Estatística

Propaganda

Estatı́stica Básica
Instrutor:
Dorival Leão
Estatcamp Consultoria em Estatı́stica e Qualidade
Rua: Adolpho Cattani, 682
Jardim Macarengo
CEP: 13560-470
São Carlos/SP
Fone/Fax: (16) 3376-2047
E-mail: [email protected]
Novembro/2006
ii
Sumário
1 Introdução
1
2 Coleta de Dados
2
2.1
2.2
Dados Quantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Dados Quantitativos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Dados Quantitativos Contı́nuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Dados Qualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
6
Construindo um Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Gráficos
3.1
Distribuição de Freqüências e Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Medidas de Posição
9
9
14
4.1
Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2
Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Medidas de Dispersão
16
5.1
Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2
Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3
Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Estatı́sticas Descritivas
6.1
19
Box-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Probabilidades
23
7.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.2
Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.3
Distribuição de Probabilidade Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Sumário
iii
7.3.1
Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.2
Relação entre a Função de Distribuição Acumulada e a Distribuição de
Probabilidade Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.4
7.3.3
Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3.4
Variância de Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Modelos Probabilı́sticos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4.1
Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4.2
Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4.3
Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4.4
Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.6
Distribuições de Probabilidade Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.6.1
Relação entre a Função de Distribuição Acumulada e a Função densidade
de Probabilidade Contı́nua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.7
7.8
7.6.2
Esperança de Variáveis Aleatórias Contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.6.3
Variância de Variáveis Aleatórias Contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Modelos Probabilı́sticos Contı́nuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.7.1
Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.7.2
Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Modelos Probabilı́sticos para o Tempo de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.8.1
Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.8.2
Distribuição de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.8.3
Distribuição de Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.8.4
Distribuição Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8 A Distribuição Normal
54
9 Teorema do Limite Central
61
10 Teste para Normalidade
64
10.1 Papel de Probabilidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.2 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Sumário
11 Indicadores da Qualidade
iv
77
11.1 Rendimento de um Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Intervalo de confiança para o rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3 Defeitos por milhão de oportunidades (DPMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4 Intervalo de confiança para o DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.5 Rendimento: Análise da resposta do processo (Rolled Throughput Yield) . . . . 91
11.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.7 Métrica da Qualidade: SIGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12 Definições
98
A Tabela Normal Padrão - 6σ
100
Referências Bibliográficas
100
v
Lista de Figuras
2.1
Classificação dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Diagrama de Pareto - Relativo a Custos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1
Histograma - Frequência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2
Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3
Histograma - Frequência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4
Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.1
Construção do Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2
Comparação entre dois Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.1
Gráfico da função densidade de probabilidade da Uniforme . . . . . . . . . . . . 43
7.2
Gráfico da função de confiabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3
Gráfico da função taxa de falha da distribuição Weibull . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4
Gráfico da função densidade da distribuição Log-Normal . . . . . . . . . . . . . 52
8.1
Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.2
Áreas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3
Distribuição Normal Padronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.5
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.6
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.7
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.8
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.9
Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.10 Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lista de Figuras
vi
8.11 Área sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.1
Histograma-Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2
Média de Grupos de 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.3
Médias dos 5 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.1 Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2 Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11.1 Gráfico da Estratégia de Rompimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2 Gráfico de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.3 Gráfico do Rendimento Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.4 Gráfico do Rendimento do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.5 Áreas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.6 Limites de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
vii
Lista de Tabelas
2.1
Número de Peças Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apuração) . . . . . . . .
3
2.2
Diâmetro do Eixo de 200 Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Diâmetro do Eixo de 200 Motores (Com Apuração) . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Tipos de problemas Numa Indústria de Computadores . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1
Diâmetro do Eixo de 200 Motores (Sem Apuração) . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Distribuição de Frequências dos Diâmetros dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3
Critério Para Determinar os Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4
Número de Peças Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apuração) . . . . . . . . 12
3.5
Distribuição de Frequências dos Dados do exemplo 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1
Tabela do Exercı́cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2
Tabela de probabilidade da distribuição geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1
Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.1 Construção do papel de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.2 Tabela de Valores para Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.3 Resumo do Cálculo de Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.4 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.5 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.6 Tabela de pontos percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.7 Calculando o valor de A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.1 Resumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3 DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Lista de Tabelas
viii
11.5 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.6 Resumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.7 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.8 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.9 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1 Tabela Normal 6σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1
Capı́tulo 1
Introdução
Neste capı́tulo, vamos apresentar elementos básicos da análise de dados. Veremos as estatı́sticas descritivas para um conjunto de dados, que é a forma de reduzir e conhecer o nosso
conjunto de dados.
O resumo de dados será apresentado em forma de gráficos, diagramas e tabelas.
As técnicas estatı́sticas são utilizadas para avaliar as variações. A variabilidade está presente
em todo lugar. Por exemplo, ao estacionar um carro em uma garagem, sua posição não é a
mesma ao longo dos dias. A posição do carro apresenta uma variação.
Para se fazer uma aplicação de técnicas estatı́sticas existem várias etapas:
• Coleta dos dados;
• Exposição dos dados;
• Modelos Estatı́sticos.
Vejamos cada uma destas etapas.
2
Capı́tulo 2
Coleta de Dados
Uma população é um agregado de elementos (finitos ou não) para o qual deseja-se obter
informações sobre algumas de suas caracterı́sticas. Duas populações são consideradas distintas
se uma delas contém um elemento que não está contido na outra população. Como exemplo
de população temos a produção diária de um empresa, o conjunto de resultados de medição de
uma haste de aço realizada com um micrômetro, entre outras. A amostra é uma parcela de uma
população que pode conter informações sobre a população. Para estudarmos adequadamente
uma população através de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.
Planejando a Coleta de Dados
• Qual a pergunta a ser respondida?
• Como comunicar a resposta obtida?
• Qual ferramenta de análise pretende-se usar e como serão comunicados os resultados?
• Quais tipos de dados são necessários para utilizar as ferramentas desejadas e responder a
pergunta?
• Onde acessar estes dados?
• Como coletar esses dados com o mı́nimo de esforço e de erro?
• Quais informações adicionais serão necessárias para estudos futuros, referências ou reconhecimento?
Os Dados podem ser classificados como:
2. Coleta de Dados
3
Figura 2.1: Classificação dos Dados
2.1
Dados Quantitativos
Neste caso a caracterı́stica observada assume valores numéricos. Este tipo de dado pode ser
ainda classificado como discreto ou contı́nuo.
2.1.1
Dados Quantitativos Discretos
Neste caso os dados observados formam um conjuto finito ou enumerável de números.
Exemplo 2.1. Foram observados 20 lotes de 1.000 peças cada um. O número de peças defeituosas encontradas em cada lote foi: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9,
11, 10, 10.
Podemos fazer a apuração através de uma tabela (Tabela 2.1).
Número de peças
Apuração
Número de lotes
Defeituosas
7
/
1
8
//
2
9
/////
5
10
////////
8
11
///
3
12
/
1
Tabela 2.1: Número de Peças Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apuração)
Vemos então que a variável número de peças defeituosas assume valores inteiros: . . . , 7, 8, 9, . . ..
Logo, é uma variável discreta.
2.1.2
Dados Quantitativos Contı́nuos
São os que decorrem de mensurações. Os possı́veis valores incluem “todos” os números do
intervalo de variação da caracterı́stica medida, isto é, todos os possı́veis valores pertencem a um
2. Coleta de Dados
4
intervalo de números reais. Na prática estes valores são discretizados pela precisão do aparelho
de medida. Por exemplo, quando se mede diâmetros de eixos de determinados motores, se está
coletando dados contı́nuos.
Exemplo 2.2. Numa fábrica de pequenos motores, problemas de encaixe estavam ocorrendo
com o eixo. Resolveu-se então medir o diâmetro de 200 motores e o resultado foi apresentado
na tabela 2.2.
4,8
4,9
5,1
5,0
5,4
5,7
5,1
4,9
5,0
4,8
4,8
4,9
5,1
5,0
5,4
5,7
5,1
4,9
5,0
4,8
4,2
5,1
4,6
5,0
4,2
4,9
4,9
4,8
5,2
5,1
4,2
5,1
4,6
5,0
4,2
4,9
4,9
4,8
5,2
5,1
5,1
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
4,9
4,2
4,2
4,6
5,1
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
4,9
4,2
4,2
4,6
5,2
4,9
4,3
5,1
4,9
4,8
5,1
5,2
4,9
4,8
5,2
4,9
4,3
5,1
4,9
4,8
4,9
5,2
4,9
4,8
4,8
4,8
4,9
4,9
4,3
4,9
5,2
5,1
5,1
5,2
4,8
4,8
4,9
4,9
4,3
4,9
5,2
5,1
5,1
5,2
4,7
5,0
4,7
4,8
4,6
4,9
4,7
4,7
4,6
4,5
4,7
5,0
4,7
4,8
4,6
4,9
4,7
4,7
4,6
4,5
4,9
5,3
5,2
4,8
4,7
4,4
4,8
5,5
5,4
4,9
4,9
5,3
5,2
4,8
4,7
4,4
4,8
5,5
5,4
4,9
4,5
4,9
4,8
5,0
4,7
4,7
4,6
4,7
4,6
4,5
4,7
4,9
4,8
5,0
4,8
4,7
4,7
4,6
4,7
4,6
4,9
5,5
4,4
4,8
5,3
4,9
5,2
4,7
4,8
5,4
4,9
5,5
4,4
4,8
5,3
4,8
5,2
4,7
4,8
5,4
4,5
5,2
5,6
5,1
4,4
5,1
5,5
4,4
5,2
4,5
4,5
5,2
5,6
5,1
4,4
5,1
5,5
4,4
5,2
4,5
Tabela 2.2: Diâmetro do Eixo de 200 Motores
Podemos fazer a apuração considerando intervalos de medidas, como apresentado na tabela
2.3.
Diâmetro
Apuração
No de motores
4, 2 ` 4, 4 / / / / / / / / / / / /
12
4, 4 ` 4, 6
//////////.../
16
4, 6 ` 4, 8
//////////...//
32
4, 8 ` 5, 0
//////////...////
64
5, 0 ` 5, 2
//////////.../
36
5, 2 ` 5, 4
//////////...////
24
5, 4 ` 5, 6 / / / / / / / / / / / /
12
5, 6 ` 5, 8
////
4
Tabela 2.3: Diâmetro do Eixo de 200 Motores (Com Apuração)
2. Coleta de Dados
5
Veja que, ao se estabelecer intervalos, está-se admitindo que o eixo pode assumir qualquer
valor entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive.
2.2
Dados Qualitativos
Os dados qualitativos apresentam como possı́veis realizações uma qualidade (ou atributo)
do indivı́duo pesquisado.
Dentre os dados quantitativos podemos fazer uma distinção entre dois tipos: dado qualitativo nominal, para o qual não existe nenhuma ordenação nas possı́veis realizações, e dado
qualitativo ordinal, para o qual existe uma ordem em seus resultados. Sexo, estado civil, são
exemplos de dados qualitativos nominais. Já grau de instrução é um exemplo de dado qualitativo ordinal, pois ensinos fundamental, médio e superior correspondem a uma ordenação.
Exemplo 2.3. Uma indústria de computador preocupada com vários defeitos que um de seus
produtos vem apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes problemas que foram
designados da seguinte forma:
• A : Defeito na cobertura plástica.
• B : Defeito no teclado.
• C : Defeito na fonte de energia.
• D : Soldas soltas.
• E : Defeito na placa da unidade de processamento.
• F : Defeito no visor.
• G : Outros.
Nesta situação consideremos uma variável T como sendo o tipo de defeito encontrado no
produto. Portanto a variável T pode assumir os valores T = A, T = B, · · · . Assim, para um
computador com defeito na cobertura plástica temos que T = A, por exemplo.
Numa segunda fase tabelamos (tabela 2.4) os valores observados.
Assim, podemos ver que os dados A, B, ... são dados qualitativos nominais.
2. Coleta de Dados
6
Tipo de Problemas (T) Frequência
A
10
B
20
C
55
D
80
E
25
F
3
G
7
Tabela 2.4: Tipos de problemas Numa Indústria de Computadores
Na figura 2.2 temos o Diagrama de Pareto referente a estes dados.
Figura 2.2: Diagrama de Pareto
2.2.1
Construindo um Diagrama de Pareto
1. Selecione os problemas a serem comparados e estabeleça uma ordem através de:
2. Coleta de Dados
7
• Brainstorming - Exemplo: Qual é o nosso maior problema de qualidade no departamento de compras?
• Utilização de dados existentes - Exemplo: Verificar os registros da qualidade do
departamento de compras ao longo do último mês.
2. Selecione um padrão de comparação com unidade de medida - Exemplo: Custo mensal,
frequência de ocorrência.
3. Especifique o perı́odo de tempo em que os dados serão coletados - Exemplo: Uma semana,
um mês.
4. Colete os dados necessários para cada categoria - Exemplo: Defeito A ocorreu X vezes ou
defeito C custou Y.
5. Compare a frequência ou custo de cada categoria com relação a todas as outras categorias
- Exemplo: Defeito A ocorreu 75 vezes, defeito B ocorreu 107 vezes, defeito C ocorreu 42
vezes ou defeito A custa 75 reais mensalmente, defeito B custa 580 reais mensalmente.
6. Liste as categorias da esquerda para direita no eixo horizontal em ordem decrescente de
frequência ou custo. Os itens de menor importância podem ser combinados na categoria
outros, que é colocada no extremo direito do eixo, com a última barra.
7. Acima de cada categoria desenhe um retângulo cuja a altura representa a frequência ou
custo daquela categoria.
8. A partir do topo da maior barra e da esquerda para a direita, ascendendo, uma linha
pode ser adiciona representando a frequência acumulada das categorias.
Diagrama de Pareto Relativo a Custos
Exemplo 2.4. Consideremos um exemplo de cartões perfurados, levando em consideração os
custos envolvidos.
2. Coleta de Dados
8
Principais Defeitos
Números Trocados
Caracteres Errados
Amassada
Perfurada
Impressão Ilegı́vel de
Dados
Rasgada
Outros
TOTAL
No de Embalagens Custo por Unidade
Defeituosas
Defeituosa (R$)
28
0,05
28
0,05
4
1,00
3
0,05
2
2
1
68
0,05
1,00
0,05
Custo do Defeito
(R$)
1,40
1,40
4,00
0,15
0,10
2,00
0,05
Figura 2.3: Diagrama de Pareto - Relativo a Custos
A exposição dos dados pode ser feita através de tabela e/ou gráficos. Aproveitando os
exemplos anteriores poderı́amos apresentar os dados através de suas respectivas tabelas, com a
ressalva de que deverı́amos eliminar a coluna “Apuração”, para uma apresentação mais elegante.
Também é lógico que se contarmos com um computador esta coluna não faz sentido. Inúmeros
gráficos auxiliam na apresentação e interpretação dos fatos, mas destacaremos os mais usuais
em indústrias.
9
Capı́tulo 3
Gráficos
3.1
Distribuição de Freqüências e Histograma
Com as tabelas e/ou gráficos em mãos, tendo uma melhor visualização dos dados, muitas
vezes já temos condições de interpretar o fenômeno em estudo. Entretanto, para alguns casos
ainda haverá necessidade de se efetuar operações numéricas para se chegar a conclusões mais
sólidas.
Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais freqüentemente encontrados na indústria,
desenvolveremos inicialmente métodos de análise para eles. Ou seja, passamos à sua descrição,
através do que é chamado de distribuição de frequências.
Dados Contı́nuos
Vejamos o exemplo 2.2, onde a Tabela 2.3 é agora apresentada sem a coluna APURAÇÃO,
ou seja:
Diâmetro No de motores
4, 2 ` 4, 4
12
4, 4 ` 4, 6
16
4, 6 ` 4, 8
32
4, 8 ` 5, 0
64
5, 0 ` 5, 2
36
5, 2 ` 5, 4
24
5, 4 ` 5, 6
12
5, 6 ` 5, 8
4
Tabela 3.1: Diâmetro do Eixo de 200 Motores (Sem Apuração)
Note que neste exemplo a variável de interesse é o “Diâmetro” enquanto que “Número de
Motores” é a freqüência de medidas em cada intervalo.
3. Gráficos
10
Freqüência Absoluta (fi ): É o número de observações correspondente a cada intervalo. A
freqüência absoluta é, geralmente, chamada apenas de frequência. No exemplo 2.2, a frequência
é o número de motores.
Para um dado intervalo i, denotaremos a frequência absoluta correspondente a este intervalo
por fi . Assim, por exemplo, a frequência do quarto intervalo, na Tabela 3.1, é f4 = 64.
Frequência Relativa (f ri ): É o quociente entre a frequência absoluta e o número total
fi
de observações, e será denotada por f ri . Isto é, f ri =
onde n representa o número total de
n
observações. No nosso exemplo, como n = 200, temos que a freqüência relativa é dada por
f r4 =
64
= 0, 32.
200
Frequência Percentual (pi ): É conseguida multiplicando-se a frequência relativa por
100%. No exemplo que estamos usando a frequência percentual da quarta classe é dada por:
p4 =
64
∗ 100% = 32%.
200
Frequência Acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a
classe atual. Pode ser Frequência Acumulada Absoluta (Fi ), Frequência Acumulada Relativa
(F ri ), ou Frequência Acumulada Percentual (Pi ).
Ponto Médio (xi ): É obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo
e dividindo o resultado por 2. Consideramos este ponto como sendo o valor representativo de
cada intervalo. No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:
x1 =
4, 2 + 4, 4
= 4, 3.
2
Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acompanhando e mostrar todas elas através de uma tabela completa. Como Frequência Acumulada
iremos apresentar somente a Frequência Acumulada Percentual.
3. Gráficos
11
Diâmetro
4, 2 ` 4, 4
4, 4 ` 4, 6
4, 6 ` 4, 8
4, 8 ` 5, 0
5, 0 ` 5, 2
5, 2 ` 5, 4
5, 4 ` 5, 6
5, 6 ` 5, 8
xi
4,3
4,5
4,7
4,9
5,1
5,3
5,5
5,7
fi
12
16
32
64
36
24
12
4
f ri pi (%) Pi (%)
0,06
6
6
0,08
8
14
0,16
16
30
0,32
32
62
0,18
18
80
0,12
12
92
0,06
6
98
0,02
2
100
Tabela 3.2: Distribuição de Frequências dos Diâmetros dos Eixos
Figura 3.1: Histograma - Frequência Absoluta
Figura 3.2: Histograma - Porcentagens
Algumas indicações na construção da distribuição de frequências são:
1. Na medida do possı́vel, as classes deverão ter amplitudes iguais.
2. Escolher os limites dos intervalos entre duas possı́veis observações.
3. O número de intervalos não deve ultrapassar 20.
4. Escolher limites que facilitem o agrupamento.
5. Marcar os pontos médios dos intervalos.
6. Ao construir um histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência
relativa correspondente (ou à frequência absoluta, o que dá no mesmo) .
7. Um critério para determinar os intervalos (classes) é:
3. Gráficos
12
Tamanho da Amostra (n) Número de Classes (c)
30 a 50
5a7
51 a 100
6 a 10
10l a 250
7 a 12
acima de 250
10 a 20
Tabela 3.3: Critério Para Determinar os Intervalos
Determinação do tamanho da classe ou intervalo (L):
L =
amplitude
R
=
o
n de classes
c
onde R é o maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.
Como a tabela de frequência, o histograma tem a caracterı́stica de analisar as relações
essenciais que os dados apresentam, e ainda verificar algumas suposições.
Dados Discretos
Consideremos agora o Exemplo 2.1, onde a Tabela 2.1 é apresentada sem a coluna
APURAÇÃO.
Número de Peças
Defeituosas
7
8
9
10
11
12
Número de lotes
1
2
5
8
3
1
Tabela 3.4: Número de Peças Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apuração)
A variável de interesse é “Número de peças defeituosas”, enquanto que “Número de Lotes”
é a frequência observada para cada classe da variável de interesse.
Com as quantidades já definidas, construiremos a tabela completa para este exemplo. Note
que a coluna “Ponto Médio” não é necessária, pois se trata de dados discretos.
3. Gráficos
13
Número de Peças
Defeituosas
7
8
9
10
11
12
fi
f ri
1
2
5
8
3
1
0,05
0,10
0,25
0,40
0,15
0,05
pi (%) Pi (%)
5
10
25
40
15
5
5
15
40
80
95
100
Tabela 3.5: Distribuição de Frequências dos Dados do exemplo 2.1
Figura 3.3: Histograma - Frequência Absoluta
Figura 3.4: Histograma - Porcentagens
14
Capı́tulo 4
Medidas de Posição
A seguir apresentaremos as medidas básicas para resumir um conjunto de dados. Estas
medidas são amplamente utilizadas para descrever um conjunto de dados.
As medidas de posição é uma forma de resumir os dados, fornecendo apenas um valor, por
exemplo, o valor médio de um conjunto de dados.
4.1
Média Aritmética
A média aritmética, ou simplesmente média, é calculada somando-se os valores das observações e dividindo-se o resultado pelo número de valores.
Notação:
• X : valor de cada indivı́duo da amostra.
• X : média amostral.
• µ : média populacional.
• n : tamanho da amostra.
• N : tamanho do universo (população).
Assim, a média amostral é dada por:
X=
X1 + . . . + Xn
n
(4.1)
4. Medidas de Posição
15
Exemplo 4.1. Uma amostra de 5 barras de aço foi retirada da linha de produção e seus
comprimentos foram medidos. Os valores foram: 4,5; 4,6; 4,5; 4,4; 4,5. A média amostral dos
comprimentos é:
x=
4, 5 + 4, 6 + 4, 5 + 4, 4 + 4, 5
5
O comprimento médio das barras de aço desta amostra é x = 4, 5.
4.2
Mediana
Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o
maior valor. Se o número de observações for ı́mpar, a mediana será a observação central. Se
o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações
centrais.
Notação:
e : mediana
• X
Exemplo 4.2. Uma amostra de 7 caixas de um dispositivo eletrônico, com 100 unidades por
caixa, apresentou os seguintes números de dispositivos defeituosos por caixa: 27, 5, 10, 7, 8,
12, 9.
Em primeiro lugar devemos ordenar os valores: 5, 7, 8, 9, 10, 12, 27.
Como o número de observações é ı́mpar, a mediana é o valor central, isto é, x
e = 9.
Exemplo 4.3. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos
de fio de aço: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.
Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.
Como o número de observações é 8, portanto par, a mediana é dada pela média dos dois
valores centrais que são 68 e 69, isto é:
x
e=
68 + 69
= 68, 5.
2
16
Capı́tulo 5
Medidas de Dispersão
Dispersão é sinônimo de variação ou variabilidade de uma distribuição. Para medir a dispersão são freqüentemente usadas a amplitude e o desvio padrão.
5.1
Amplitude
A amplitude é a diferença entre o maior e menor valor do conjunto de dados.
Notação:
• R: amplitude.
• X(1) : menor valor do conjunto de dados.
• X(n) : maior valor do conjunto de dados.
Assim, a amplitude é dada por:
R = X(n) − X(1)
(5.1)
Exemplo 5.1. As temperaturas num perı́odo de 8 horas (uma medida/hora) foram: 60, 65,
67, 68, 69, 70, 72, 77.
A amplitude deste conjunto é:
R = 77 − 60 = 17
5. Medidas de Dispersão
5.2
17
Variância
A variância de uma população de N elementos é a medida de dispersão definida como a
média do quadrado do desvios dos elementos em relação a média.
Notação:
• σ 2 : variância populacional.
• s2 : variância amostral.
Assim, a variância amostral é dada por:
n
X
s2 =
5.3
(Xi − X)2
i=1
n−1
.
(5.2)
Desvio Padrão
O desvio padrão de um conjunto de dados é igual à raiz quadrada positiva da variância.
Notação:
• σ : desvio padrão populacional.
• s : desvio padrão amostral.
Assim, o desvio padrão amostral é dado por:
s=
p
σ2 =
v
u N
uX
u
(xi − x)2
u
t i=1
n−1
.
(5.3)
Exemplo 5.2. Considere a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de aço cujos valores
foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68. Calcular o desvio padrão.
Para calcular o desvio padrão devemos primeiramente calcular a média x, isto é:
x=
65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 68
= 68, 5.
8
Agora vamos subtrair x = 68, 5 de cada valor, elevar cada resultado ao quadrado e somá-los.
5. Medidas de Dispersão
18
65
72
70
77
60
67
69
68
(x − x)
- 68,5 = -3,5
- 68,5 = 3,5
- 68,5 = 1,5
- 68,5 = 8,5
- 68,5 = -8,5
- 68,5 = -1,5
- 68,5 = 0,5
- 68,5 = 0,5
(x − x)2
(−3, 5) = 12,25
(3, 5)2 = 12,25
(1, 5)2 = 2,25
(8, 5)2 = 72,25
(−8, 5)2 = 72,25
(−1, 5)2 = 2,25
(0, 5)2 = 0,25
(0, 5)2 = 0,25
Total = 174,00
2
Então dividimos o total dos quadrados pelo número de valores menos 1, ou seja, por (n-1)
e extraı́mos a raiz quadrada:
√
174
= 24 ⇒ s = 24 ⇒ s = 4, 9
7
Portanto o desvio padrão é 4,9.
19
Capı́tulo 6
Estatı́sticas Descritivas
Uma análise das estatı́sticas descritivas da amostra é fundamental para resumirmos algumas
informações sobre a população. Estas informações são utilizadas para tomada de decisão e
formação de modelos estatı́sticos paramétricos.
• Mı́nimo(Min): menor elemento da amostra;
• Máximo(Max ): maior elemento da amostra;
• Primeiro quartil (Q1) e terceiro quartil (Q3): o conjunto de dados com n observações é
ordenado em ordem crescente.
– Q1: número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima, isto é, é a observação de posição (n+1)/4.
– Q3: número que deixa 75% das observações abaixo e 25% acima, isto é, é a observação de posição 3(n+1)/4.
• Tri-Média: removemos os 5% maiores valores e os 5% menores valores, arredondados para
o maior inteiro, e então a média é calculada.
• Skewness : medida de assimetria. Um valor negativo indica que uma skewness está
tendida à esquerda e um valor positivo indica que a skewness está tendida à direita. Um
valor nulo não necessariamente indica simetria.
A fórmula da Skewness:
P
[(xi − x)/s]3
b1 =
n
onde:
6. Estatı́sticas Descritivas
20
xi : é a n-ésima observação.
x: é a média das observações.
N : é o número de executadas.
s: é o desvio padrão.
• Kurtosis: é a medida de quão diferente a distribuição difere da distribuição normal. Um
valor positivo costuma indicar um pico mais agudo, um corpo mais fino e uma calda mais
gorda que a calda da distribuição normal. Um valor negativo indica um pico mais tênue,
um corpo mais grosso e uma calda mais fina que a da distribuição normal.
A fórmula da Kurtosis:
X xi − x 4
N (N + 1)
3(N − 1)2
b2 =
−
(N − 1)(N − 2)(N − 3)
s
(N − 2)(N − 3)
onde:
xi : é a n-ésima observação.
x: é a média das observações.
N : é o número de executadas.
S: é o desvio padrão.
Exemplo 6.1. Consideremos uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos
valores são: 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.
Os dados ordenados de forma crescente é: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77.
Os resultados serão:
M in = 60
M ax = 77
A Tri-Média foi calculada retirando-se o maior e o menor valor do conjunto de dados e
calculamos a média dos 9 restantes, então:
Tri-Média =
65 + 66 + · · · + 72
= 68, 56
9
Posição do Q1 =
11 + 1
=3
4
⇒
Q1 = 66
6. Estatı́sticas Descritivas
21
Posição do Q3 = 3
11 + 1
4
=9
⇒
Q3 = 71
Skewness:
1
b1 =
n
(60 − 68, 55)3 + (65 − 68, 55)3 + · · · + (77 − 68, 55)3
(4, 32)3
= −0, 028
Kurtosis:
11(12)
b2 =
(10)(9)(8)
6.1
(60 − 68, 55)4 + (65 − 68, 55)4 + · · · + (77 − 68, 55)4
(4, 32)4
−
3(10)2
= 1, 53
(9)(8)
Box-Plot
O Box Plot (gráfico de caixa) é importante para descrever vários aspectos dos dados, entre
estes, apresentar de forma visual a diferença entre o terceiro e primeiro quartil. O box plot é
formado pelo primeiro e terceiro quartil, e pela mediana. As linhas verticais são estendidas até
os limites:
Limite inferior : Q1 − 1, 5(Q3 − Q1 )
Limite superior : Q3 + 1, 5(Q3 − Q1 )
Os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes
(outliers) e são denotados com um asterisco (*). A Figura 6.1 apresenta o formato do Box Plot.
Figura 6.1: Construção do Boxplot
O Box-Plot pode ainda ser utilizado para uma comparação visual entre dois ou mais grupos.
Por exemplo, duas caixas são colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas, a
6. Estatı́sticas Descritivas
22
mediana e assim por diante.
Figura 6.2: Comparação entre dois Boxplots
23
Capı́tulo 7
Probabilidades
7.1
Introdução
Podemos classificar os fenômenos da natureza ou criados pelo homem em dois tipos: aleatórios
(casuais) e não aleatórios (determinı́sticos). Lidaremos com os aleatórios, os quais não sabemos
o resultado a priori. No entanto, podemos listar os possı́veis resultados do fenômeno aleatório,
que formarão um conjunto denominado de Espaço Amostral (S). Ao estudarmos uma caracterı́stica da qualidade de um processo (ou produto), o espaço amostral consiste de todos os
valores possı́veis que a caracterı́stica da qualidade pode assumir.
Exemplo 7.1. Considere o experimento de lançar um dado e observar a face que cair para cima.
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere um experimento no qual classificamos um
produto em conforme ou não conforme. Neste caso, o espaço amostral é S = {Conforme, Não
conforme}. Outro experimento aleatório consiste em contar o número de defeitos em uma peça
pintada (por exemplo). Neste caso, os possı́veis resultados são S = {0, 1, 2, 3, · · · }.
Relacionado a um experimento, como acima, uma série de sentenças podem ser formuladas.
Estas sentenças são denominadas Eventos.
Exemplo 7.2. Consideremos o lançamento do dado no exemplo 7.1. Podemos definir vários
eventos. Alguns são: A = “sair número par”, B = “sair número ı́mpar”, C = “sair número
maior do que 3”. Esses eventos podem ser representados, respectivamente, pelos conjuntos:
A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e C = {4, 5, 6}. Considere o experimento de classificar a peça em
conforme ou não, podemos definir como eventos, A = {Conforme}, B = {Não conforme}. Ao
contarmos o número de defeitos em uma peça pintada, geralmente, estaremos interessados no
evento A = {Zero Defeito} = {0}.
7. Probabilidades
7.2
24
Definições
De uma forma geral, qualquer subconjunto de um espaço amostral será denominado Evento.
Os eventos são denotados por letras maiúsculas (A, B, C, ...). Outro aspecto importante da
teoria de probabilidade está na manipulação de eventos. Do ponto de vista prático, os eventos
são as sentenças (perguntas) que podemos formular sobre nosso experimento. Assim, desejamos
definir formas de manipular, ou seja, de operar estas sentenças. As três operações básicas são:
União ( ∪ ) : A união de dois conjuntos quaisquer E e F conterá todos os elementos de E
e de F , incluindo os elementos que sejam comum aos dois ou não.
Intersecção ( ∩ ) : A intersecção de dois conjuntos quaisquer E e F conterá os elementos
comuns a E e F.
Complementar (Ac ) : O evento complementar ao evento A é o conjunto dos elementos do
espaço amostral que não pertencem a A.
Exemplo 7.3. Consideremos o lançamento do dado no exemplo 7.2 . Temos:
a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A ∩ B = {} = φ
conjunto vazio
c) A ∩ C = {4, 6} e A ∪ C = {2, 4, 5, 6}
d) C c = {1, 2, 3}
Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto composto por nenhum
elemento, que denotaremos por φ . Este conjunto está contido em qualquer outro evento do
espaço amostral.
A probabilidade é uma forma de atribuirmos “pesos” relativo a ocorrência dos eventos. A
probabilidade, que denotaremos por P, é uma função que tem domı́nio na classe de eventos e
tem como imagem números (pesos) entre 0 e 1. Além disso, a probabilidade deve satisfazer
as seguinte regras. Considere um experimento, S o espaço amostral associado e P uma função
definida sobre a classe de eventos, tal que:
1. P (S) = 1;
2. 0 ≤ P (A) ≤ 1;
7. Probabilidades
25
3. Se A1 , ..., An são mutuamente exclusivos, isto é, Ai
Pn
i=1 P (Ai ).
T
S
Aj = ∅, i 6= j, então P ( ni=1 Ai ) =
Onde A e B são eventos, isto é, subconjuntos do espaço amostral S. Qualquer função P que
atribua pesos a eventos associados a um espaço amostral e que satisfaça as propriedades (1) e
(2) acima será denominada probabilidade.
Se os elementos de um espaço amostral S = e1 , e2 , · · · , en (finito) são equiprováveis, isto é,
todos os elementos do espaço amostral tem o mesmo “peso” (probabilidade) de ocorrer, temos
que
1
n
P ({ei }) =
Neste caso, podemos definir a probabilidade de um evento E = {ej1, · · · , ejk}, composto
por k (com k menor que n) elementos, como sendo:
P (E) =
número de casos favoráveis a E
k
=
número de casos possı́veis de S
n
Exemplo 7.4. Considere o lançamento do dado descrito nos exemplos 7.2 e o 7.3. Neste caso,
os elementos do espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são equiprováveis, pois cada resultado tem
a mesma chance de ocorrer, isto é,
P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) =
1
6
Assim, temos que
P (A) = P ({2, 4, 6}) = P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) =
1
1
1
+
+
6
6
6
=
3
6
Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento A é igual ao número de elementos
favoráveis a A = {2, 5, 6} que é 3 (pois A tem 3 elementos) dividido pelo número de elementos
no espaço amostral que é 6. Desta forma, obtemos
P (A) =
3
6
P (A ∪ B) =
,
6
= 1
6
P (B) =
,
3
6
,
P (C) =
P (A ∩ B) =
0
= 0
6
3
6
7. Probabilidades
26
P (A ∪ C) =
4
6
,
P (A ∩ C) =
2
6
Uma propriedade importante para calcularmos a probabilidade de ocorrência de eventos
associados ao experimento é a regra da soma (união) de dois eventos.
Regra da Soma: a probabilidade da união de dois eventos E e F pode ser calculada por
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
Exemplo 7.5. Considere o exemplo 7.4. Queremos calcular P (A ∪ C). Temos
P (A ∪ C) = P (A) + P (C) − P (A ∩ C) =
3
2
4
3
+
−
=
6
6
6
6
Outra propriedade muito importante para a teoria de probabilidade é a independência entre
dois eventos. Na prática, dois eventos são independentes quando a ocorrência de um evento não
influência na ocorrência ou não do outro evento. Do ponto de vista probabilı́stico, definimos:
Independência: Dois eventos E e F são ditos “independentes” se
P (E ∩ F ) = P (E) × P (F )
Exemplo 7.6. Uma caixa contém 10 peças, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos
duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção. Qual a probabilidade de se obter duas
peças defeituosas?
Resposta:
O experimento de realizar a primeira retirada tem como espaço amostral S1 = {D1 ; B1 } e
a segunda retirada tem como espaço amostral S2 = {D2 ; B2 }, onde Di significa que retiramos
uma peça Defeituosa na i-ésima retirada e Bi significa que retiramos uma peça Boa na i-ésima
retirada, para i = 1, 2. Além disso, temos que
P (D1 ) = P (D2 ) =
3
10
e
P (B1 ) = P (B2 ) =
7
10
Pois as duas peças são retiradas ao acaso e com reposição, isto é, após retirarmos a primeira
peça, esta é a resposta à caixa para que possamos efetuar a segunda retirada. Associamos ao
7. Probabilidades
27
experimento de retirar duas peças ao acaso e com reposição o espaço amostral
S = {(D1 , B2 ); (B1 , D2 ); (D1 , D2 ); (B1 , B2 )} .
Desde que a primeira e a segunda retiradas são executadas de forma independente, temos que
P [(D1 ; D2 )] = P (D1 ∩ D2 ) = P (D1 ) × P (D2 ) =
3
3
9
×
=
10 10
100
Muitas vezes precisamos calcular a probabilidade da ocorrência de dois eventos simultaneamente. Para efetuarmos tal cálculo, introduzimos o conceito de probabilidade condicional.
Probabilidade Condicional: A probabilidade de ocorrer um evento E dado que ocorreu
um evento F é dada por
P (E / F ) =
P (E ∩ F )
P (F )
Dessa relação sai a Regra do Produto que é dada por
P (E ∩ F ) = P (F ) × P (E / F )
Com isso, concluı́mos que a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos E e F é
igual a probabilidade de ocorrência do evento F (ou E) vezes a probabilidade de ocorrência do
evento E (ou F) dado que ocorreu o evento F (ou E).
Exemplo 7.7. Considere o exemplo 7.6, mas agora as retiradas serão feitas sem reposição, isto
é, a primeira peça retirada não volta ao lote para retirarmos a segunda peça. A probabilidade
de se retirar duas peças defeituosas é dada por:
P (D1 ∩ D2 ) = P (D1 ) × P (D2 / D1 ) =
2
6
3
×
=
10 9
90
Exercı́cio 7.1. Considere um processo que apresenta 8% de defeituosos. Duas peças são selecionadas ao acaso e classificadas em defeituosas ou não.
a) Qual o espaço amostral associado ao experimento de selecionar duas peças e classificá-las?
b) Qual a probabilidade de obtermos duas peças defeituosas?
7. Probabilidades
28
Exercı́cio 7.2. Considere um processo composto por duas etapas. A etapa I apresenta 5%
de peças defeituosas, enquanto que a etapa II apresenta 9% de peças defeituosas. Qual a
probabilidade do processo fornecer uma peça sem defeito?
7.3
Distribuição de Probabilidade Discreta
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta X, definida em um
espaço amostral (S), é uma tabela que associa a cada valor de X sua probabilidade.
Exemplo 7.8. Considere que uma moeda é lançada duas vezes. Seja X a função definida no
espaço amostral que é igual ao número de caras nos dois lançamentos (C - Cara e C - Coroa).
Temos então: Os valores das probabilidades, na tabela acima, são obtidos da seguinte maneira:
Valores de X
0
1
2
Pontos amostrais
CC
CC, CC
CC
Probabilidades
1/4
1/2
1/4
Tabela 7.1: Tabela do Exercı́cio
P [X = 0] = P (CC) =
1
4
P [X = 1] = P (CC) + P (CC) =
P [X = 2] = P (CC) =
7.3.1
1
2
1
4
Função de Distribuição Acumulada
O conceito de função de distribuição acumulada que introduziremos aplica-se tanto a variáveis
aleatórias discretas quanto a variáveis aleatórias contı́nuas. A função de distribuição acumulada
nos dá outra maneira de descrever como as probabilidades são associadas aos valores ou aos
intervalos de valores de uma variável aleatória.
Definição 7.3.1. A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é uma
função que a cada número real x associa o valor:
F (x) = P [X ≤ x]
7. Probabilidades
29
A notação [X ≤ x] é usada para designar o conjunto {ω ∈ S : X(ω) ≤ x}, isto é, denota a
imagem inversa do intervalo (−∞, x] pela variável aleatória X.
Lema 7.3.1. A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X satisfaz as
seguintes condições:
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1
2. F (x) é não decrescente e contı́nua à direita
3. limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞ F (x) = 1
7.3.2
Relação entre a Função de Distribuição Acumulada e a Distribuição de Probabilidade Discretas
Seja X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade associa aos valores
x 1 , x2 , . . . , x n
as respectivas probabilidades
P [X = x1 ], P [X = x2 ], . . . , P [X = xn ]
.
Como os valores de X são mutuamente exclusivos, temos que:
F (x) =
X
P [X = xi ]
Assim, dada a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta sua função
de distribuição acumulada fica determinada.
7.3.3
Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 7.3.2. A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X que assume
os valores xi , com respectivas probabilidades P [X = xi ], para i = 1, 2, . . . , é dada por:
E(X) =
X
xi P [X = xi ]
(7.1)
7. Probabilidades
30
Lema 7.3.2. Se as esperanças das variáveis aleatórias X e Y existem, então existe a esperança
de X + Y e se c é uma constante tem-se:
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(cX) = cE(X)
7.3.4
Variância de Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 7.3.3. A variância de uma variável aleatória discreta X é definida por:
V ar(X) = E(X − E(X))2
(7.2)
ou
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2
7.4
Modelos Probabilı́sticos Discretos
Agora iremos apresentar alguns dos principais modelos probabilı́sticos utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza ou ainda experimentos por
nós construı́dos.
Na prática, nossos experimentos consistem em medir etapas de um processo. Como resultados destas medições obtemos valores numéricos ou atributos, que caracterizam a performance
do processo. Os resultados das medições são denominados variáveis aleatórias.
7.4.1
Distribuição Binomial
Quando queremos classificar um lote de 20 peças em defeituosas ou não, e contamos o
número de peças defeituosas, associamos uma variável aleatória X, que representa este número
de peças defeituosas.
Esta variável pode assumir, por exemplo, valores 0, 1, 2, · · · , 20. Associado a uma variável
aleatória, assumindo um número finito (ou infinito enumerável) de valores, definimos a função
de probabilidade da variável aleatória X, como a probabilidade da variável X assumir o valor
x. A função de probabilidade será denotada por P [X = x].
7. Probabilidades
31
Como o leitor deve ter notado, em todas as situações descritas cada elemento da população
é classificado segundo possua ou não uma dada caracterı́stica.
Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma seqüencia de ensaios de Bernoulli.
Uma seqüencia de Bernoulli é definida por meio das três condições seguintes:
i. Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento
que sera denominado sucesso (S) e cuja não ocorrência será denominada falha (F).
ii. Os ensaios são independentes.
iii. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p, é a mesma para cada ensaio. A
probabilidade de falha será denotada por 1 - p.
Para um experimento que consiste na realização de n ensaios de Bernoulli, o espaço amostral
pode ser considerado como o conjunto de n-uplas de comprimento n, em que cada posição há
um sucesso (S) ou uma falha (F).
Pelas condições 2 e 3 vemos que a probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos
k primeiros ensaios e falhas nos n − k ensaios seguintes é pk (1 − p)n−k . Note que esta é a
probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e n-k falhas. O número de pontos do espaço
amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher k
ensaios dentre os n para a ocorrência de sucesso, pois nos n-k restantes deverão ocorrerfalhas.

n
Este número é igual ao número de combinações de n elementos tomados k a k, ou seja  .
k
Decorre do que foi exposto que, para k = 0,1,. . . ,n:

P [X = k] = 
n
k

 pk (1 − p)n−k .
(7.3)
A fórmula 7.3 é denominada distribuição binomial com parâmetros n e p, onde n é o número
de ensaios e p a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
O número de sucessos X em n ensaios de Bernoulli pode ser representado por meio de
variáveis aleatórias associadas a cada ensaio, que assumem valores zero ou 1.
Seja Xi = 1 se ocorre sucesso no i-ésimo ensaio e Xi = 0 se ocorre falha, para i = 1, 2, . . . , n.
Então X pode ser expresso da seguinte maneira:
X = X1 + X2 + · · · + Xn .
7. Probabilidades
32
Como motivação, suponha que estamos interessados em retirar o número 4 ao lançar um
dado. Se ocorrer o no 4 diremos que ocorreu SUCESSO, caso contrário, diremos que ocorreu
FRACASSO. Assim temos
P (SUCESSO) =
1
6
e
P (FRACASSO) =
5
6
Suponha agora que lancemos o dado 5 vezes. É claro que o resultado de um lançamento
independe do anterior, do posterior ou de qualquer outro lançamento.
Digamos que estamos interessados em calcular a probabilidade de obter o no 4, duas vezes.
Podemos obter o no 4, duas vezes de várias maneiras. Uma maneira é (a não ocorrência de 4
será denotada por 0):
4 4 0 0 0
com probabilidade
1 1 5 5 5
× × × ×
=
6 6 6 6 6
2 3
1
5
×
6
6
com probabilidade
1 5 1 5 5
× × × ×
=
6 6 6 6 6
2 3
1
5
×
6
6
Uma outra maneira é
4 0 4 0 0
com probabilidade igual a anterior. Assim, qualquer seqüência contendo o no 4, duas vezes e três
outros valores quaisquer tem a mesma probabilidade. Como qualquer uma dessas seqüências
serve ao nosso interesse, a probabilidade procurada é a soma das probabilidades de todas as
seqüências. Precisamos saber então quantas seqüências existem. A resposta é dada por:
C(5, 2) =
5!
= 10
2! × (5 − 2)!
onde 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (fatorial de 5) . O número C(i, j) corresponde ao número de
vezes que podemos combinar i elementos em subgrupos de j, com j menor ou igual a i.
Assim temos
2 3
1
5
P (n 4 duas vezes) = 10 ×
×
6
6
o
Agora vamos generalizar esse resultado. Suponha um experimento com apenas dois resultados possı́veis: SUCESSO e FRACASSO, tal que P (SUCESSO) = p e P (FRACASSO) =
1 − p = q . Vamos repetir esse experimento n vezes e estamos interessados em obter k SUCESSOS, e conseqüentemente n − k FRACASSOS. O número de sucessos a serem obtidos é variável
e o chamaremos de X. Assim temos que
7. Probabilidades
33
P (X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n−k
onde k = 0, 1, 2, · · · , n e
C(n, k) =
n!
.
k! × (n − k)!
Exemplo 7.9. Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça
defeituosa (sucesso) é p = 0, 1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas.
Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma peça defeituosa?
b) Nenhuma peça defeituosa?
c) Duas peças defeituosas?
d) No mı́nimo duas peças defeituosas?
e) No máximo duas peças defeituosas?
Solução:
a) P (X = 1) = C(10, 1) × (0, 1)1 × (1 − 0, 1)10−1 =
b) P (X = 0) = C(10, 0) × (0, 1)0 × (1 − 0, 1)10−0 =
c) P (X = 2) = C(10, 2) × (0, 1)2 × (1 − 0, 1)10−2 =
10!
1!×(10−1)!
10!
0!×(10−0)!
× 0, 1 × (0, 9)9 = 0, 3874
× (0, 9)10 = 0, 3486
10!
2!×(10−2)!
× (0, 1)2 × (0, 9)8 = 0, 1937
d) P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) ou P (X ≥
2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] = 0, 2639
e) P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 9298
Uma caracterı́stica de uma variável aleatória X é o seu valor esperado, que é denotado por
E[X]. O valor esperado representa o número médio de peças defeituosas em uma amostra de
peças. Por definição, temos que
E[X] =
n
X
k × P (X = k)
k=0
Considerando X com distribuição binomial, então
7. Probabilidades
34
E[X] =
n
X
k × C(n, k) × pk × (1 − p)n−k = n × p
k=0
Para uma amostra de tamanho 10 e p = 0.1 , obtemos que
E[X] = n × p = 10 × 0, 1 = 1
e a variância Var[X] corresponde ao valor médio quadrático em torno de E[X], ou seja
V ar[X] = E (X − E[X])2 = E[X 2 ] − (E[X])2 = n × p × (1 − p)
Para o exemplo, temos que
σx2 = V ar[X] = n × p × (1 − p) = 10 × 0, 1 × 0, 9 = 0, 9
e o desvio padrão é
σx =
p
σx2 = 0, 9487
Exercı́cio 7.3. Considere uma linha de montagem que apresenta 6% de produtos defeituosos.
Em um lote de 50 produtos calcule a probabilidade de:
a) Encontrarmos nenhum produto defeituoso;
b) Obtermos dois produtos defeituosos;
c) Obtermos dois ou mais produtos defeituosos;
d) Qual o número esperado de produtos defeituosos em um lote de 200 produtos?
e) Calcular também o desvio padrão.
7.4.2
Distribuição de Poisson
Na distribuição binomial quando o tamanho da amostra n é grande (n → ∞) e p é pequeno
(p → 0) , o cálculo da probabilidade
P (X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n−k
7. Probabilidades
35
pode ser feito usando a seguinte expressão
P (X = k) =
onde k = 0, 1, 2, 3, · · · ,
e = 2, 718
e
e−λ × λk
k!
λ = n × p.
Essa expressão é devido a Poisson e é muito usada para calcular probabilidades de ocorrências
de defeitos “raros” em sistemas e componentes. O número de defeitos é a variável representada
por X. A média de X é dada por:
µx = E(X) =
∞
X
k × P (X = k) =
k=0
∞
X
k×
k=0
e−λ × λk
= λ
k!
que freqüentemente é chamada de taxa de defeitos. A variância de X é dada por:
σx2 = E(X 2 ) − [E(X)]2 = λ
e o desvio padrão é:
σx =
p
σx2 =
√
λ
Exemplo 7.10. Para um processo que mantém uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. Qual a
probabilidade de uma unidade qualquer apresentar:
a) Dois defeitos?
b) Um defeito?
c) Zero defeito?
Resposta:
Temos que λ = 0, 2 , então
a) P (X = 2) =
e−0,2 ×(0,2)2
2!
= 0, 0164
b) P (X = 1) =
e−0,2 ×(0,2)1
1!
= 0, 1637
c) P (X = 0) =
e−0,2 ×(0,2)0
0!
= 0, 8187
esse último valor, P (X = 0), é chamado de “rendimento” do processo (ou produto).
7. Probabilidades
36
Exercı́cio 7.4. Suponha que temos um produto composto por três componentes A, B e C. A
taxa de ocorrência de defeitos do componente A é de 0,02, do componente B é de 0,04 e do
componente C é de 0,03. Calcule a probabilidade do produto apresentar zero defeito.
7.4.3
Distribuição Geométrica
Consideremos uma seqüência ilimitada de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em
cada ensaio. Designemos sucesso por S e falha por F . Realizamos os ensaios até que ocorra o
primeiro sucesso.
O espaço amostral para este experimento é o conjunto :
(S, FS, FFS, . . ., FF, . . ., FS, . . .)
Um elemento tı́pico desse espaço amostral é uma seqüencia de comprimento n em que nas
primeiras n − 1 posições temos F e na n-ésima temos S.
Seja X a variável aleatória que dá o número de falhas que precedem o primeiro sucesso. A
distribuição de probabilidade de X é dada por
P [X = j] = (1 − p)j p , j = 0, 1, . . . .
(7.4)
O evento [X = j] ocorre se e somente se ocorrem somente falhas nos j primeiros ensaios e
sucesso no (j + 1)-ésimo ensaio. A expressão 7.4 segue da independência dos ensaios. Vamos
calcular E(X) a partir da definição. No Cálculo de E(X), utilizaremos uma expressão que vale
a pena destacar, pois é de interesse geral.
Para todo número real x no intervalo (0,1) consideremos a série geométrica cuja soma é
dada a seguir:
∞
X
xi =
i=0
1
1−x
(7.5)
Derivando-se ambos os membros da igualdade, temos:
X
d X
1
xi =
ix(i−1) =
.
dx
(1 − x)2
(7.6)
Usando-se a definição de esperança temos:
E(X) =
X
j(1 − p)j p = p
X
j(1 − p)j = p(1 − p)
X
j(1 − p)j−1 =
p(1 − p)
.
p2
(7.7)
7. Probabilidades
37
Observe que utilizamos 7.6 e x = 1−p para obter a última desigualdade acima. Simplificando
vem:
E(X) =
1−p
p
(7.8)
Usando a expressão podemos calcular E(X 2 ) e obter a variância de X. Sugerimos ao leitor
que faça esse cálculo que fornecerá:
V ar[X] =
1−p
p2
(7.9)
A distribuição geométrica tem uma propriedade que serve para caracterizá-la no conjunto
das distribuições discretas, que é expressa no seguinte lema:
Lema 7.4.1. Se X é variável aleatória discreta com distribuição geométrica, então, para todo
j, k = 1, 2, . . . tem-se:
P [X ≥ j + k|X ≥ j] = P [X ≥ k]
Este Lema reflete a falta de memória ou de desgaste da distribuição geométrica.
Exemplo 7.11. A duração (em centenas de horas) de um determinado componente eletrônico,
foi modelada por uma distribuição geométrica com parâmetro p=0,8. Determine a probabilidade
desse componente eletrônico:
a. Durar menos de 400 horas.
b. Durar mais de 500 horas.
Duração em horas(centenas)
0
1
2
3
4
5
Probabilidade
0,8000
0,1600
0,0320
0,0064
0,0013
0,0003
Acumulada
0,8000
0,9600
0,9920
0,9984
0,9997
0,9999
Tabela 7.2: Tabela de probabilidade da distribuição geométrica
Solução:
7. Probabilidades
38
a. Para tal temos :P [X = k] = (1 − p)k .p, agora para a
P [X ≥ 400horas] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3]
= (1 − 0, 8)0 × (0, 8) + (1 − 0, 8)1 × (0, 8) + (1 − 0, 8)2 × (0, 8) + (1 − 0, 8)3 × (0, 8)
= 0, 800000 + 0, 160000 + 0, 032000 + 0, 006400 = 0, 9984
b. Para tal temos :P [X = k] = (1 − p)k .p, agora para a
P [X ≥ 500horas] = 1 − P [X = 5]
= 1 − (1 − 0, 8)5 × (0, 8)
= 1 − 0, 999936 = 0, 000064
7.4.4
Distribuição Hipergeométrica
Essa distribuição representa um modelo para amostragem sem reposição de uma população
com um número finito de elementos, em que cada elemento pode ser de um de dois tipos. Se a
população tem N elementos, M de um tipo e N − M do outro. Então podemos mostrar que a
distribuição de probabilidade da variável aleatória X é dada por:


P [X = k] =
M
k

N −M



N
n
n−k



,

onde
max{0, n − (N − M )} ≤ k ≤ min{M, n}
Por exemplo, suponha uma urna contendo M bolas brancas e N − M bolas vermelhas.
Retira-se da urna n bolas sem reposição, isto é, após cada retirada a bola selecionada não é
reposta na urna. Vamos designar X o número de bolas brancas entre as n bolas retiradas da
urna. Para justificar os limites, notemos que o número de bolas brancas na amostra k é menor
ou igual ao número de bolas brancas na urna M e também menor ou igual ao número de bolas
7. Probabilidades
39
na amostra n, portanto menor ou igual ao menor deles. Se o tamanho da amostra n é menor
ou igual ao número de bolas vermelhas N − M , então na amostra todas podem ser vermelhas
e portanto k = 0. Se n ≥ (N − M ), então mesmo que todas as (N − M ) vermelhas pertençam
à amostra, haverá n − (N − M ) brancas na amostra.
O espaço amostral para esse experimento é formado pelo conjunto das amostras não ordenadas de n bolas retiradas das N , ou o que é o mesmo, pelo conjunto das combinações de N
elementos tomados n a n, cuja representação é igual a:



Existem 
M
N
n




 combinações de k bolas brancas retiradas das M e 
N −M

 com-
k
n−k
binações de n − k vermelhas retiradas das N − M . Assim o número de combinações com k
brancas e n − k vermelhas é o produto:


M
k


N −M
n−k


Mostramos assim a Distribuição de Probabilidade da Hipergeométrica.
Se X segue uma distribuição Hipergeométrica com parâmetros N − 1, M − 1 e n − 1,
então a Esperança é dada por:
E(X) = n.
M
N
e a Variância é dada por:
M N −M
V ar(X) = n
N
N
n−1
1−
N −1
Exemplo 7.12. Uma empresa fabrica um tipo de tomada que são embalados em lote de 25
unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade da empresa
tomou o seguinte procedimento. Sorteia um lote e desse lote seleciona 8 tomadas para teste,
sem reposição. Se constatar no máximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pelo fabrica.
Se a caixa sorteada tivesse 7 peças defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
N=25, n=8 (tamanho da amostra) e r=7 (n◦ de defeituosas).
Solução:
7. Probabilidades
40
P [aceitar o lote] = P [D ≤ 2] = P [D = 0] + P [D = 1] + P [D = 2]


=
7
0




7.5
25 − 7
25
8
8−0





7
1

25 − 7

+



25
8
8−1





7
2

25 − 7

+



25
8
8−2



= 0, 0010069

Exercı́cios
Nestes quatro capı́tulos iniciais, discutimos a estratégia de rompimento para a melhoria
contı́nua e métodos estatı́sticos para contagem de peças defeituosas. Abaixo, vamos revisar
alguns destes conceitos através de exercı́cios.
Exercı́cio 7.5. Uma instalação é constituı́da por duas caldeiras e uma máquina. Esta instalação funciona se a máquina e pelo menos uma das caldeiras estiver funcionando. Sejam os
eventos:
• A: Máquina em condições de funcionamento;
• B1 : A caldeira 1 está em condições de funcionamento;
• B2 : A caldeira 2 está em condições de funcionamento;
• C: A instalação está em condições de funcionamento;
Expresse o evento C e o evento C c (complementar) em termos dos eventos A e Bk (k = 1, 2).
Exercı́cio 7.6. Utilizando a mesma notação do exercı́cio 7.5, se P (A) = 0, 95, P (B1 ) = 0, 78
e P (B2 ) = 0, 85, qual a probabilidade da instalação não estar em condições de funcionamento?
Exercı́cio 7.7. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos
graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) A peça seja defeituosa;
b) A peça não tenha defeito grave;
c) A peça seja boa ou tenha defeito grave;
7. Probabilidades
41
Exercı́cio 7.8. Através de dados históricos, sabemos que a proporção de peças defeituosas em
uma fábrica é de 6%. Um lote de 30 peças é retirado da produção:
a) Qual a probabilidade de encontrarmos nenhuma peça defeituosa na amostra?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos duas ou mais peças defeituosas na amostra?
c) Qual o número esperado de peças defeituosas na amostra e qual o seu desvio padrão?
Exercı́cio 7.9. No processo de fundição de peças, o problema de descontinuidades na peça
(óxido, bolha, poros, entre outros) pode sucatear a peça. Utilizando dados históricos, sabemos
que a taxa de ocorrência de descontinuidades por peça é de 0,2. Qual a probabilidade de obtermos uma peça com zero descontinuidades? Em um lote de 200 peças, qual o número esperado
de descontinuidades?
7.6
Distribuições de Probabilidade Continua
As variáveis aleatórias contı́nuas, como o tempo de duração de uma chamada telefônica num
dado instante assumem valores na reta ou em intervalos da reta. Não podemos esperar que
possamos atribuir probabilidades aos valores de uma variável contı́nua da mesma maneira que o
fizemos para as variáveis discretas, pois a soma de uma quantidade não enumerável de números
positivos não poderia ser igual a um. Então podemos atribuir probabilidades a intervalos de
valores da variável contı́nua por meio de uma função. É uma função não negativa tal que sua
integral num dado intervalo é igual a probabilidade da variável pertencer ao intervalo. Impõe-se
ainda a condição de que a integral estendida à reta toda seja igual a um, pois ao ser realizado
o experimento algum evento ocorre.
Definição 7.6.1. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contı́nua é
uma função f (x) ≥ 0, tal que:
Z
+∞
f (x)dx = 1
−∞
7. Probabilidades
7.6.1
42
Relação entre a Função de Distribuição Acumulada e a Função
densidade de Probabilidade Contı́nua
Para uma variável aleatória contı́nua com densidade de probabilidade f (x) podemos obter
a função de distribuição F (x) integrando-se a densidade de probabilidade,
Z
x
F (x) = P [X ≤ x] =
f (y)dy
−∞
Se a densidade f (x) for contı́nua no seu campo de definição, então decorre do teorema
fundamental do cálculo que:
F (1) (x) = f (x)
7.6.2
Esperança de Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Definição 7.6.2. A esperança matemática de uma variável aleatória contı́nua X, com densidade de probabilidade f (x) é dada por:
Z
∞
E(X) =
xf (x)dx
−∞
7.6.3
Variância de Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Definição 7.6.3. A variância de uma variável aleatória contı́nua X é definida por:
V ar(X) = E(X − E(X))2
ou
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2
7.7
Modelos Probabilı́sticos Contı́nuos
Agora apresentaremos os modelos probabilı́sticos descritos por variáveis aleatórias que possuem uma densidade de probabilidade. Cada modelo corresponde a uma famı́lia de distribuições
de probabilidade, expressa por densidades de probabilidade que dependem de um ou mais
parâmetros.
7. Probabilidades
7.7.1
43
Distribuição Uniforme
Definição 7.7.1. A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] se sua
densidade de probabilidade for dada por:
f (x) =
1
b−a
para a ≤x≤ b e f (x) = 0 fora desse intervalo
Figura 7.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da Uniforme
Vamos calcular a expressão 7.10.
Z
E(X) =
x
1
a+b
dx =
b−a
2
(7.10)
O segundo momento de X é dado por:
1
E(X ) =
b−a
2
Z
a
b
x2 dx =
a2 + ab + b2
3
(7.11)
Substituindo os valores dados por 7.10 e 7.11 na expressão 7.12 obtemos a variância de X
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
(b − a)2
.
12
(7.12)
Vamos descrever um experimento cujo resultado nos dá a distribuição uniforme no intervalo
(0, 2π). Consideremos um segmento de comprimento 2π. Vamos unir as duas pontas desse
segmento e formar um cı́rculo de raio unitário. O comprimento desse cı́rculo é precisamente de
2π. Vamos fixar um ponteiro no centro desse cı́rculo e vamos então girá-lo, observando até que
ele venha a parar. Por razões de simetria nós vemos que a chance do ponteiro parar de girar
em qualquer arco do cı́rculo é a mesma para qualquer arco de um comprimento dado. Seja X
o comprimento do arco determinado pela origem e pelo ponto onde o ponteiro parar. Assim
temos uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0, 2π).
7. Probabilidades
44
Se quisermos obter a distribuição uniforme no intervalo [a, b] basta pôr b−a = 2πr, construir
b−a
2π
um cı́rculo de raio r =
e proceder da maneira descrita.
Exemplo 7.13. A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km foi
modelada por uma distribuição Uniforme entre [0 e 7]. Qual é a probabilidade de que uma pane
venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? E de que ocorra nos 3 km centrais da rede?
Solução:A função densidade da distribuição Uniforme é dada por f (x) = 17 , 0 ≤ x ≤ 7.
Assim,
Z
0,8
P [X ≤ 0, 8] =
f (x)dx =
0
Z
0, 8 − 0
= 0, 1142.
7
5
P [2 ≤ x ≤ 5] =
f (x)dx = P [X ≤ 5] − P [X ≤ 2] =
2
7.7.2
5−2
5 2
− =
= 0, 4285.
7 7
7
Distribuição Normal
Uma variável aleatória X com distribuição normal tem função densidade de probabilidade
em forma de “sino”, como abaixo
A função densidade de probabilidade é definida por:
1
"
1
f (x) = √
exp −
2
2πσ 2
x−µ
σ
2 #
, x ∈ (−∞, +∞)
Além disso,
Z
∞
µ = E[X] =
f (x)dx ∈ (−∞, +∞) e σ 2 = E[X 2 ] − (E[X])2 ∈ [0, +∞)
−∞
Se tomarmos µ = 0 e σ = 1, dizemos que a variável aleatória tem distribuição normal padrão.
Abaixo, apresentamos o gráfico da função densidade da normal e algumas áreas (probabilidades)
importantes.
7. Probabilidades
45
Quando µ e σ são desconhecidos, como geralmente acontece, são substituı́dos por x e s,
respectivamente, a partir da amostra.
x̄ =
x1 + x2 + . . . + xn
n
v
u
u
s=t
n
1 X
(xi − x̄)2
n − 1 i=1
Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribuição. Mas para se calcular áreas especı́ficas, se faz uso de uma distribuição particular: a “distribuição normal padronizada”. Esta
distribuição tem média µ = 0 e desvio padrão σ = 1, e está tabelada. Como a distribuição é
simétrica em relação à média, a área à direita é igual a área à esquerda de µ. Assim, as tabelas
fornecem áreas acima de valores não-negativos que vão desde 0.00 até 4.09, dependendo da
tabela.
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal, com média e desvio padrão quaisquer,
podemos reduzir X a uma variável aleatória normal com média zero e variância σ 2 , na forma:
Z=
X −µ
σ
(7.13)
Exemplo 7.14. Considere X uma variável aleatória Normal com média 11,15 e desvio-padrão
2,238. Para calcularmos a probabilidade de X ser menor que 8,7 procedemos:
8, 7 − 11, 15
P [X < 8, 7] = P
= P [Z < −1, 0947] = 0, 1368 = 13, 7%
2, 238
(7.14)
7. Probabilidades
7.8
46
Modelos Probabilı́sticos para o Tempo de Falha
Existe uma série de modelos probabilı́sticos utilizados em análise de dados de confiabilidade, alguns destes modelos ocupam uma posição de destaque por sua comprovada adequação
a várias situações práticas. Entre estes modelos podemos citar o Exponencial, Weibull, Valor
Extremo ou Gumbel, o Log-normal. É importante entender que cada distribuição de probabilidade pode gerar estimadores diferentes para caracterı́sticas de durabilidade do produto. Desta
forma, a utilização de um modelo inadequado levará a erros grosseiros nas estimativas destas
quantidades. A escolha de um modelo adequado para descrever o tempo de falha de um determinado produto deve ser feita com bastante cuidado. Uma função que será utilizada inúmeras
vezes para descrever dados de tempo de falha é a função taxa de falha. A função taxa de falha
no intervalo [t1 , t2 ) é definida como a probabilidade de que a falha ocorra nesse intervalo, dado
que esta falha não ocorreu antes de t1, dividida pelo comprimento do intervalo. A taxa de falha
no intervalo [t1 , t2 ) é expressa por:
h(t) =
R(t1 ) − R(t2 )
,
(t2 − t1 )R(t1 )
onde R(t) é a função de confiabilidade.
No caso de distribuições contı́nuas, a expressão para taxa de falha é dada por:
h(t) =
7.8.1
f (t)
R(t)
Distribuição Exponencial
Esta é uma distribuição que se caracteriza por ter uma função de taxa de falha constante.
A distribuição exponencial é a única com esta propriedade. Ela é considerada uma das mais
simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido usada extensivamente como um
modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o
tempo de vida de óleos isolantes e dielétricos entre outros. A função densidade para um tempo
de falha T com distribuição exponencial é dada por
f (t) =
1
exp(−t/α)
α
(7.15)
onde α ≥ 0 é o tempo médio de vida. O parâmetro tem a mesma unidade do tempo da falha
t. Isto é, se t é medido em horas, α também será medido em horas. A função de confiabilidade
7. Probabilidades
47
R(t) que é a probabilidade do produto continuar funcionando além do tempo t, é dada para a
distribuição exponencial por
Z
R(t) = 1 − F (t) = 1 −
t
f (s)ds = exp(−t/α)
(7.16)
0
Figura 7.2: Gráfico da função de confiabilidade
A Figura 7.2 mostra a forma tı́pica desta função de confiabilidade. A função da taxa de
falha associada a distribuição exponencial é constante igual a
1
α
0. Como foi dito anteriormente,
somente a distribuição exponencial tem uma taxa de falha constante. Isto significa que, tanto
uma unidade velha quanto uma unidade nova que ainda não falharam têm a mesma probabilidade de falhar em um intervalo futuro. Esta propriedade é chamada de falta de memória
da distribuição exponencial. Outras caracterı́sticas de durabilidade de interesse são a média,
a variância e os percentis. O percentil 100p% corresponde ao tempo médio em que 100p% dos
produtos falharam. A média da distribuição exponencial (MTTF ou MTBF) é α e a variância
é α2 . Os percentis são importantes quando queremos obter informações, por exemplo, a respeito de falhas prematuras. Eles podem ser obtidos a partir da função de confiabilidade. Estes
cálculos são ilustrados a seguir.
7. Probabilidades
48
Exemplo 7.15. O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição
exponencial com MTBF (α) é igual a 28700 horas. A probabilidade de um destes ventiladores
não falhar nas primeiras 8000 horas de funcionamento é então:
R(8000) = exp(−8000/28700) = 0.76
Se 8000 horas é o tempo de garantia dado pelo fabricante, significa que 24% é a fração
esperada de ventiladores que falharam na garantia. O percentil 100p%, tp, é dado para a
distribuição exponencial por
1 − p = R(tp) = exp(−tp /α)
Aplicando o logaritmo de ambos os lados, obtemos
tp = α log(1 − p). Em estudos de durabilidade queremos muitas vezes conhecer baixos
percentis de 1% e também a mediana que é o percentil de 50%. A média da distribuição
exponencial corresponde ao t0,63 , ou seja, o percentil 63%.
Por exemplo, para ventiladores de motores a diesel no exemplo acima o percentil 1% é
T0,01 = −28700log(1 − 0.01) = 288 horas.
Isto significa, que é esperado que cerca de 1% dos ventiladores falhem nas primeiras 288
horas de uso. De forma similar a mediana é calculada obtendo 19900 horas.
7.8.2
Distribuição de Weibull
A Distribuição de Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos
relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para
descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas
deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade
básica: a sua função de taxa de falha é monótona. Isto é, ou ela é crescente ou decrescente ou
constante. Ela descreve adequadamente vida de mancais, componentes eletrônicos, cerâmicas,
capacitores e dielétricos.
A função de densidade da distribuição de Weibull é dada por
δ δ−1
t exp[−(t/α)δ ], t ≥ 0
δ
α
Exemplo 7.16. Um exemplo de uso da distribuição de Weibull é o tempo de vida de um
f (t) =
capacitor com α = 100000 horas e δ = 0, 5. A função de confiabilidade é dada por
Z
R(t) = 1 −
0
t
α t
f (s)ds = exp −
,
α
t≥0
7. Probabilidades
49
Desta forma a confiabilidade para um ano é R(8760) = exp[−(8760/100000)0,5 ] = 0,74 ou
74%. Isto significa que a probabilidade do capacitor operar por um tempo superior a um ano é
de 0,74.
As expressões para a média e a variância da Weibull inclui o uso da função gama, isto é
MTTF(ou MTBF) = E[T] = αΓ[1 + (1/δ)] V ar(T ) = α2 {Γ[1 + (2/δ)] − Γ[1 + (1 + δ)]2 )]}
onde Γ(r) = (r − 1)! para r inteiro. Os valores para a função gama podem ser obtidos via
Minitab. E os percentis são dados por tp = α[− ln(1 − p)]1/δ
No exemplo acima, o tempo médio de vida do capacitor é 100000Γ(1 + 2) = 200000 horas.
O percentil 10% é t0,10 = 100000(− ln(0, 9))2 = 1110 horas. A distribuição de Weibull tem uma
função de taxa de falha dada por
h(t) =
δ
(t/α)δ−1 ,
α
t≥0
Figura 7.3: Gráfico da função taxa de falha da distribuição Weibull
A Figura 7.3 mostra algumas formas desta função para a distribuição de Weibull. Observe
que h(t) é estritamente crescente para δ > 1 e estritamente decrescente para δ < 1. A distribuição exponencial é um caso particular da distribuição de Weibull quando δ = 1 e então,
7. Probabilidades
com taxa de falha constante.
50
7. Probabilidades
7.8.3
51
Distribuição de Gumbel
É importante neste ponto, introduzir uma distribuição que é bastante relacionada a Weibull.
Ela é chamada de distribuição do valor extremo ou de Gumbel e surge quando se toma o
logaritmo de uma variável com a distribuição de Weibull. Isto é, se a variável T tem uma
distribuição de Weibull, então a variável Y = log(T ) tem uma distribuição Valor Extremo com
a seguinte função densidade
f (y) =
1
y−µ
y−µ
exp[
− exp(
)]
σ
σ
σ
onde σ = 1/δ e µ = log(α).
A função de confiabilidade da variável Y é dada por
R(y) = exp[−exp[
y−µ
]]
σ
A média e a variância são respectivamente µ − vσ e (π 2 /6)2 , onde v = 0, 5772 . . . é a
conhecida constante de Euler. O percentil 100p% é dado por
tp = µ + σ ln[− ln(1 − p)]
Na análise de dados de durabilidade é muitas vezes conveniente trabalhar com o logaritmo
dos valores observados. Desta forma, se os dados tiverem uma distribuição de Weibull, a
distribuição Valor Extremo aparecerá naturalmente na modelagem.
7.8.4
Distribuição Log-normal
Assim como a distribuição de Weibull, a distribuição Log-normal é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui, fadiga de metal, semicondutores, diodos
e isolação elétrica. A função de densidade para uma distribuição log-normal é dada por:
f (t; µ, σ) =
1
√
tσ 2π
e
−[log(t)−µ]2
2σ 2
,
t > 0
(7.17)
onde, µ < é mádia do logaritmo do tempo de falha e σ > 0 é o desvio padrão. Existe
uma relação entre as distribuições Log-normal e Normal similar à relação existente entre as
distribuições de Weibull e do valor extremo. Como o nome sugere, o logaritmo de uma variável
com distribuição Log-normal com parâmetros µ e σ tem uma distribuição Normal com média µ e
7. Probabilidades
52
desvio-padrão σ. Esta relação significa que dados provenientes de uma distribuição Log-normal
podem ser analisados segundo uma distribuição Normal se trabalharmos com o logaritmo dos
dados ao invés dos valores originais.
Figura 7.4: Gráfico da função densidade da distribuição Log-Normal
A função de confiabilidade de uma variável Log-normal é dada por
R(t) = Φ{−
[log(t) − µ]
σ
(7.18)
onde, Φ(.) é a função de distribuição acumulada de uma Normal padrão.
Exemplo 7.17. Um exemplo de uso da distribuição Log-normal é o tempo de vida de isolações
da classe H. Na temperatura de uso o tempo de vida tem uma distribuição Log-normal com
µ = 9, 65 horas e σ = 0, 1053 horas. A confiabilidade de isolação nas 20000 primeiras horas de
uso é:
R(20000) = Φ{−
[log(20000) − 9.65]
} = 0.008
0, 1053
Isto significa que a grande maioria (99, 2%) das isolações falhariam nas 20000 primeiras
horas de uso.
Os percentis para a distribuição Log-normal podem ser obtidos a partir da tabela da normal
padrão, usando a seguinte expressão
tp = exp(Zp σ+)µ
7. Probabilidades
53
onde Zp é o 100p% percentil da normal padrão. A média a variância da distribuição lognormal são dadas respectivamente por e exp(µ + σ 2 /2) e exp(2µ + σ 2 )(exp(σ 2 ) − 1).
54
Capı́tulo 8
A Distribuição Normal
A variação natural de muitos processos industriais é realmente aleatória. Embora as distribuições de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variáveis observadas possuem uma distribuição de freqüências que é, aproximadamente, uma distribuição
de probabilidade Normal.
A distribuição é normal quando tem a forma de “sino”:
Figura 8.1: Distribuição Normal
Veremos na Seção seguinte como testar se uma distribuição é normal ou não. Se concluirmos
que há normalidade, é possı́vel calcular probabilidade de intervalos de medida ocorrerem, calculando a área sob a curva naquele intervalo.
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos (também
chamados de parâmetros), a média µ e o desvio padrão σ.
O gráfico a seguir mostra algumas áreas importantes:
Quando µ e σ são desconhecidos, como geralmente acontece, são substituı́dos por X̄ e S,
respectivamente, a partir da amostra.
Nota: Áreas sob a curva normal são probabilidades que na prática são dadas em percent-
8. A Distribuição Normal
55
Figura 8.2: Áreas sob a Curva Normal
agens.
Para cada valor de µ e/ou σ, temos uma distribuição.
Mas para se calcular áreas especı́ficas, se faz uso de uma distribuição particular: a ”distribuição normal padronizada”, também chamada de standartizada ou reduzida. Esta distribuição tem média µ = 0 e desvio padrão σ = 1, e está tabelado.
Veja o gráfico da curva normal padronizada na Figura 8.3.
Figura 8.3: Distribuição Normal Padronizada
Nota: A variável que tem distribuição normal padronizada é denotada por Z.
Exemplo 8.1. A área sob a curva normal para Z maior do que 4,00 é 0,00003. Ou seja, a
8. A Distribuição Normal
56
probabilidade de Z ser maior do que 4,00 é 0,003%. Veja o gráfico na Figura 8.4
Figura 8.4: Área sob a curva normal
Exemplo 8.2. A área sob a curva para Z maior do que 1,00 é 0,1587. Ou seja, a probabilidade
de Z ser maior do que 1 é 15,87%. Veja o gráfico na Figura 8.5
Figura 8.5: Área sob a curva normal
8. A Distribuição Normal
57
Exemplo 8.3. A área sob a curva para Z maior do que 1,19 é 0,1170, ou seja, a probabilidade
de Z ser maior do que 1,19 é 11,70%. Veja o gráfico na Figura 8.6
Figura 8.6: Área sob a curva normal
Exemplo 8.4. A área sob a curva para Z menor do que 2,00 não é fornecida diretamente pela
tabela. Então devemos encontrar a área para Z maior do que 2,00. Em seguida fazemos 1
menos a área encontrada e temos a área desejada.
A área sob a curva para Z maior do que 2,00 é 0,0228. A área desejada é 1 − 0, 0228 =
0, 9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor do que 2,00 é 97,72%. Veja o gráfico na
Figura 8.7
Quando se tem uma variável X com distribuição normal com média µ diferente de 0 (zero)
e/ou desvio padrão σ diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z, efetuando o seguinte
cálculo:
Z =
X − µ
σ
Exemplo 8.5. Consideremos os diâmetros do Exemplo 2.2 como tendo distribuição normal
com média µ = 4, 888 e desvio padrão σ = 0, 31949. Queremos calcular a probabilidade de um
eixo apresentar diâmetro inferior a 5,0 mm.
8. A Distribuição Normal
58
Figura 8.7: Área sob a curva normal
Z =
5, 0 − 4, 888
= 0, 35
0, 31949
Usando a tabela da normal padronizada, temos que a área sob a curva e abaixo de 0,35 é
0,6368. Ou seja, a probabilidade de um eixo apresentar diâmetro inferior a 5,0 mm é 63,68%.
Vejam os gráficos nas Figuras 8.8 e 8.9.
Figura 8.8: Área sob a curva normal
Exemplo 8.6. Suponha que a espessura das arruelas no exemplo 4 tenha distribuição normal
com média 11,15 e desvio padrão 2,238. Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura
entre 8,70 e 14,70?
Temos que encontrar dois pontos da distribuição normal padronizada. O primeiro ponto é:
8. A Distribuição Normal
59
Figura 8.9: Área sob a curva normal
Z1 =
8, 70 − 11, 15
= −1, 09
2, 238
A área para valores maiores do que -1,09 é 0,8621 ou 86,21%.
O segundo ponto é:
Z1 =
14, 70 − 11, 15
= 1, 58
2, 238
A área para valores maiores do que 1,58 é 0,0571 ou 5,71%.
O que procuramos é a área entre Z1 e Z2, como mostram os gráficos nas Figuras 8.10 e 8.11.
Figura 8.10: Área sob a curva normal
Portanto, fazemos:
0, 8621 − 0, 0571 = 0, 8050
Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8,70 e 14,70 (limites de tolerância da
especificação) é somente de 80,50%. Portanto, cerca de 19,50% das arruelas não atendem aos
8. A Distribuição Normal
60
Figura 8.11: Área sob a curva normal
limites de especificações. Anteriormente, havı́amos calculado esta porcentagem diretamente do
histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferença entre os dois cálculos fica por conta
da suposição de normalidade que fizemos.
61
Capı́tulo 9
Teorema do Limite Central
Suponha uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de uma população com média
µ e variância σ 2 (note que o modelo da variável aleatória não é apresentado). Representando
tal amostra por n variáveis aleatórias independentes X1 ,. . .,Xn e, denotando sua média por X,
temos, pelo Teorema do Limite Central, que, quando n for grande, a variável
Z=
X −µ
√ ,
σ/ n
tem distribuição aproximadamente N (0, 1).
Assim, o Teorema do Limite Central garante que, para n grande, a distribuição da média
amostral, devidamente padronizada, se comporta segundo um modelo normal com média µ = 0
e variância σ 2 = 1. De imediato, podemos notar a importância do Teorema do Limite Central,
pois em muitas situações práticas, em que o interesse reside na média amostral, o teorema
permite que utilizemos a distribuição normal para estudar X probabilisticamente. Pelo teorema
temos que quanto maior a amostra, melhor é a aproximação. Estudos envolvendo simulações
mostram que em muitos casos valores em torno de 30 fornecem boas aproximações para as
aplicações práticas. Em casos que a verdadeira distribuição é simétrica, excelentes aproximações
são obtidas, mesmo com valores de n inferiores a 30.
Vamos justificar o intuito matemático de modo mais instrutivo, ou seja, utilizar um exemplo
para demonstrar tal resultado.
Considere os dados da tabela 9.1, com o histograma apresentado na figura 9.1.
Notemos que o gráfico mostra que o conjunto de dados segue uma distribuição não simétrica.
Vamos, agora, agrupar os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirar a média de cada
grupo. Podemos observá-los conforme a figura 9.2.
9. Teorema do Limite Central
0,18039
0,04858
2,04899
0,29371
1,82698
0,70571
0,10034
0,18068
1,67637
0,75177
1,86995
1,20456
1,84546
0,20692
1,07056
0,33364
0,835
0,97558
0,49084
1,88966
1,21121
0,3745
1,19616
0,30181
3,21402
0,0903
2,61544
0,49725
0,35147
0,97265
0,77907
0,25324
0,57609
0,06105
0,05189
0,00578
0,07804
0,9184
2,32028
1,09242
0,03391
0,3829
0,14673
0,11694
1,32523
1,00032
1,04208
1,56307
0,10242
1,0241
0,70493
0,42526
2,54082
1,63265
0,55206
1,31787
1,88888
2,01428
2,67363
0,34815
0,29042
0,13475
0,05683
0,04533
0,06947
0,00047
0,33264
0,04937
0,24781
0,483
1,30431
1,44356
0,11591
0,33554
0,66678
0,85142
1,0702
0,15098
0,18113
0,77392
3,97567
0,24987
1,75904
0,02362
0,21363
0,05887
2,49013
0,96108
0,1115
0,9136
1,5868
0,38425
3,7862
2,32141
2,31799
0,08027
1,21407
0,14656
0,15099
1,0589
4,0006
0,43687
0,2983
0,68007
1,04687
0,93788
2,82354
1,27616
0,60226
5,24055
3,82457
1,95966
0,53456
0,12068
0,436
0,655
1,8392
1,71473
0,49302
0,58964
0,87766
0,3589
1,7155
0,01396
0,17188
0,17602
0,56294
1,42038
0,6846
0,15632
1,43476
0,74214
62
0,04611
2,44309
0,02991
3,75236
3,9539
3,07768
0,86555
0,21896
0,15644
0,10131
0,91629
2,21574
0,12043
0,37931
0,0591
0,63775
1,5316
0,23149
0,1912
1,94563
0,73067
0,52777
0,61516
0,49844
0,31211
4,38611
0,49381
1,10058
0,28477
0,29454
1,54651
0,58053
0,88673
2,07919
1,19279
0,52321
0,283
1,00186
0,91547
0,11135
0,61599
1,49853
0,00041
0,74449
1,24752
0,02755
0,55943
0,09311
0,92961
2,38105
0,42528
0,30273
2,88959
0,5809
0,10678
2,2579
1,80252
1,41659
0,47624
1,11899
0,23771
0,61507
0,40381
1,03375
0,2361
1,0456
0,16426
0,36034
1,19931
0,01252
2,1392
1,0711
0,22064
2,70122
0,2438
1,04934
1,54706
3,01742
1,12134
0,1528
0,13433
0,1736
1,31363
0,70005
0,50795
0,76715
0,20309
0,89247
0,5537
0,78627
0,20996
1,7204
0,33027
0,16611
0,70722
0,38346
0,20112
1,30842
3,40522
0,13756
0,14896
0,97063
0,07863
0,65945
0,78354
2,54724
0,59041
0,69662
0,71689
1,71929
0,48124
0,15825
0,32622
1,13353
0,5642
4,87441
0,81429
0,59502
0,08922
1,19891
0,68666
1,12084
2,30031
0,56251
1,97416
0,91986
0,19464
0,16977
0,3467
0,21492
0,90432
1,31729
2,25764
1,02117
0,65404
1,51493
2,44657
0,10735
2,32252
0,9296
0,03946
0,6841
0,57949
0,50226
0,39719
1,34607
0,06729
0,07914
1,87911
0,14648
0,0055
1,50332
0,41577
0,40921
1,18308
0,37888
0,64183
0,15397
1,10484
0,53044
2,07863
0,08971
1,23729
0,38311
0,19672
0,69611
0,22775
1,2899
0,58831
2,26175
1,8086
0,21121
0,37208
1,68575
0,40779
0,06082
0,752
0,73928
0,1881
0,73302
1,69506
1,19198
1,14152
0,99069
1,44135
4,83329
3,13698
5,6274
0,27255
0,7217
0,20741
0,3501
1,10223
0,21453
0,29033
0,02209
0,01359
0,84027
0,00666
0,19664
0,56337
0,40478
0,04064
3,58991
0,99732
0,96049
1,68336
0,655
4,50549
0,07319
0,75933
0,63464
3,68017
3,81342
4,01736
1,63649
0,05411
0,25575
0,83598
0,15909
0,38246
0,13101
0,01722
1,23387
0,6366
2,63819
2,31535
0,71624
1,92794
0,2938
0,38748
1,43685
0,67209
0,28809
0,12692
0,90853
0,28985
0,73894
0,97886
1,97248
2,59891
1,31121
0,7532
0,98665
0,01368
0,36334
1,18567
0,98998
0,42354
0,08015
0,52356
3,31921
0,78276
1,26049
0,25451
0,2567
0,83222
0,64013
1,73767
0,06885
2,05792
1,81139
1,03444
1,29327
Tabela 9.1: Dados Exponenciais
Figura 9.1: Histograma-Dados Exponenciais
Percebemos que a média dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas
caracterı́sticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a média.
O resultado está na figura 9.3.
9. Teorema do Limite Central
63
Figura 9.2: Média de Grupos de 5
Como podemos perceber, este gráfico já possui uma distribuição similar a da distribuição
normal.
Figura 9.3: Médias dos 5 Grupos
64
Capı́tulo 10
Teste para Normalidade
10.1
Papel de Probabilidade
O papel de probabilidade é uma técnica gráfica utilizada para verificar a adequação de um
determinado modelo estatı́stico aos dados. A técnica que iremos descrever é simples de utilizar
e pode ser aplicada a inúmeros tipos de modelos estatı́sticos. Aqui, vamos considerar o modelo
Normal com média µ e variância σ, cuja densidade é dada por
(x − µ)2
f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
e função distribuição de probabilidade acumulada F, dada por
Z
x
F (x) = P (X ≤ x) =
Z
x
f (s)ds =
−∞
−∞
(s − µ)2
√
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
ds
É comum trabalharmos, ao invés da distribuição Normal com média µ e variância σ, com a
distribuição Normal padronizada, N (0, 1), cuja função densidade é dada por
2
1
z
f (z) = √ exp −
,
2
2π
obtida mediante a transformação
Z=
X −µ
.
σ
Sua função distribuição acumulada é denotada por Φ. A relação entre a função distribuição
acumulada F , de uma distribuição Normal com média µ e variância σ e a função distribuição
10. Teste para Normalidade
65
acumulada Φ de uma distribuição Normal padronizada é dada por:
F (x) = Φ
x−µ
σ
= Φ(z)
(10.1)
A distribuição Normal Padrão é tabelada e por isso fica fácil calcular probabilidades. Na
relação dada em 10.1, vamos aplicar a função Φ−1 em ambos os lados, ou seja,
Φ
−1
x−µ
Φ
(F (x)) = Φ
σ
x−µ
=
σ
−1
Daı́, obtemos que
x = σ Φ−1 (F (x)) + µ
(10.2)
onde Φ−1 (F (x)) é o quantil da distribuição normal padrão, calculado para o valor de F (x).
Observe que a expressão 10.2 tem o formato de uma expressão linear. Com isso, ao fazermos
o gráfico entre x e Φ−1 (F (x)) devemos esperar um comportamento linear dos pontos caso a
distribuição normal for adequada.
Para construir o papel de probabilidade Normal devemos seguir os passos:
1. Considere uma amostra aleatória X1 , ..., Xn . Primeiramente, vamos ordenar esses valores
de forma crescente, ou seja, X(1) ≤ ... ≤ X(n) . Aqui, consideramos que X(1) é a primeira
estatı́stica de ordem, ou seja, o menor valor da amostra.
2. Calcule n pontos di = (i − 0, 3)/(n + 0, 4), i = 1, ..., n. Existem outras opções para o
cálculo dos di ’s.
3. Calcule os quantis da distribuição normal padrão para cada um dos valores de di , isto é,
calcule os valores de Φ−1 (di ), i = 1, ..., n.
4. Faça um gráfico com os pontos (x(i) , Φ−1 (di )), i = 1, ..., n.
Para avaliarmos a normalidade dos dados, devemos construir o gráfico entre as variáveis
resı́duos ordenados e Φ−1 (di ).
Exemplo 10.1. Em uma análise de capacidade do processo, o engenheiro da qualidade retirou
uma amostra de 25 peças e as mediu. Para calcularmos os ı́ndices de capacidade do processo,
10. Teste para Normalidade
66
precisamos avaliar a normalidade dos dados. Aqui, vamos realizar uma análise gráfica através
do papel de probabilidade. O cálculo dos di ’s e os quantis normais são encontrados na tabela
da normal padronizada) para cada di . Na tabela 10.1, temos os dados de medição das peças
ordenados e os respectivos di ’s. A seguir, exemplificamos o cálculo dos di ’s para alguns pontos:
i − 0, 3
1 − 0, 3
0, 7
=
=
= 0, 027559
n + 0, 4
25 + 0, 4
25, 4
2 − 0, 3
=
= 0, 066969
25, 4
..
=
.
d1 =
d2
..
.
d25 = 0, 972441.
assim, obtemos
Φ−1 (d1 ) = F (0, 027559) = −1, 917945
Φ−1 (d2 ) = F (0, 066969) = −1, 498752
..
..
.
=
.
Φ−1 (d25 ) = F (0, 972441) = 1, 917945.
Fazendo o gráfico dos pontos (x(i) , Φ−1 (di )), i = 1, ..., 25, obtemos a figura 10.1.
10. Teste para Normalidade
67
Figura 10.1: Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1.
10.2
Teste de Kolmogorov - Smirnov
Grande parte dos problemas que encontramos na prática, são solucionados, primeiramente,
considerando algumas suposições iniciais, tais como, assumir uma função de distribuição para
os dados amostrados. Nesse sentido, surge a necessidade de certificarmos se essas suposições
podem, realmente, ser assumidas. Em alguns casos, assumir a normalidade dos dados é o
primeiro passo que tomamos para simplificar sua análise. Para dar suporte a esta suposição,
consideramos, dentre outros, o teste de Kolmogorov - Smirnov.
O teste de Kolmogorov - Smirnov pode ser utilizado para avaliar as hipóteses:

 H :
Os dados seguem uma distribuição normal
0
 H : Os dados não seguem uma distribuição normal
1
Este teste observa a máxima diferença absoluta entre a função de distribuição acumulada
assumida para os dados, no caso a Normal, e a função de distribuição empı́rica dos dados.
Como critério, comparamos esta diferença com um valor crı́tico (tabela 10.2), para um dado
nı́vel de significância.
10. Teste para Normalidade
68
Medição
-3,8
-3,6
-3,4
-3,4
-2,8
-2,8
-2,6
-2,6
-0,8
-0,8
0,2
0,2
0,4
0,4
0,4
1,2
1,4
1,4
1,4
1,6
2,6
2,6
3,4
4,2
5,2
posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
di
0,027559
0,066929
0,106299
0,145669
0,185039
0,224409
0,26378
0,30315
0,34252
0,38189
0,42126
0,46063
0,5
0,53937
0,57874
0,61811
0,65748
0,69685
0,73622
0,775591
0,814961
0,854331
0,893701
0,933071
0,972441
Φ−1 (di )
-1,91794
-1,49906
-1,24645
-1,05519
-0,89633
-0,75739
-0,63174
-0,51536
-0,4056
-0,30052
-0,19867
-0,09885
0
0,09885
0,19867
0,30052
0,4056
0,51536
0,63174
0,75739
0,89633
1,05519
1,24645
1,49906
1,91794
Tabela 10.1: Construção do papel de probabilidade.
A estatı́stica utilizada para o teste é:
Dn = sup | F (x) − Fn (x) |
x
Esta função corresponde a distância máxima vertical entre os gráficos de F (x) e Fn (x) sobre a
amplitude dos possı́veis valores de x. Em Dn temos que
• F (x) representa a função de distribuição acumulada assumida para os dados;
• Fn (x) representa a função de distribuição acumulada empı́rica dos dados.
Sejam X(1) , X(2) , · · · , X(n) observações aleatórias ordenadas de forma crescente da variável
aleatória contı́nua X. A função de distribuição acumulada assumida para os dados é definida
por F (x(i) ) = P (X ≤ x(i) ) e a função de distribuição acumulada empı́rica é definida por uma
função escada, dada pela fórmula:
10. Teste para Normalidade
69
n
1X
Fn (x) =
I{(−∞,
n i=1
x]}
(x(i) )
(10.3)
onde I{A} é a função indicadora. A função indicadora é definida da seguinte forma:

 1 se x ∈ A
I{A} (x) =
 0
c.c.
Observe que a função da distribuição empı́rica Fn (x) corresponde à proporção de valores
menores ou iguais a x.
A expressão (10.3) pode também ser escrita da seguinte forma:
Fn (x) =



0


k
n



 1
se x < x(1)
se x(k) ≤ x < x(k+1)
se x > x(n)
Consideremos duas outras estatı́sticas:
D+ = sup | F (x(i) ) − Fn (x(i) ) |
x(i)
D− = sup | F (x(i) ) − Fn (x(i−1) ) |
x(i)
Essas estatı́sticas medem as distâncias (vertical) entre os gráficos das duas funções, teórica e
empı́rica, nos pontos x(i−1) e x(i) . Com isso, podemos utilizar como estatı́stica de teste:
Dn = max(D+ ; D− )
Se Dn for maior que o valor crı́tico encontrado na tabela 10.2, rejeitamos a hipótese de
normalidade dos dados com (1−α)100% de confiança. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese
de normalidade.
10. Teste para Normalidade
70
Valores Crı́ticos para a estatı́stica do teste de Komolgorov - Smirnov (Dn ).
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Valores maiores
Nı́vel
0,2
0,45
0,32
0,27
0,23
0,21
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
1,07
√
n
de Significância (α)
0,1 0,05 0,01
0,51 0,56 0,67
0,37 0,41 0,49
0,30 0,34 0,40
0,26 0,29 0,36
0,24 0,27 0,32
0,22 0,24 0,29
0,20 0,23 0,27
0,19 0,21 0,25
0,18 0,20 0,24
0,17 0,19 0,23
1,22
√
n
1,36
√
n
1,63
√
n
Tabela 10.2: Tabela de Valores para Dn
Estas estatı́sticas podem ser resumidas na Tabela 11.3.
x (ordenado)
Fn (x)
x(1)
1
n
x(2)
2
n
.
.
.
.
.
.
x(n−1)
n−1
n
x(n)
1
F (x) = P
|F (x(i) ) − Fn (x(i) )|
|F (x(i) ) − Fn (x(i−1) )|
z(1)
|F (x(1) ) − Fn (x(1) )|
|F (x(1) ) − 0)|
|F (x(2) ) − Fn (x(2) )|
|F (x(2) ) − Fn (x(1) )|
.
.
.
.
.
.
|F (x(n−1) ) − Fn (x(n−1) )|
|F (x(n−1) ) − Fn (x(n−2) )|
|F (x(n) ) − Fn (x(n) )|
|F (x(n) ) − Fn (x(n−1) )|
F (x) = P
F (x) = P
x(i) − x
s
x(1) − x
≤
s
x(2) − x
≤
s
z(i) ≤
z(2)
.
.
.
x(n−1) − x
z(n−1) ≤
s
x(n) − x
F (x) = P z(n) ≤
s
F (x) = P
Tabela 10.3: Resumo do Cálculo de Dn
x(i) − x
é encontrado na tabela da distribuição normal
Observação: o valor de P Z(i) ≤
s
padrão.
Exemplo 10.2. Uma amostra de dez elementos forneceu os seguintes valores:
27,8
29,2
30,6
27,0
33,5
29,5
27,3
25,4
28,0
30,2
Testar a hipótese de que ela seja proveniente de uma populção normal de média 30 e desvio
padrão 2.
Primeiramente devemos ordenadar os dados em forma crescente. Após ordenarmos os dados,
obtemos o valor de Fn (x(i) ) fazendo a razão entre a posição i e o valor total de dados, n.
Exemplo 10.3. Avaliar a normalidade dos dados referente a medição de 10 peças.
10. Teste para Normalidade
1,90642
2,10288
1,52229
71
2,61826
1,42738
2,22488
1,69742
3,15435
1,98492
1,99568
Após ordenarmos os dados, obtemos o valor de Fn (x(i) ) fazendo a razão entre a posição i
e o valor total de dados, n. O valor de F (x(i) ) é encontrado na tabela da distribuição normal
padrão, após transformarmos os dados pela relação
Z(i) =
x(i) − x
s
onde x é a média aritmética dos dados e s é o desvio padrão dos dados.
Dados
1,42738
1,52229
1,69742
1,90642
1,98492
1,99568
2,10288
2,22488
2,61826
3,15435
Fn (x) (empı́rica)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Máximo
F (x) (teórica)
0,109008
0,147346
0,239320
0,380772
0,439859
0,448101
0,530802
0,623132
0,859056
0,982786
| F (x(i) ) − Fn (x(i) ) |
0,009008
0,052654
0,060680
0,019228
0,060141
0,151899
0,169198
0,176868
0,040944
0,017214
0,176868
| F (x(i) ) − Fn (x(i−1) ) |
0,109008
0,047346
0,039320
0,080772
0,039859
0,051899
0,069198
0,076868
0,059056
0,082786
0,109008
Tabela 10.4: Teste de Kolmogorov - Smirnov
Com isso,
Dn = max(0, 176868; 0, 109008) = 0, 176868 .
Considerando α = 0, 05 e n = 10, encontramos pela tabela 10.2 o valor crı́tico 0,41.
Como Dn = 0, 176868 < 0, 41 não temos evidências para rejeitar a hipótese de normalidade
dos dados.Figura.
Exemplo 10.4. Para os dados referente a análise de capacidade do processo, apresentado no
Exemplo 10.1, vamos testar a normalidade através do teste de Kolmogorov-Smirnov.
Após ordenarmos os dados (vide tabela 10.1), obtemos o valor de Fn (x(i) ) tomando a razão
entre a posição i e o valor total de dados, n = 25. O valor de F (x(i) ) é encontrado na tabela
da distribuição normal padrão, após transformarmos os dados pela relação
Z(i) =
x(i) − x
s
onde x é a média aritmética dos dados, dado por
x=
−3, 8 + (−3, 6) + (−3, 4) + · · · + 5, 2
6, 661338e − 16
=
= 2, 664535e − 17 ≈ 0.
25
25
10. Teste para Normalidade
72
e s é o desvio padrão dos dados, dado por
r
s=
(−3, 8 − 0)2 + (−3, 6 − 0)2 + · · · + (5, 2 − 0)2
= 2, 591
24
Assim, obtemos a tabela 10.5.
Dados Padronizados (Z(i) )
Fn (x) (empı́rica)
-1,466246
0,04
-1,389075
0,08
-1,311904
0,12
-1,311904
0,16
-1,080391
0,20
-1,080391
0,24
-1,003221
0,28
-1,003221
0,32
-0,308683
0,36
-0,308683
0,40
0,077171
0,44
0,077171
0,48
0,154342
0,52
0,154342
0,56
0,154342
0,60
0,463025
0,64
0,540196
0,68
0,540196
0,72
0,540196
0,76
0,617367
0,80
1,003221
0,84
1,003221
0,88
1,311904
0,92
1,620587
0,96
2,006441
1,00
Máximo
F (x) (teórica)
0,071291
0,082405
0,094776
0,094776
0,139984
0,139984
0,157877
0,157877
0,378781
0,378781
0,530756
0,530756
0,561330
0,561330
0,561330
0,678327
0,705469
0,705469
0,705469
0,731504
0,842123
0,842123
0,905224
0,947447
0,977595
| F (x(i) ) − Fn (x(i) ) |
0,031291
0,002405
0,025224
0,065224
0,060016
0,100016
0,122123
0,162123
0,018781
0,021219
0,090756
0,050756
0,041330
0,001330
0,038670
0,038327
0,025469
0,014531
0,054531
0,068496
0,002123
0,037877
0,014776
0,012553
0,022405
0,162123
| F (x(i) ) − Fn (x(i−1) ) |
0,071291
0,042405
0,014776
-0,025224
-0,020016
-0,060016
-0,082123
-0,122123
0,058781
0,018781
0,130756
0,090756
0,081330
0,041330
0,001330
0,078327
0,065469
0,025469
-0,014531
-0,028496
0,042123
0,002123
0,025224
0,027447
0,017595
0,130756
Tabela 10.5: Teste de Kolmogorov - Smirnov
Com isso, Dn = max(0, 162123; 0, 130756) = 0, 162123.
Considerando α = 0, 05 e n = 25, encontramos pela tabela 10.2 do apêndice o valor crı́tico
0,27. Como Dn = 0, 162123 < 0, 27 não temos evidências para rejeitar a hipótese de normalidade dos dados.
10.3
Teste Anderson-Darling
Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma amostra aleatória simples retirada de uma dada população.
Suponha que F (x) seja uma provável candidata para função de distribuição acumulada dos
dados. Estamos interessados agora em verificar a adequabilidade da distribuição, ou seja, testar as seguintes hipóteses:
10. Teste para Normalidade
73

 H : a amostra tem distribuição F (x)
0
 H : a amostra não tem distribuição F (x)
1
(10.4)
Anderson e Darling (1952, 1954) propuseram a seguinte estatı́stica para testar (10.4)
2
Z
∞
A =n
−∞
[Fn (x) − F (x)]
dF (x)
F (x)(1 − F (x))
(10.5)
onde Fn (x) é a função de distribuição acumulada empı́rica definida como



 0, se x < x(1)
n
1X  k
Fn (x) =
=
, se x(k) ≤ x < x(k+1)
n
n i=1 


 1, se x > x
(n)
(10.6)
e x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n) são as estatı́sticas de ordem da amostra aleatória.
A estatı́stica A2 pode ser colocada numa forma equivalente:
n
1 X
A = −n −
(2i − 1) ln( F (x(i) ) ) + ( 2(n − i) + 1 ) ln(1 − F (x(i) ) )
n i=1
2
(10.7)
Consideremos que a transformação F (x(i) ) leva x(i) em U(i) de uma amostra de tamanho n
com distribuição uniforme em (0, 1). Logo,
n
1 X
A = −n −
(2i − 1) ln( U(i) ) + ( 2(n − i) + 1 ) ln(1 − U(i) )
n i=1
2
(10.8)
Para calcular o valor da estatı́stica A2 procedemos da seguinte forma:
1- Ordenamos os valores da amostra: x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n) ;
2- Quando necessário estime os parâmetros da distribuição de interesse;
3- Calcule Ui = F (x(i) ) e calcule o valor da estatı́stica de Anderson Darling ( 10.8);
n
1X
A = −n −
[(2i − 1) (ln( Ui ) + ln(1 − Un+1−i ))]
n i=1
2
(observe que esta é uma forma equivalente à (10.8) );
4- Para cada uma das distribuições calcule, se for o caso, o valor da estatı́stica modificado
de acordo com as tabelas dadas para cada uma delas.
10. Teste para Normalidade
74
O Teste Anderson-Darling pode ser aplicado às distribuições de probabilidade como: Distribuição Normal, Exponencial, Weibull, Lognormal, Valor Extremo e Logı́stica. Para estas
distribuições o parâmetro θ = (α, β) pode ser univariado ou bivariado, isto é, ele tem no
máximo dois componentes, conforme os seguintes casos:
Caso 1 : O parâmetro θ = (α, β) é totalmente conhecido;
Caso 2 : α é conhecido;
Caso 3 : β é conhecido;
Caso 4 : Nenhum dos componentes de θ = (α, β) é conhecido.
Vamos agora ver um exemplo para o caso da Distribuição Normal.
Distribuição Normal
Consideremos X uma variável aleatória com distribuição Normal com função densidade de
probabilidade dada por
(x − µ)2
√
f (x) =
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
(−∞ < x < ∞).
Caso 1 : O parâmetro θ = (µ, σ) é totalmente conhecido;
Caso 2 : µ é conhecido e σ é estimado por s2 ;
Caso 3 : σ é conhecido e µ é estimado por x;
Caso 4 : Nenhum dos componentes de θ = (µ, σ) é conhecido e são estimados por (x, s2 ).
A seguinte tabela fornece alguns valores de quantis e a estatı́stica de Anderson-Darling
modificada:
Pontos percentis para cada
Caso Modificação
15.0 10.0 5.0
2.5
0
Nenhuma
1.610 1.933 2.492 3.070
1
0.784 0.897 1.088 1.281
2
1.443 1.761 2.315 2.890
3
A2 (1 + (4/n) − (25/n2 )) 0.560 0.632 0.751 0.870
Tabela 10.6: Tabela de pontos percentis
α(%)
1.0
3.857
1.541
3.682
1.029
10. Teste para Normalidade
75
Exemplo 10.5. Considere as seguintes medidas de peso de peças (em pounds) 148, 154, 158,
160, 161, 162, 166, 170, 182, 195, 236.
Vamos testar:

 H : Os dados seguem uma distribuição Normal N (µ, σ)
0
 H : Os dados não seguem uma distribuição Normal
1
A média dos dados é x = 172 e o desvio padrão é s = 24, 9520.
dados
154
148
170
161
160
166
162
158
182
195
236
dados ordenados
148
154
158
160
161
162
166
170
182
195
236
F (xi )
ln(F (xi )) ln(1 − F (xi ))
0,168063 -1,78341
-0,184
0,235336 -1,44674
-0,26832
0,287372 1,24698
-0,3388
0,315285 -1,15428
0,37875
0,329662 -1,10969
-0,39997
0,344295 -1,06626
-0,42204
0,404986 -0,9039
-0,51917
0,468057 -0,75916
-0,63122
0,655705 -0,42204
-1,06626
0,821676 -0,19641
-1,72415
0,99484 -0,00517
-5,26684
Tabela 10.7: Calculando o valor de A2
Utilizando a fórmula ( 10.8), temos:
D = (2 ∗ 1 − 1) ∗ (−1, 78341) + (2 ∗ (11 − 1) + 1) ∗ (−0, 184)
+ (2 ∗ 2 − 1) ∗ (−1, 44674) + (2 ∗ (11 − 2) + 1) ∗ (−0, 26832)
+ (2 ∗ 3 − 1) ∗ (−1, 24698) + (2 ∗ (11 − 3) + 1) ∗ (−0, 3388)
+ (2 ∗ 4 − 1) ∗ (−1, 15428) + (2 ∗ (11 − 4) + 1) ∗ (−0, 37875)
+ (2 ∗ 5 − 1) ∗ (−1, 10969) + (2 ∗ (11 − 5) + 1) ∗ (−0, 39997)
+ (2 ∗ 6 − 1) ∗ (−1, 06626) + (2 ∗ (11 − 6) + 1) ∗ (−0, 42204)
+ (2 ∗ 7 − 1) ∗ (−0, 9039) + (2 ∗ (11 − 7) + 1) ∗ (−0, 51917)
+ (2 ∗ 8 − 1) ∗ (−0, 75916) + (2 ∗ (11 − 8) + 1) ∗ (−0, 63122)
+ (2 ∗ 9 − 1) ∗ (−0, 42204) + (2 ∗ (11 − 9) + 1) ∗ (−1, 06626)
+ (2 ∗ 10 − 1) ∗ (−0, 19641) + (2 ∗ (11 − 10) + 1) ∗ (−1, 72415)
+ (2 ∗ 11 − 1) ∗ (−0, 00517) + (2 ∗ (11 − 11) + 1) ∗ (−5, 26684)
= −131.4145
10. Teste para Normalidade
76
A2 = −
D
131, 4145
−n=
− 11 = 0, 9467719.
n
11
A estatı́stica de Anderson Darling modificada para esse caso (Caso 4: µ e σ desconhecidos) é
dada por:
A2m = A2 ∗ (1 + (4/n) − (25/n2 ))
= 0, 9467719 ∗ 1, 157025 = 1, 095439.
Para o obter o p-valor aproximado vamos fazer uma interpolação com os dados da Tabela (10.6)
1, 095439 − 1, 088
1, 291 − 1, 088
=
2, 5 − 5, 0
x − 5, 0
Assim, temos
(x − 5, 0) ∗ 0, 193 = −0, 007439 ∗ 2, 5
x=
−0, 0185975
+ 5, 0 = −0, 003589318 + 5, 0 = 4, 996411 ∼
= 4, 9%.
0, 193
Portanto, o p-valor é aproximadamente 4,9%. Portanto, existe forte evidência de que os dados
podem não vir de uma distribuição Normal. Podemos ainda realizar uma análise gráfica, como
mostra a figura 10.2: note que os pontos então distribuı́dos de forma aleatória em torno da
reta.
Figura 10.2: Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling
77
Capı́tulo 11
Indicadores da Qualidade
Este Capı́tulo tem como objetivo apresentar as principais métricas para avaliar produtos
e processos. Como a competição entre as empresas está cada vez mais competitiva, existe
uma forte pressão sobre os setores de desenvolvimento de produtos, produção e serviços de
suporte para se tornarem cada vez mais produtivos e eficientes. O setor de desenvolvimento
de produto tem que criar produtos inovadores em menor tempo e com grau de complexidade
cada vez maior. A produção deve aumentar a qualidade dos produtos enquanto diminui custos
e aumenta o volume de produção. Os setores de serviços devem reduzir o tempo de ciclo de
seus processos e aumentar a satisfação dos clientes. A metodologia 6 SIGMA atua diretamente
sobre estas necessidades, com a seguinte estratégia de rompimento:
Figura 11.1: Gráfico da Estratégia de Rompimento
11. Indicadores da Qualidade
78
O termo SIGMA (σ) é uma letra grega usada para descrever variabilidade. A métrica da
qualidade sigma, que estudaremos neste curso, oferece um indicador da freqüência com que os
defeitos ocorrem. Uma empresa atinge o nı́vel 6 SIGMA quando a taxa de ocorrência de defeitos
alcança 3,4 defeitos por milhão de oportunidades. Para atingir o nı́vel de qualidade 6 SIGMA,
precisamos identificar os processos chaves para os negócios da empresa, e medir estes processos
de tal forma que possamos avaliar se (e quanto) os nossos processos de negócio atingem seus
objetivos e metas.
É extremamente importante escolhermos o melhor conjunto medições para cada situação
e focar sua ênfase na análise estatı́stica e nas ferramentas para melhoria. A estratégia para
medição consiste em atacar os pontos com alto custo devido a má qualidade, pois eles podem
afetar drasticamente os negócios da empresa O custo da má qualidade deve incluir, sucata,
retrabalho e reuniões sem propósito. As empresas podem perder muito dinheiro quando focam
apenas a ponta do ”iceberg”, sendo importante dirigir os esforços para o problema (iceberg)
como um todo.
Este curso vai se concentrar nas técnicas para medir, de forma adequada, processos e produtos, focando no problema (iceberg) como um todo. Como as métricas para medir os processos
e produtos são baseadas na contagem de defeitos, vamos discutir alguns aspectos da teoria de
contagem e probabilidade antes de apresentarmos as métricas.
Questões:
1. Quais processos devemos medir?
2. O que deve fazer parte de nossas métricas?
3. Reflita sobre qualidade e competitividade.
4. O que é processo?
11.1
Rendimento de um Produto
Com os princı́pios da teoria de contagem e probabilidade, vamos apresentar a primeira
métrica para qualidade. Aqui, vamos analisar o rendimento de um produto através do número
de defeitos associado aos seus componentes. Considere um produto que é composto por diversos
componentes. As ocorrências de assistência técnica deste produto foram registradas. Após um
perı́odo de coleta de dados, uma tabela contendo o número de unidades em acompanhamento,
número de defeitos registrados e os componentes defeituosos, é montada conforme abaixo:
11. Indicadores da Qualidade
79
Componentes
1
..
.
Unidades
U
..
.
Defeitos
D
..
.
DPU
D/U
..
.
K
U
Soma de
D
Soma de
D/U
Rendimento
e−DPU
..
.
−DPU
e
Soma de DPU
YT R = Produto Resposta
Média de DPU
− ln(YT R )
Somas
Médias
Unidades
Defeitos
Média da soma Média de
de unidades
defeitos
Tabela 11.1: Resumo dos Dados
DPU : Defeitos por Unidade
Definimos como rendimento de um produto a probabilidade de zero defeito.
• Probabilidade de um componente sem defeitos (dentro das especificações). Utilizando a
distribuição de Poisson, temos que
Prob [ Obter zero defeito ] =Prob [
e−α ×α0
]
0!
= Exp ( - DPU )= rendimento do produto
Como estamos analisando a probabilidade de obtermos produtos defeituosos em uma linha
de produção, o parâmetro da distribuição ,α, será o DPU.
• Regras da Teoria da Probabilidade: Desde que cada componente falha independentemente
de qualquer outro (hipótese), a probabilidade de zero defeito do produto é dada por:
P[Zero defeito no C1 e Zero defeito no C2 e ... e Zero defeito no Ck ] =
P[Zero defeito no C1 ] ×P[Zero defeito no C2 ] × · · · × P[Zero Defeito no Ck ]
Portanto o rendimento do produto será calculado através da multiplicação dos rendimentos das componentes do produto.
Uma métrica bastante utilizada, o PPM, representa o número esperado de peças defeituosas
em um lote de um milhão de peças. Assim, temos que
• PPM do produto = 106 × (Prob falha)
Obs: Podemos calcular o PPM utilizando apenas o rendimento, da seguinte forma:
Seja R = rendimento, portanto RC = 1 − R = probabilidade de defeito. Como o P P M = 106 ×
probabilidade de defeito, temos que P P M = 106 × 1 − R.
11. Indicadores da Qualidade
80
Exercı́cio 11.1. Considere uma máquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cabine da máquina. Dentro da cabine temos diversos componentes que falham ao longo do uso.
Complete a tabela 11.2:
Componentes
Unidade Defeito DPU Rend. Prob. defeito PPM
Tacômetro
57
49
0,86 0,423
0,576
576680
Mangueiras
57
29
0,509 0,601
0,398
398760
Vedação
57
18
Ar Condicionado
57
14
Portas
57
10
Caixa de Controle
57
6
Sistema Elétrico no Painel
57
5
Cabo de Controle
57
3
Instrumento
57
2
Ventilação
57
2
Coluna
57
1
Tabela 11.2: Colheitadeira de Cana
a) Calcular o rendimento do produto cabine;
b) Obter o PPM do produto.
11.2
Intervalo de confiança para o rendimento
Seja Xi uma variável aleatória (v.a.) que representa o número de defeitos da componente i de
uma produção, i = 1, 2, . . . , n. Portanto:
iid
X1 , X2 , . . . , Xn ∼ P oisson(λ)
• Estimador de máxima verossimilhança
Sabemos que a função densidade de uma distribuição Poisson é dada por:
f (x, λ) = P [X = x] =
e−λ × λx
, x = 0, 1, 2, . . .
x!
Logo, a função verossimilhança L(λ; x) será:
n
Y
i=1
e−nλ × λ
Qn
f (xi , λ) =
i=1
Pn
i=1
xi !
xi
11. Indicadores da Qualidade
81
O EMV de λ é o valor λ̂ que maximiza a função verossimilhança L(λ).
Como a função logaritmo é uma função monótona, então o valor λ̂ que maximiza L(λ; x)
também maximiza l(λ; x).
∴ l(λ; x) = −nλ +
n
X
xi log λ − log
i=1
n
Y
xi !
i=1
Neste caso, é possı́vel fazer a maximização derivando em relação a λ e igualando a equação
à zero. Então, temos:
∂
∂ λ̂
Pn
i=1
l(λ̂; x) = 0 ⇔ −n +
xi
λ̂
Pn
= 0 ⇔ λ̂ =
i=1
xi
n
Pn
⇔ λ̂ =
i=1
xi
n
= X̄
∴ λ̂ = X̄ é um ponto crı́tico da função l(λ; x). Vamos verificar se é um ponto de mı́nimo ou
de máximo:
n
X xi
∂2
l(λ;
x)
=
−
<0
∂λ2
λ2
i=1
Então, conclui-se que a derivada segunda de l(λ; x) é negativa e portanto λ̂ = X̄ é um ponto
de máximo.
∴ λ̂ = X̄ é o EMV de λ.
No caso do rendimento, temos que: λ̂ = DP U (defeitos por unidade)=
Pn
i=1
n
Xi
pois
Pn
i=1
Xi
representa a quantidade total de defeitos da amostra X1 , X2 , . . . , Xn e n é o número de unidades
fabricadas pela linha de produção.
• Intervalo de confiança (IC)
Temos que λ̂ = X̄ é o EMV de uma distribuição Poisson. Então:
Pn
i=1
E(λ̂) = E(
n
Pn
V (λ̂) = V (
Xi
i=1
n
Xi
n
1 X
n
) = E(
Xi ) = E(X1 ) = λ
n i=1
n
)=
n
X
1
n
λ
X
)
=
V
(
V
(X
)
=
i
1
n2 i=1
n2
n
11. Indicadores da Qualidade
82
iid
Obs: E(X1 ) = V (X1 ) = λ pois X1 , X2 , . . . , Xn ∼ P oisson(λ).
Aplicando o teorema do limite central, temos que
X̄ − E(X̄)
X̄ − λ
∼ N (0, 1)
Q= p
= q
λ
V (X̄)
n
para n grande. Observe que Q não depende de λ.
∴ Q é uma quantidade pivotal.
Note que Q foi encontrada a partir de um EMV, e portanto temos indı́cios de que é uma
boa escolha para encontrarmos um intervalo de confiança. Calculando o IC:
Seja z o valor que satisfaz Φ(z) = γ, onde Φ representa a função densidade da distribuição
normal reduzida e γ é o coeficiente de confiança escolhido arbitrariamente. Temos:


X̄ − λ
P −z < q
< z = γ ⇔ P
r
−z
λ
n
r
⇔ P
X̄ − z
λ
− X̄ < −λ < z
n
λ
< λ < X̄ + z
n
r
λ
− X̄
n
!
=γ
r !
λ
=γ
n
Sabemos que X̄ = λ̂, e aproximando λ por λ̂ temos que:
q
q
I = (λ̂ − z nλ̂ ; λ̂ + z nλ̂ ) é um intervalo de confiança aproximado de 100γ% de confiança
para λ.
Como já vimos, o rendimento é dado por e−DP U . Utilizando o EMV encontrado, podemos
considerar a substituição do parâmetro λ por X̄ uma boa aproximação, então o rendimento
será obtido por e−X̄ .
Note que e−X̄ é uma função decrescente e I é um IC para λ. Utilizando a Obs 2 dada no
Apêndice, temos que:
−(λ̂+z
(e
q
λ̂
)
n
−(λ̂−z
;e
q
λ̂
)
n
)
é um intervalo de 100γ% de confiança para e−λ , e portanto, é um IC para o rendimento.
11. Indicadores da Qualidade
83
Exemplo 11.1. Vamos encontrar intervalos de confiança para o produto cabine e também para
cada um de seus componentes. Baseados nos dados do exercı́cio 11.1
A tabela 11.2 traz informações sobre todos os componentes do produto cabine. Neste exercı́cio, foram analisadas 57 cabines.
Note que, sobre o tacômetro por exemplo, a única informação dada é que houveram 49
tacômetros defeituosos. Não sabemos quais tacômetros de quais cabines estavam com defeitos
pois isso não importa para os nossos cálculos. Em uma linguagem mais estatı́stica, o rendimento
P
da cabine possui distribuição Poisson (que pertence à famı́lia exponencial) e portanto
Xi é
uma informação suficiente.
Não é o caso deste exercı́cio, mas observe também que a quantidade de ocorrência de defeitos nos tacômetros poderia ser superior a 57, pois, ao termos um defeito em uma peça da
cabine, esta é trocada por uma peça que talvez também seja defeituosa. Note também que as
49 ocorrências de defeitos podem ter vindo todas da mesma cabine.
Como já vimos, um intervalo de confiança para o rendimento é dado por:
−(λ̂+z
q
(e
λ̂
)
n
−(λ̂−z
q
;e
λ̂
)
n
)
Queremos encontrar um intervalo de 95% de confiança para o produto cabine, então temos
pela tabela da distribuição Normal padrão que z = 1, 96.
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn v.a.´s independentes que representam o número total de defeitos da
componente i, i = 1, 2, . . . , 11; das cabines. Na tabela 11.2 podemos encontrar com facilidade a
quantidade de defeitos totais:
11
X
Xi = 139
i=1
EM V
λ̂ = X̄ =
(e−(2,438+1,96
√ 2,438
139
= 2, 438 = DP Ucabine
57
)
;
e−(2,438−1,96
(0, 0582
;
0, 1309)
57
√ 2,438
57
)
)
é um IC de 95% de confiança para o rendimento da cabine.
O rendimento da cabine é dado por:
P[zero defeito na cabine] = P[zero defeito no tacômetro e zero defeito na mangueira e . . . e
11. Indicadores da Qualidade
84
ind
zero defeito na coluna] = P[zero defeito no tacômetro] P[zero defeito na mangueira] . . . P[zero
defeito na coluna] = (0, 423)(0, 601) . . . (0, 983) = 0,0902
Note que o rendimento encontrado pertence ao intervalo (0,0582 ; 0,1309). Vamos agora,
encontrar intervalos de confiança para cada componente da cabine. o procedimento será o
mesmo utilizado para encontrar um intervalo de confiança para a cabine, mas agora o EMV λ̂
será o DPU de cada componente. Os valores serão calculados da seguinte forma:
• Tacômetro
IC(Rendtac ; 0, 95) = (e−(0,86+1,96
√ 0,86
57
)
; e−(0,86−1,96
√ 0,86
57
)
) = (0, 3326; 0, 5383)
Sejam LI e LS os limites inferiores e superiores, respectivamente, do intervalo de confiança
encontrado para cada componente.
Componentes
Unidade Defeito DPU Rend
LI
LS
Tacômetro
57
49
0,86 0,423 0,3326 0,5383
Mangueiras
57
29
0,509 0,601 0,4994 0,7234
Vedação
57
18
0,316 0,729 0,630 0,8436
Ar Condicionado
57
14
0,246 0,782 0,6874 0,8893
Portas
57
10
0,175 0,839 0,7530 0,9357
Caixa de Controle
57
6
0,105 0,900 0,8276 0,9793
Sistema Elétrico no Painel
57
5
0,088 0,916 0,8478 0,9890
Cabo de Controle
57
3
0,053 0,949 0,8933 1,0000
Instrumento
57
2
0,035 0,965 0,9198 1,0000
Ventilação
57
2
0,035 0,965 0,9198 1,0000
Coluna
57
1
0,017 0,983 0,9504 1,0000
11. Indicadores da Qualidade
11.3
85
Defeitos por milhão de oportunidades (DPMO)
Algumas empresas avaliam apenas a taxa de defeituosos no final do processo. Por exemplo,
se foram produzidos 200 unidades e 10 unidades falharam no final da montagem, a taxa de
defeitos reportada é de 5%.
A taxa de defeito por unidade pode ser melhorada incluindo o número de oportunidades,
para focar no processo e/ou produto. Um indicador adequado para a taxa de defeitos por
unidade deve considerar o número de oportunidade para a falha nos cálculos. Para ilustrar,
considere um processo onde os defeitos são classificados por tipo e o número de oportunidades
para a falha (OP) são definidos para cada tipo. O número de defeitos (D) e unidades (U) são
obtidos do processo durante algum perı́odo de tempo. O cálculo do indicador pode ser obtido
na forma:
Tipo de defeito
Número de Defeitos
Unidades
Oportunidades
Total de Oportunidades
Defeitos por Unidade
Defeitos pelo Total de Oportunidades
Defeitos por Milhão de Oportunidades
Descrição
D
U
OP
TOP = U × OP
DPU = D / U
DPO = D /TOP
DPMO = DPO × 1000000
Tabela 11.3: DPMO
Nas aplicações temos até 20 tipos diferentes de defeitos, cujo cálculo do indicador DPMO
deve ser obtido para cada tipo de defeito. Então, tomamos a média do indicador DPO e DPMO
para o processo e/ou produto e construı́mos um gráfico de Pareto para o DPMO dos defeitos.
Para uma aplicação na indústria eletrônica, considere o processo de solda de componentes
em uma placa de circuito impresso. Neste caso, o número de oportunidades para a falha pode
ser o número de componentes (de cada tipo) vezes o número de pontas de solda. A vantagem
de utilizar o DPMO para esta situação é que diferentes componentes são montados na placa,
cada um desses componentes contém um número diferente de pontos de solda. Assim, com o
DPMO podemos uniformizar o indicador sobre o processo.
Exemplo 11.2. Os defeitos encontrados na assistência técnica de um produto foram classificados em tipos A, B, C, D, E, e F. Durante um certo perı́odo de tempo foram coletados os dados
referentes ao número de defeitos (D), unidades (U) e oportunidades por unidade. Os dados são
apresentados na tabela 11.4:
11. Indicadores da Qualidade
Tipo
A
B
C
D
E
F
TOTAL
86
D
U
OP TOP
21 327 92 30084
10 350 85 29750
8
37
43
1591
68 743 50 37150
74
80
60
4800
20 928 28 25984
201 2465 358 129359
DPU
0,06422
0,028571
0,216216
0,091521
0,925
0,021552
DPO
0,000698
0,000336
0,005028
0,00183
0,015417
0,00077
DPMO
698,0455
336,1345
5028,284
1830,417
15416,67
769,7044
Tabela 11.4: Dados
DP OT OT AL
Pn
Di
201
= Pn i=1
=
= 0, 00155
129359
i=1 T OPi
DP M OT OT AL = DP OT OT AL × 1000000 = 1553, 8153
Figura 11.2: Gráfico de Pareto
11. Indicadores da Qualidade
87
Exercı́cio 11.2. Considere uma máquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cabine
da máquina. Abaixo estão relacionados os tipos de defeitos, unidades fabricadas e número de
oportunidades por defeito. Preencher a tabela 11.5 e montar o gráfico de Pareto para o tipo de
defeito utilizando o DPMO.
a) Calcule o DPO e DPMO do produto:
b) Montar o gráfico de Pareto:
Componentes
Unid
Tacômetro
57
Mangueira
57
Vedação
57
Ar Condicionado
57
Portas
57
Caixa de Controle
57
Sistema Elétrico no Painel
57
Cabo de Controle
57
Instrumento
57
Ventilação
57
Coluna
57
Defeito Oport TOP
49
2
114
29
2
114
18
6
342
14
1
10
2
6
1
5
10
3
2
2
2
2
1
1
1
DPO
DPMO
0,43 429824,561
0,254 254385,964
0,053 52631,5789
Tabela 11.5: Colheitadeira de Cana
11.4
Intervalo de confiança para o DPMO
Ao estudarmos o rendimento, vimos que a amostra X1 , X2 , . . . , Xn tinha distribuição Poisson.
Neste capı́tulo a métrica utilizada será o DPMO, e como a quantidade de defeitos é finita (pois
a cabine será classificada como defeituosa ou não), X1 , X2 , . . . , Xn terá distribuição Binomial.
Portanto:
iid
X1 , X2 , . . . , Xn ∼ Bernoulli(θ)
• Estimador de máxima verossimilhança
A função densidade de uma distribuição Bernoulli é dada por:
f (x, θ) = P [X = x] = θx (1 − θ)1−x
11. Indicadores da Qualidade
88
Logo, a função verossimilhança será:
L(x; θ) =
n
Y
f (xi , θ) = θ
Pn
i=1
xi
(1 − θ)n−
Pn
i=1
xi
i=1
E portanto:
l(x; θ) =
n
X
xi log θ + n log (1 − θ) −
i=1
n
X
xi log (1 − θ)
i=1
Novamente, derivando e igualando a zero, temos:
∂
∂ θ̂
Pn
i=1
l(θ̂; x) =
θ̂
⇔
1
θ̂
xi
−
Pn
n−
i=1
1 − θ̂
xi
=0⇔
1 − θ̂
θ̂
Pn
n
− 1 = Pn
i=1
xi
− 1 ⇔ θ̂ =
i=1
n
P
n − ni=1 xi
= Pn
i=1 xi
xi
= x̄
∴ x̄ é um ponto crı́tico de l(θ; x).
Vamos verificar se é um ponto de mı́nimo ou de máximo:
∂2
l(θ; x) = −
∂θ2
Pn
i=1
θ2
xi
Pn
n
i=1 xi
−
+
(1 − θ)2 (1 − θ)2
Como X1 , X2 , . . . , Xn tem distribuição Bernoulli, então:

 1 sucesso, i = 1, . . . , n
Xi =
 0 f racasso
∴
n
X
xi ≤ n
i=1
e
∴
∂2
l(θ; x) < 0
∂θ2
∴ θ̂ = x̄ é o EMV de θ.
• Intervalo de Confiança
θ̂ = X̄ é o EMV de θ e
Pn
i=1
iid
Xi ∼ Binomial(n; θ)
11. Indicadores da Qualidade
89
Pn
i=1
E(θ̂) = E(
Pn
V (θ̂) = V (
Xi
n
i=1
Xi
n
n
1 X
n
) = E(
Xi ) = E(X1 ) = θ
n i=1
n
n
X
1
n
θ(1 − θ)
) = 2V (
Xi ) = 2 V (X1 ) =
n
n
n
i=1
iid
Obs: E(X1 ) = θ e V (X1 ) = θ(1 − θ) pois X1 , X2 , . . . , Xn ∼ Binomial(θ).
Aplicando o TLC, temos:
X̄ − θ
Q= q
∼ N (0, 1)
θ(1−θ)
n
e portanto Q é uma quantidade pivotal. Seja z definido como anteriormente, então:


X̄ − θ
P −z < q
< z = γ ⇔ P
θ(1−θ)
n
r
−z
θ(1 − θ)
− X̄ < −θ < z
n
s
s

⇔ P X̄ − z
θ̂(1 − θ̂)
< θ < X̄ + z
n

∴ θ̂ − z
θ̂(1 − θ̂)
; θ̂ + z
n
θ(1 − θ)
− X̄
n
!
=γ

θ̂(1 − θ̂) 
=γ
n
s
s
r

θ̂(1 − θ̂) 
n
é um IC aproximado de 100γ% de confiança para θ.
Exemplo 11.3. Vamos encontrar intervalos de confiança para o DPMO da cabine e também
para o DPMO de cada componente da cabine. Baseados nos dados do exercı́cio 11.2.
No cálculo do DPMO, não é possı́vel que o número de defeitos seja maior que o número de
cabines pois cada componente será classificada como defeituosa ou não defeituosa (distribuição
P
de Bernoulli). Novamente temos apenas a informação sobre a estatı́stica suficiente ( Xi ).
Completando a tabela fornecida no Exercı́cio 11.2, temos:
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn v.a.´s independentes que representam o número total de defeitos da
componente i, i = 1, 2, . . . , 11; das cabines. Seja n o número total de componentes utilizados
P
na produção das 57 cabines ( total de oportunidades de cada componente). Temos que:
11. Indicadores da Qualidade
90
Componentes
Unid
Tacômetro
57
Mangueira
57
Vedação
57
Ar Condicionado
57
Portas
57
Caixa de Controle
57
Sistema Elétrico no Painel
57
Cabo de Controle
57
Instrumento
57
Ventilação
57
Coluna
57
Defeito Oport TOP
49
2
114
29
2
114
18
6
342
14
1
57
10
2
114
6
1
57
5
10
570
3
2
114
2
2
114
2
1
57
1
1
57
P11
EM V
θ̂ = X̄ = DP Ocabine =
i=1
n
Xi
=
DPO
0,43
0,254
0,053
0,245
0,087
0,105
0,0087
0,0263
0,0175
0,035
0,0175
139
= 0, 081286
1710
Então o DPMO da cabine será dado por 106 × DP Ocabine = 81.286, 54.
Uma fórmula para encontrar um intervalo de confiança para o DPMO é dada por:
s
s

106 θ̂ − z
θ̂(1 − θ̂)
; θ̂ + z
n

θ̂(1 − θ̂) 
n
Queremos um intervalo com 95% de confiança, e portanto temos que z=1,96. Então:
r
106
0, 081286 − 1, 96
r
0, 081286(0, 918714)
; 0, 081286 + 1, 96
1.710
0, 081286(0, 918714)
1.710
!
= (68.333, 43; 94.238, 57)
é um IC de 95% de confiança para o DPMO da cabine.
Repetindo este mesmo procedimento para cada componente da cabine, encontraremos intervalos de 95% de confiança.
11. Indicadores da Qualidade
91
• Tacômetro
r
IC(DP M Otac ; 0, 95)
6
0, 42982 − 1, 96
r
0, 42982(0, 57017)
; 0, 42982 + 1, 96
1.710
=
10
=
(406.360, 24; 453.288, 87)
0, 42982(0, 57017)
1.710
!
Componentes
DPMO
LI
LS
Tacômetro
429.824,561 406.360,24 453.288,87
Mangueira
254.385,96 233.743,49 275.028,43
Vedação
52.631,57
42.047,80 63.215,35
Ar Condicionado
245.614,03 225.211,62 266.016,44
Portas
87.719,29
74.311,11 101.127,47
Caixa de Controle
105.263,15 90.717,14 119.809,16
Sistema Elétrico no Painel 8.771,929
4.352,23
13.191,62
Cabo de Controle
26.315,78
18.728,69 33.902,88
Instrumento
17.543,859 11.321,18 23.766,53
Ventilação
35.087,71
26.366,45 43.808,98
Coluna
17.543,85
11.321,18 23.766,53
11.5
Rendimento: Análise da resposta do processo (Rolled
Throughput Yield)
Quando analisamos somente a taxa de defeito no final do processo, perdemos informações
sobre o retrabalho que ocorre durante o processo. Ao utilizarmos a análise da resposta do
processo podemos identificar a fase do processo com maior taxa de defeitos e/ou retrabalho.
Figura 11.3: Gráfico do Rendimento Clássico
11. Indicadores da Qualidade
92
Tabela de cálculo do indicador ”rendimento do processo”.
Componentes
1
..
.
Unidades
U
..
.
Defeitos
D
..
.
DPU
D/U
..
.
K
U
Soma de
D
Soma de
D/U
Resposta
e−DPU
..
.
−
DPU
e
Soma de DPU
YT R = Produto Resposta
Unidades
Média da soma
Defeitos
Média de
de unidades
por operação
defeitos
por operação
Média de DPU
por operação
− ln(YT R )
Somas
Médias
Tabela 11.6: Resumo dos Dados
11. Indicadores da Qualidade
93
Figura 11.4: Gráfico do Rendimento do Processo
Sabemos que o rendimento corresponde a Rendimento = e−DP U , portanto DP U = −ln[e−DP U ].
Teorema da Probabilidade Total: Considere A1 , A2 , · · · , An eventos quaisquer. Então,
temos que
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ) × · · · × P (A2 |A1 ) × P (A1 )
11. Indicadores da Qualidade
11.6
94
Exercı́cios
Exercı́cio 11.3. Considere um processo de fabricação do pistão de um motor. Este processo é
dividido em quatro etapas básicas:
• A - Fundição;
• B - Pré usinagem;
• C - Usinagem e;
• D - Tratamento superficial.
Calcule o rendimento total do processo de fabricação do pistão.
Operação
A
B
C
D
Soma
Médias
Unid Defeito DPU
45.000
580
44.420
220
44.200
310
43.890
75
Rendimento Prob. Def.
Tabela 11.7: Coleta de Dados
Exercı́cio 11.4. Um eletrodoméstico é dividido em seis módulos básicos. Através de dados de
assistência técnica temos as ocorrências de defeitos em cada produto. Os dados referentes a
um lote de produção estão dispostos na tabela :
Módulos
1
2
3
4
5
6
Somas
Médias
Unidades Defeitos
1500
12
1500
16
1500
17
1500
8
1500
22
1500
5
DPU
Rendimento
Tabela 11.8: Coleta de Dados
a) Calcular o rendimento do produto;
b) Obter o PPM do produto;
c) Montar o gráfico de Pareto.
11. Indicadores da Qualidade
95
Exercı́cio 11.5. Considere o processo de solda de componentes em uma placa de circuito impresso. Neste caso, o número de oportunidades para a falha pode ser o número de componentes
(de cada tipo) vezes o número de pontas de solda. A placa é constituı́da por 8 transistores, 10
diodos, 15 resistores e 4 circuitos integrados. Os dados referentes a um dia montagem estão
dispostos na tabela :
Tipo
Transistores
Resistores
Diodos
CI
Total
D
45
23
32
150
U
OP TOP DPU
10000 24
10000 20
10000
10000
DPO DPMO
Tabela 11.9: Coleta de Dados
a) Calcule o DPO e DPMO do produto;
b) Montar o gráfico de Pareto.
11.7
Métrica da Qualidade: SIGMA
Aqui, vamos estudar a relação entre a métrica da qualidade SIGMA obtida via a distribuição
normal e a taxa de defeitos por milhão.
A distribuição é Normal quando sua densidade tem a forma de ”sino”:
Figura 11.5: Áreas sob a Curva Normal
11. Indicadores da Qualidade
96
Esta figura ilustra o conceito básico das métricas de sistema da qualidade onde as peças são
manufaturadas e avaliadas a porcentagem (ou PPM) de peças fora de especificação.
Especificações Porcentagem PPM de defeitos
±1σ
68.27
317300
±2 σ
95.45
54500
±3 σ
99.73
2700
±4 σ
99.9937
63
±5 σ
99.999943
0.57
±6 σ
99.9999998
0.002
Em geral, não conseguimos manter um processo totalmente centrado, sempre temos uma
pequena variação na média do processo devido a mudanças na matéria-prima, condições ambientais, manutenção de máquina e ferramentas, entre outras causas. Assim, a Motorola sugeriu
uma variação natural de 1.5σ em torno da média do processo. Abaixo apresentamos um gráfico
ilustrando a variação.
Figura 11.6: Limites de Variação
Especificações Porcentagem PPM de defeitos
±1σ
30.23
697700
±2σ
69.13
308700
±3σ
93.32
66810
±4σ
99.379
6210
±5σ
999.767
233
±6σ
9.999.966
3.4
11. Indicadores da Qualidade
97
Esta relação é determinada utilizando a variação de ± 1.5 × σ, sendo expressa de forma
aproximada por [Schmidt e Launsby (1997)]:
Número de SIGMA = 0, 8406 +
p
29, 37 − 2, 221 × ln(P P M )
OBS: Se usarmos oportunidade de defeito para calcular o indicador da qualidade, devemos
substituir o PPM por DPMO.
Exemplo 11.4. Considere um processo com PPM igual a 20. Quantos sigma tem o processo?
Número de SIGMA = 0, 8406 +
p
29, 37 − 2, 221 × ln(20) = 0, 8406 + 4, 7661 = 5, 6
Exercı́cio 11.6. Com os dados do exercı́cio 11.1, calcular a métrica sigma.
98
Capı́tulo 12
Definições
Def: (função verossimilhança) Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma amostra aleatória com função densidade f (x; θ). A função verossimilhança de θ correspondente à amostra observada é dada
por:
L(θ; x) =
n
Y
f (xi |θ)
i=1
Obs 1: O logaritmo da função verossimilhança L(·) é denotado por l(·).
Def: (estimador de máxima verossimilhança) O estimador de máxima verossimilhança
(EMV) de θ é o valor θ̂ que maximiza a função verossimilhança L(θ; x).
Def: (quantidade pivotal ) Uma v.a. Q(X1 , X2 , . . . , Xn ; θ) = Q(X; θ) é dita ser uma quantidade pivotal para o parâmetro θ se a sua distribuição for independente de θ.
Def: (intervalo de confiança) Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma amostra aleatória com função densidade f (·; θ). Sejam T1 = t1 (X1 , X2 , . . . , Xn ) e T2 = t2 (X1 , X2 , . . . , Xn ) duas estatı́sticas
satisfazendo T1 ≤ T2 para cada Pθ [T1 < τ (θ) < T2 ] ≡ γ, onde γ não depende de θ. Então
o intervalo aleatório (T1 , T2 ) é chamado de intervalo de confiança de 100γ% para τ (θ). γ é
chamado de coeficiente de confiança, T1 e T2 são chamados de limites de confiança inferior e
superior, respectivamente, para τ (θ). Um valor (t1 , t2 ) do intervalo aleatório (T1 ;T2 ) é também
chamado de intervalo de confiança de 100γ% para τ (θ).
Obs 2: Seja g uma função crescente e (T1 , T2 ) um intervalo de confiança para o parâmetro
θ, então (g(T1 ), g(T2 )) é um IC para g(θ). Se g é decrescente, então (g(T2 ), g(T1 )) é um IC para
12. Definições
99
g(θ).
Teorema do Limite Central (TLC): Seja X1 , X2 , . . . , Xn uma sequência de variáveis
aleatórias independentes com mesma distribuição. Sejam µ = E(Xi ) e σ 2 = V (Xi ) a esperança
P
e a variância comuns. Seja S = ni=1 Xi . Então sob determinadas condições, temos:
S − E(S)
p
∼ N (0, 1)
V (S)
100
Apêndice A
Tabela Normal Padrão - 6σ
A. Tabela Normal Padrão - 6σ
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
Área
0,500000000
0,496010644
0,492021686
0,488033527
0,484046563
0,480061194
0,476077817
0,472096830
0,468118628
0,464143607
0,460172163
0,456204687
0,452241574
0,448283213
0,444329995
0,440382308
0,436440537
0,432505068
0,428576284
0,424654565
0,420740291
0,416833837
0,412935577
0,409045885
0,405165128
0,401293674
0,397431887
0,393580127
0,389738752
0,385908119
0,382088578
0,378280478
0,374484165
0,370699981
0,366928264
0,363169349
0,359423567
0,355691245
0,351972708
0,348268273
0,344578258
0,340902974
0,337242727
0,333597821
0,329968554
0,326355220
0,322758110
0,319177509
0,315613697
0,312066949
Z
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
101
Área
0,308537539
0,305025731
0,301531788
0,298055965
0,294598516
0,291159687
0,287739719
0,284338849
0,280957309
0,277595325
0,274253118
0,270930904
0,267628893
0,264347292
0,261086300
0,257846111
0,254626915
0,251428895
0,248252230
0,245097094
0,241963652
0,238852068
0,235762498
0,232695092
0,229649997
0,226627352
0,223627292
0,220649946
0,217695438
0,214763884
0,211855399
0,208970088
0,206108054
0,203269392
0,200454193
0,197662543
0,194894521
0,192150202
0,189429655
0,186732943
0,184060125
0,181411255
0,178786380
0,176185542
0,173608780
0,171056126
0,168527607
0,166023246
0,163543059
0,161087060
Z
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
Área
0,158655254
0,156247645
0,153864230
0,151505003
0,149169950
0,146859056
0,144572300
0,142309654
0,140071090
0,137856572
0,135666061
0,133499513
0,131356881
0,129238112
0,127143151
0,125071936
0,123024403
0,121000484
0,119000107
0,117023196
0,115069670
0,113139446
0,111232437
0,109348552
0,107487697
0,105649774
0,103834681
0,102042315
0,100272568
0,098525329
0,096800485
0,095097918
0,093417509
0,091759136
0,090122672
0,088507991
0,086914962
0,085343451
0,083793322
0,082264439
0,080756659
0,079269841
0,077803841
0,076358510
0,074933700
0,073529260
0,072145037
0,070780877
0,069436623
0,068112118
Z
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
Área
0,066807201
0,065521712
0,064255488
0,063008364
0,061780177
0,060570758
0,059379941
0,058207556
0,057053433
0,055917403
0,054799292
0,053698928
0,052616138
0,051550748
0,050502583
0,049471468
0,048457226
0,047459682
0,046478658
0,045513977
0,044565463
0,043632937
0,042716221
0,041815138
0,040929509
0,040059157
0,039203903
0,038363570
0,037537980
0,036726956
0,035930319
0,035147894
0,034379502
0,033624969
0,032884119
0,032156775
0,031442763
0,030741909
0,030054039
0,029378980
0,028716560
0,028066607
0,027428950
0,026803419
0,026189845
0,025588060
0,024997895
0,024419185
0,023851764
0,023295468
A. Tabela Normal Padrão - 6σ
Z
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
Área
0,022750132
0,022215594
0,021691694
0,021178270
0,020675163
0,020182215
0,019699270
0,019226172
0,018762766
0,018308900
0,017864421
0,017429178
0,017003023
0,016585807
0,016177383
0,015777607
0,015386335
0,015003423
0,014628731
0,014262118
0,013903448
0,013552581
0,013209384
0,012873721
0,012545461
0,012224473
0,011910625
0,011603792
0,011303844
0,011010658
0,010724110
0,010444077
0,010170439
0,009903076
0,009641870
0,009386706
0,009137468
0,008894043
0,008656319
0,008424186
0,008197536
0,007976260
0,007760254
0,007549411
0,007343631
0,007142811
0,006946851
0,006755653
0,006569119
0,006387155
Z
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
102
Área
0,006209665
0,006036558
0,005867742
0,005703126
0,005542623
0,005386146
0,005233608
0,005084926
0,004940016
0,004798797
0,004661188
0,004527111
0,004396488
0,004269243
0,004145301
0,004024589
0,003907033
0,003792562
0,003681108
0,003572601
0,003466974
0,003364160
0,003264096
0,003166716
0,003071959
0,002979763
0,002890068
0,002802815
0,002717945
0,002635402
0,002555130
0,002477075
0,002401182
0,002327400
0,002255677
0,002185961
0,002118205
0,002052359
0,001988376
0,001926209
0,001865813
0,001807144
0,001750157
0,001694810
0,001641061
0,001588870
0,001538195
0,001488999
0,001441242
0,001394887
Z
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
Área
0,001349898
0,001306238
0,001263873
0,001222769
0,001182891
0,001144207
0,001106685
0,001070294
0,001035003
0,001000782
0,000967603
0,000935437
0,000904255
0,000874032
0,000844739
0,000816352
0,000788846
0,000762195
0,000736375
0,000711364
0,000687138
0,000663675
0,000640953
0,000618951
0,000597648
0,000577025
0,000557061
0,000537737
0,000519035
0,000500937
0,000483424
0,000466480
0,000450087
0,000434230
0,000418892
0,000404058
0,000389712
0,000375841
0,000362429
0,000349463
0,000336929
0,000324814
0,000313106
0,000301791
0,000290857
0,000280293
0,000270088
0,000260229
0,000250707
0,000241510
Z
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
Área
0,000232629
0,000224053
0,000215773
0,000207780
0,000200064
0,000192616
0,000185427
0,000178491
0,000171797
0,000165339
0,000159109
0,000153099
0,000147302
0,000141711
0,000136319
0,000131120
0,000126108
0,000121275
0,000116617
0,000112127
0,000107800
0,000103630
0,000099611
0,000095740
0,000092010
0,000088417
0,000084957
0,000081624
0,000078414
0,000075324
0,000072348
0,000069483
0,000066726
0,000064072
0,000061517
0,000059059
0,000056694
0,000054418
0,000052228
0,000050122
0,000048096
0,000046148
0,000044274
0,000042473
0,000040741
0,000039076
0,000037475
0,000035936
0,000034458
0,000033037
A. Tabela Normal Padrão - 6σ
Z
4,00
4,01
4,02
4,03
4,04
4,05
4,06
4,07
4,08
4,09
4,10
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
4,20
4,21
4,22
4,23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4,29
4,30
4,31
4,32
4,33
4,34
4,35
4,36
4,37
4,38
4,39
4,40
4,41
4,42
4,43
4,44
4,45
4,46
4,47
4,48
4,49
Área
0,000031671
0,000030359
0,000029099
0,000027888
0,000026726
0,000025609
0,000024536
0,000023507
0,000022518
0,000021569
0,000020658
0,000019783
0,000018944
0,000018138
0,000017365
0,000016624
0,000015912
0,000015230
0,000014575
0,000013948
0,000013346
0,000012769
0,000012215
0,000011685
0,000011176
0,000010689
0,000010221
0,000009774
0,000009345
0,000008934
0,000008540
0,000008163
0,000007801
0,000007455
0,000007124
0,000006807
0,000006503
0,000006212
0,000005934
0,000005668
0,000005413
0,000005169
0,000004935
0,000004712
0,000004498
0,000004294
0,000004098
0,000003911
0,000003732
0,000003561
103
Z
4,50
4,51
4,52
4,53
4,54
4,55
4,56
4,57
4,58
4,59
4,60
4,61
4,62
4,63
4,64
4,65
4,66
4,67
4,68
4,69
4,70
4,71
4,72
4,73
4,74
4,75
4,76
4,77
4,78
4,79
4,80
4,81
4,82
4,83
4,84
4,85
4,86
4,87
4,88
4,89
4,90
4,91
4,92
4,93
4,94
4,95
4,96
4,97
4,98
4,99
Área
0,000003398
0,000003241
0,000003092
0,000002949
0,000002813
0,000002682
0,000002558
0,000002439
0,000002325
0,000002216
0,000002112
0,000002013
0,000001919
0,000001828
0,000001742
0,000001660
0,000001581
0,000001506
0,000001434
0,000001366
0,000001301
0,000001239
0,000001179
0,000001123
0,000001069
0,000001017
0,000000968
0,000000921
0,000000876
0,000000834
0,000000793
0,000000755
0,000000718
0,000000683
0,000000649
0,000000617
0,000000587
0,000000558
0,000000530
0,000000504
0,000000479
0,000000455
0,000000433
0,000000411
0,000000391
0,000000371
0,000000352
0,000000335
0,000000318
0,000000302
Z
5,00
5,01
5,02
5,03
5,04
5,05
5,06
5,07
5,08
5,09
5,10
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
5,16
5,17
5,18
5,19
5,20
5,21
5,22
5,23
5,24
5,25
5,26
5,27
5,28
5,29
5,30
5,31
5,32
5,33
5,34
5,35
5,36
5,37
5,38
5,39
5,40
5,41
5,42
5,43
5,44
5,45
5,46
5,47
5,48
5,49
Área
0,000000287
0,000000272
0,000000258
0,000000245
0,000000233
0,000000221
0,000000210
0,000000199
0,000000189
0,000000179
0,000000170
0,000000161
0,000000153
0,000000145
0,000000137
0,000000130
0,000000123
0,000000117
0,000000111
0,000000105
0,000000100
0,000000094
0,000000089
0,000000085
0,000000080
0,000000076
0,000000072
0,000000068
0,000000065
0,000000061
0,000000058
0,000000055
0,000000052
0,000000049
0,000000046
0,000000044
0,000000042
0,000000039
0,000000037
0,000000035
0,000000033
0,000000032
0,000000030
0,000000028
0,000000027
0,000000025
0,000000024
0,000000023
0,000000021
0,000000020
Tabela A.1: Tabela Normal 6σ
Z
5,50
5,51
5,52
5,53
5,54
5,55
5,56
5,57
5,58
5,59
5,60
5,61
5,62
5,63
5,64
5,65
5,66
5,67
5,68
5,69
5,70
5,71
5,72
5,73
5,74
5,75
5,76
5,77
5,78
5,79
5,80
5,81
5,82
5,83
5,84
5,85
5,86
5,87
5,88
5,89
5,90
5,91
5,92
5,93
5,94
5,95
5,96
5,97
5,98
5,99
6,00
Área
0,000000019
0,000000018
0,000000017
0,000000016
0,000000015
0,000000014
0,000000013
0,000000013
0,000000012
0,000000011
0,000000011
0,000000010
0,000000010
0,000000009
0,0000000085
0,0000000080
0,0000000076
0,0000000071
0,0000000067
0,0000000064
0,0000000060
0,0000000056
0,0000000053
0,0000000050
0,0000000047
0,0000000045
0,0000000042
0,0000000040
0,0000000037
0,0000000035
0,0000000033
0,0000000031
0,0000000029
0,0000000028
0,0000000026
0,0000000025
0,0000000023
0,0000000022
0,0000000021
0,0000000019
0,0000000018
0,0000000017
0,0000000016
0,0000000015
0,0000000014
0,0000000013
0,0000000013
0,0000000012
0,0000000011
0,0000000010
0,0000000010
104
Referências Bibliográficas
[1] Douglas C. Montgomery - Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley and
Sons, 1985.
[2] Fundamentos do Controle Estatı́stico do Processo - Manual de Referência, IQA.
[3] Schmidt, S. R. and Launsby, R. G. - Understanding Industrial Designed Experiments, Air
Academic Press, Colorado Springs, CO, (1997).
[4] Forrest W. Breyfogle (1999) - Implementing Six Sigma: Smarter Solution Using Statistical
Methods, John Wiley & Sons, INC.
[5] M. N. Magalhães e A. C. P. De Lima (2001) Noções de Probabilidade e Estatı́stica, 3
edição, Editora USP.
[6] P. L. Meyer (1983) - Probabilidade: Aplicações à Estatı́stica, segunda edição, Livros
técnicos e Cientı́ficos Editora.
[7] W. O. Bussab e P. A. Morettin (1987) - Estatı́stica Básica - 4 Edição, Atual Editora.
[8] Breyfogle, Forrest W. - Implementing Six Sigma: Smarter Solution Using Statistical Methods, John Wiley & Sons, INC, (1999).
[9] Fundamentos do Controle Estatı́stico do Processo - Manual de Referência, IQA.
[10] R. L. Mason, R. F. Gunst, J. L. Hess (1989) Statistical Design and Analysis of Experiments:
with applications do Engineering and Science, John Wiley & Sons.
[11] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, Guide to the Expression of Uncertainty
in Measurement, 1995.
[12] NBR ISO 10012-1, Requisitos de Garantia da Qualidade para Equipamentos de Medição,
1993.
Referências Bibliográficas
105
[13] MSA, Análise dos Sistemas de medição, terceira edição.
[14] Versão Brasileira do documento de referência EA-4/02: Expressão da incerteza de medição
na calibração, INMETRO.
[15] Montgomery, Douglas C., Design and Analysis of Experiments - - Fourth Edition - Ed.
John Wiley & Sons, 1997.

Estatística

Documentos relacionados

Produtos

Suporte

Estatística

Documentos relacionados

Adicionar este documento para recolha (s)

Adicionar este documento para salva

Sugira-nos como melhorar StudyLib