + 1)dx =  + x  =  + 4 −  + 2   =
=1
27
27  2
2
  27 2
 2 27  2
2
4
2
ii) P ( X > 3) ,
0,44
0,30
0
2
1
3
4
5
Utilizando a área da figura (trapézio) A =
Utilizando a integral
∫
( b + B ) h = ( 0, 44 + 0,30 ) 2 = 0, 74
2
2
4

2
2 x
2  16
4
  2 27
( x + 1)dx =  + x  =  + 4 −  + 2   =
=1
27
27  2
2
  27 2
 2 27  2
2
4
2
iii) P ( 3 ≤ X ≤ 4 )
0,37
0,30
0
2
1
3
4
5
Utilizando a área da figura (trapézio) A =
( b + B ) h = ( 0,37 + 0,30 ) 1 = 0,335
2
2
4
Utilizando a integral
∫

2
2  x2
2  16
4
  2 27
( x + 1)dx =  + x  =  + 4 −  + 2   =
=1
27
27  2
2
  27 2
 2 27  2
4
2
d. Encontre a média e a variância de X.
5
∞
5
−∞
2
E[ X ] = X = ∫ xf ( x)dx = ∫
=
2 5
2  x3 x2 
2

x  ( x + 1)  dx = ∫ ( x 2 + x ) dx =  + 
27 2
27  3 2  2
 27

2 125 25  8 4   11
+ −  +   = = 3, 67
27  3
2  3 2  3
5
VAR [ X ] = E  X 2  − ( E [ X ])
∞
5
E[ X ] = ∫ x f ( x)dx = ∫
2
2
−∞
=
2
5
2
2 5
2  x 4 x3 
2

x  ( x + 1)  dx = ∫ ( x3 + x 2 ) dx =  + 
27 2
27  4 3  2
 27

2
2  625 125  16 8   85
+
− +  =
= 14,17
27  4
3  4 3   6
VAR [ X ] =
85  11  85 121 255 − 242 13
−  = −
=
= = 0, 72
6 3
6
9
18
18
2
6