Probabilidade e Estatística - Páginas Pessoais

Probabilidade e Estatística
Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva
Inferência Estatística e Distribuições
Amostrais
Inferência Estatística
O objetivo principal da inferência estatística é obter
informações sobre determinada característica da
população baseando-se apenas das informações
obtidas de uma amostra.
Parâmetro: quantidades da população, em geral,
desconhecidas e sobre as quais temos interesse.
Representados por letras gregas: µ, σ, etc.
Estatística: quantidades calculadas com base nos
elementos da amostra. Representadas por letras do
alfabeto latino: , s, etc.
Inferência Estatística
Estimador: é uma estatística destinada a estimar um
parâmetro de interesse da população. Por exemplo: µ̂
é um estimador de µ.
Estimativa: é o valor numérico do estimador.
Denominação
Média
Variância
Número de elementos
Proporção
Estimador
Parâmetro
X
µ
S2
σ2
n
N
p̂
p
Inferência Estatística
Vício ou viesado: um estimador é não viciado ou não
, ou seja, se
viesado para um parâmetro θ se
a esperança matemática do estimador é igual ao valor
do parâmetro.
Consistência: um estimador é consistente, se à
medida que o tamanho da amostra aumenta, sua
esperança matemática converge para o parâmetro de
interesse e sua variância converge para zero.
^
^
Eficiência: dados dois estimadores θ1 e θ2 , não
^
viciados para uma parâmetro
^
θ , dizemos que θ1 é
mais eficiente que θ2 se V(θ1 ) < V(θ2 ).
^
^
Distribuições Amostrais
As estatísticas e os parâmetros são funções de
variáveis aleatórias e são, também, variáveis
aleatória,
portanto
possuem
distribuição
de
probabilidade, esperança matemática e variância.
Distribuições amostrais são distribuições de
probabilidades para estimadores como média,
variância e proporção.
1. Distribuição Amostral da Média
Considere uma população em que a VA X assume os
valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuição de
probabilidade de X é dada por:
X=x
1
3
5
7
P(X = x)
1/5
1/5
2/5
1/5
µ = E(X) = 1.1/5 + 3.1/5 + 5.2/5 + 7.1/5 = 4,2
σ²= V(X) = (1-4,2)2.1/5 + (3-4,2)2.1/5 + … + (7 – 4,2)2.1/5 = 4,16
1. Distribuição Amostral da Média
x
Vamos relacionar todas as amostras possíveis de
tamanho n = 2, selecionadas ao acaso e com reposição
dessa população, e encontrar a distribuição da média
amostral de tal que:
x
+
x
=
x
1
2
2
xx
sendo:
1 : valor selecionado na primeira extração,
2 : valor selecionado na segunda extração
1. Distribuição Amostral da Média
1. Distribuição Amostral da Média
A distribuição de probabilidade para a média amostral
é:
x
µ = E( ) = 1.(1/25) + 2.(2/25) + … + 7.(1/25) = 4,2
x
σ² = V( ) = (1 – 4,2)2.1/25 + ... + (7 – 4,2)2.1/25 = 2,08
x
σ² = V( ) = 4,16/2
1. Distribuição Amostral da Média
x
Repetindo o mesmo procedimento para amostras de
tamanho n = 3, tem-se a seguinte distribuição de
probabilidade para a média amostral:
E( ) = 1.(1/125) + ... + 7.(1/125)
x
E( ) = 4,2
x
V( ) = (1–4,2)2.1/125 + … + (7-4,2)2.1/125
x
V( ) = 1,39 = 4,16/3
1. Distribuição Amostral da Média
x
Os histogramas correspondentes da variável aleatória
X e da variável aleatória
para n = 2 e n = 3 estão
apresentados abaixo:
1. Distribuição Amostral da Média
Dos histogramas observamos que:
• Conforme n aumenta os valores
da média amostral tendem a se
concentrar cada vez mais em
torno da E(X), pois a variância
diminui
• Os valores extremos passam a
ter pequenas probabilidades de
ocorrência
• Conforme n aumenta, a forma da
distribuição das médias se
aproxima da distribuição normal
1. Distribuição Amostral da Média
1. Distribuição Amostral da Média
1. Distribuição Amostral da Média
Observação:
Logo, se X tem média µ e variância
então
1. Distribuição Amostral da Média
Exemplo 1:
Uma variável aleatória X assume os valores 3, 6 e 8
com, respectivamente, probabilidades 0,4; 0,3 e 0,3.
Uma amostra de 40 observações com reposição é
obtida aleatoriamente. Qual a probabilidade da média
amostral ser maior que 5?
Exemplo 2:
O faturamento diário de um supermercado está
normalmente distribuído com média de R$ 20.000,00 e
desvio-padrão de R$ 2000,00. Qual a probabilidade do
faturamento ultrapassar R$ 1230000,00 em 60 dias?
1. Distribuição Amostral da Média
Exemplo 3:
Considere que a distribuição dos níveis de colesterol para
todos os homens de 20 a 74 anos está normalmente
distribuído com média 211 mg e desvio-padrão de 46 mg.
Selecionando 25 homens desta população, determine:
a) A proporção destes 25 homens que terá um valor médio
inferior a 230 mg;
b) O valor médio de nível de colesterol que limita os 10%
dos valores mais baixos da distribuição amostral;
c) Os limites superior e inferior que incluem 95% das
médias das amostras de tamanho 25;
d) Qual deve ser o tamanho das amostras para que 95% de
suas médias se encontrem a ±5 mg da média da
população?
1. Distribuição Amostral da Média
Se amostra de tamanho n é retirada de uma população
finita (sem reposição) de tamanho N (N > n), utiliza-se o
fator de correção para a variância.
Exemplo:
As lâmpadas fabricadas por uma indústria tem duração
média de 800 horas e desvio-padrão de 100 horas. É
escolhida aleatoriamente 200 lâmpadas de um lote de 2000
lâmpadas. Determine a probabilidade da média destas
lâmpadas escolhidas ser superior a 810 horas.
2. Distribuição Amostral da Proporção
Considere que a proporção de elementos de uma
população com determinada característica é p.
Para cada elemento da população pode ser definida
uma VA X tal que:
Ou seja, X é uma VA com distribuição de Bernoulli com
E(X) = p e V(X) = p.(1 – p).
2. Distribuição Amostral da Proporção
Seja x1, x2, ... , xn uma amostra simples retirada
aleatoriamente com reposição dessa população e, seja,
Sn = x1 + x2 + .... + xn o total de elementos portadores
da característica na amostra.
Sn tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
A proporção amostral pode ser reescrita como:
Logo,
Então,
é um estimador não viciado e consistente para p.
2. Distribuição Amostral da Proporção
Utilizando o Teorema do Limite Central tem-se que a
distribuição amostral de
para n suficientemente
grande tem distribuição normal com µ = p e
σ2 = p.(1 – p)/n.
Ou seja,
2. Distribuição Amostral da Proporção
Exemplos:
1) A proporção de peças defeituosas de um lote é de
40%. Foi coletada aleatoriamente uma amostra de 30
peças com reposição. Determine a probabilidade
desta amostra fornecer uma proporção de peças
defeituosas menor que 50%.
2) Qual a probabilidade de ocorrer entre 40% e 50% de
caras em 120 lançamentos de uma moeda não
viciada?
3. Distribuição Amostral da Diferença de Médias
n
+
n
N
x
x
Sejam duas populações 1 e 2, com médias µ1 e µ2 e
desvios-padrão σ1 e σ2, respectivamente. São retiradas,
independentemente e com reposição, amostras de
tamanho n1 da população 1 e de tamanho n2 da
população 2. De todas as possíveis amostras retiradas
pode-se obter a distribuição amostral da diferença entre
as duas médias. Se n1 e n2 forem suficientemente
grandes:
σ12 σ22
( 1 - 2 ) ~ (µ1 - µ 2 ,
)
-
2
2 ) - (µ1 - µ 2 )
σ12 σ22
n
+
n
1
x
x
=
z
Logo:
(
1
1
2
3. Distribuição Amostral da Diferença de Médias
Exemplo:
As lâmpadas elétricas do fabricante A têm duração
média de 1400 horas, com desvio-padrão de 200 horas,
enquanto as do fabricante B têm duração média de
1200 horas, com desvio-padrão de 100 horas. Se forem
ensaiadas amostras aleatórias de 125 lâmpadas de
cada marca, qual será a probabilidade de que as
lâmpadas da marca A tenham vida média maior do que
as da marca B de pelo menos 160 horas ?
4. Distribuição Amostral da Diferença de Proporções
Considere que seja extraídas amostras de tamanho n1 da
população 1 cuja proporção de elementos com uma
determinada característica seja p1 e que se seja extraídas
amostras de tamanho n2 da população 2 cuja proporção de
elementos com a referida característica seja p2. A
distribuição amostral da diferença das duas proporções é
dada por:
Logo:
4. Distribuição Amostral da Diferença de Proporções
Exemplo:
Duas pessoas A e B jogam uma partida do tipo “cara e
coroa” onde cada uma lança 50 vezes uma moeda não
viciada. O jogador A vencerá o jogo se conseguir 5 ou
mais caras do que o jogador B e, se isso não ocorrer, o
jogador B vencerá. Determine a probabilidade de cada
jogador ganhar.
Tabela Z