matemática

MATEMÁTICA
Questão 01
100100
Determine o conjunto-solução da equação sen3x + cos3x =1– sen2x · cos2x
Resolução:
Fatorando a equação dada:
sen 3 x + cos3 x=1 – sen 2 x ⋅ cos 2 x
( senx + cos x ) ( sen 2 x − senx cos x + cos2 x ) = 1 − ( senx cos x )2
( senx + cos x )(1 − senx cos x ) − (1 + senx cos x )(1 − senx cos x ) = 0
(1 − senx cos x )( senx + cos x − 1 − senx cos x ) = 0
i ) 1 − senx cos x = 0
senx cos x = 1
2senx cos x = 2
sen2 x = 2
∴ S1 = ∅
ii ) senx+ cos x – 1 − senx cos x = 0
( senx + cos x )2 = (1 + senx cos x )2
sen 2 x+2senx cos x + cos 2 x = 1 + 2senx cos x + sen 2 x cos 2 x
sen 2 x ⋅ cos 2 x = 0
senx = 0 ou cos x= 0
kπ
x= 0+ , ∀ k ∈ Z
2
Eliminando as raízes estranhas que foram introduzidas quando elevamos ao quadrado os dois membros da equação
chegaremos em:
S2 = {x ∈ π | x = 0 + 2k π ou x =
π
+ 2k π, ∀k ∈ π}
2
De i e ii vem:
⎧
S = S1 ∪ S2 = ⎨ x ∈
⎩
| x = 0 + 2k π ou x =
π
⎫
+ 2k π, ∀k ∈ ⎬
2
⎭
Questão 02
Encontre o polinômio P (x) tal que Q (x) + 1= (x–1)3 · P (x) e Q (x) + 2 é divisível por x4, onde Q (x) é um polinômio do 6° grau.
Resolução:
Q(x) + 2 ≡ (ax2+ bx + c ) · ( x4 )
Q(x) = ax6+ bx5 + cx4 –2
Q(x) +1≡ ax6+ bx5 + cx4 –1 e P (x) = dx3 + ex2 + fx + g
∴ ax6 + bx5 + cx4 –1 ≡ (x3 –3x2 + 3x –1) · (dx3 + ex2 + fx + g )
ax6 + bx5 + cx4 –1 ≡ dx6 +( –3d + e ) x5 + ( – 3e + f +3d ) x4 +
+ ( g – 3f + 3e – d) x3 +( – 3g + 3f – e ) x2 +
+( 3g – f ) x – g
∴g=1
3g – f = 0 ⇒ f = 3
– 3g + 3f – e = 0 ⇒ e = 6
g – 3f + 3e – d = 0 ⇒d = 10
P(x) = 10 x3 + 6x2 + 3x + 1
Questão 03
Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares e quatro incógnitas(x, y, z e w) são funções
de quatro constantes a, b, c e d. Determine as relações entre a, b, c e d para que o referido sistema admita uma solução não
⎡a b ⎤
⎡x
y⎤
trivial, sabendo que CD= –DC, onde C= ⎢
⎥ e D= ⎢ z w⎥ .
⎣c d ⎦
⎣
⎦
Resolução:
Seja M4x4 a matriz dos coeficientes do sistema de quatro equações.
Usando CD = –DC, temos:
⎡a b ⎤ ⎡ x y ⎤
⎡ x y ⎤ ⎡a b ⎤
⎡ ax+bz ay+bw⎤
⎡ ax+cy bx+dy ⎤
⎢ c d ⎥ ⎢ z w⎥ = − ⎢ z w⎥ ⎢ c d ⎥ ⇒ ⎢ cx+dz cy+dw ⎥ = − ⎢ az+cw bz+dw⎥
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎣
⎦
⎣
⎦
⎦
Assim, o sistema em questão será:
⎧ ax + bz = – ax – cy
⎪ ay + bw = – bx – dy
⎪
⎨
⎪cx + dz = – az – cw
⎪⎩cy + dw = – bz – dw
Sabemos que a matriz M4x4 será dada por:
M 4x4
c
⎡ 2a
⎢ b a+d
=⎢
⎢c
0
⎢
c
⎣0
b
0
a+d
b
0⎤
b ⎥⎥
c⎥
⎥
2d ⎦
Mas, para que o sistema homogêneo apresente solução não trivial:
det M=0
2
det M = 2a ⋅ ⎡⎢( a + d ) ⋅ 2d − bc ( a + d ) − bc ( a + d ) ⎤⎥ +
⎣
⎦
− c ⋅ ⎡b ( a + d ) 2 d + b 2 c − b 2c ⎤ +
⎣
⎦
+b ⋅ ⎡bc 2 − c 2b − 2dc ( a + d ) ⎤
⎣
⎦
det M = 4 ⋅ ( a + d ) ⋅ ⎡⎣ ad ( a + d ) − bc ( a + d ) ⎤⎦
Desta forma, temos:
det M = 0
4 ⋅ ( a + d ) ⋅ ( ad − bc ) = 0
2
a + d = 0 ou ad − bc = 0
Resposta: a = −d ou ad = bc
2
Questão 04
Uma seqüência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do quarto termo, transforma-se a
seqüência original em uma PA. Uma terceira seqüência é obtida somando-se os termos correspondentes da PG e da PA.
Finalmente, uma quarta seqüência, uma nova PA, é obtida a partir da terceira seqüência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete
do quarto. Determine os termos da PG original.
Resolução:
As seqüências definidas podem ser escritas da forma:
(
)
S 2 ( a – 2; aq; aq 2 ; aq3 – k ) , uma PA,
S3 ( 2a – 2; 2aq; 2aq 2 ; 2aq3 – k ) , e,
S 4 ( 2a – 2; 2aq; 2aq 2 – 2; 2aq3 – k – 7 ) , uma PA.
S1 a; aq; aq 2 ; aq3 , uma PG,
De S2 obtemos: an − an-1 = a ( q − 1) + 2 = aq ( q − 1) = aq 2 ( q − 1) − k ( I )
e de S4: an − an-1 = 2a ( q − 1) + 2 = 2aq ( q − 1) − 2 = 2aq 2 ( q − 1) − k − 5 ( II )
Das equações (I) e (II) vem:
2aq ( q − 1) − 2 = 2aq 2 ( q − 1) − k − 5
(× (−2) )
aq ( q − 1) = aq 2 ( q − 1) − k
−2 = k −5
∴k = 3
E retornando em (I):
aq ( q − 1) = aq 2 ( q − 1) − 3 ∴
aq ( q − 1) = 3 ⇒ aq =
3
2
( q − 1)2
Sendo aq o segundo termo de S1, que então, pode ser escrita da forma:
⎛
3
3
3q
3q 2 ⎞
⎟
S1 ⎜
;
;
;
⎜ q ( q − 1)2 ( q − 1)2 ( q − 1)2 ( q − 1)2 ⎟
⎝
⎠
E lembrando que S2 é uma PA:
⎛ 3
⎞
3
3q
3
−⎜
− 2⎟ =
−
2 ⎜
2
2
⎟
( q − 1) ⎝ ( q − 1)
( q − 1)2
⎠ ( q − 1)
Que desenvolvida leva a:
2 q 3 − 7 q 2 + 8q − 3 = 0
Onde 1 é raiz inteira, e logo, aplicando Briot-Ruffini:
E fatorando a equação temos:
( x − 1) ⋅ ( 2 x 2 − 5 x + 3) = 0
3
e 1 (raiz de multiplicidade 2).
2
3
Assim, como apenas q = pode ser solução, a seqüência original fornecida é a PG:
2
S1 ( 8; 12; 18; 27 )
Que apresenta as raízes
3
Questão 05
Cinco equipes concorrem numa competição automobilística, em que cada equipe possui dois carros. Para a largada são
formadas duas colunas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da coluna direita tenha ao seu lado, na coluna da
esquerda, um carro de outra equipe. Determine o número de formações possíveis para a largada.
Resolução:
Separando em casos
i)
carros de uma mesma equipe em colunas diferentes
5
(–1)
5 ! . å
K = 0 K!
14243
K
2
5
·
Escolha
dos carros
da coluna
da esquerda
5 !
.
Permutação
dos carros
da esquerda
= 32 · 120 · 44 = 168 960
Permutação caótica
dos cinco carros
da coluna da direita
ii) exatamente dois carros de uma mesma equipe na mesma coluna
C5,1
·
·
C4,1
·
23
5!
Escolha
Escolha da Escolha dos
da equipe equipe que demais carros
que dobra
dobra na da coluna da
esquerda
na coluna coluna da
da esquerda
direita
·
2·2+3·2·2·2+2·2·3·2
=
5 · 4 · 8 · 120 · 64 = 1 228 800
144444424444443
Permutações possíveis
para a coluna da direita
permutação
dos carros
da esquerda
iii) dois grupos de dois carros de uma mesma equipe em uma mesma coluna.
C5,2
·
Escolha das
duas equipes
que dobram
na coluna
da esquerda
2
·
Escolha do
outro carro
da coluna da
esquerda
5!
Permutação
dos carros
da coluna
da esquerda
·
C3,2
· P4
4{
= 10 · 2 · 120 · 3 · 4 · 24 = 691 200
Permutações possíveis
Escolha das
duas equipes que da coluna da direita
dobram na coluna
da direita
Logo, o total de casos será de 168 960 + 1 228 800 + 691 200 = 2 088 960.
4
Questão 06
Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4.
1 + 2i + 3i2 + ... + (n + 1)in
Resolução:
Primeira solução:
Seja P ( x ) = x + x 2 + x3 + ... + x n +1 =
(
)=x
x x n +1 − 1
x–1
n+ 2
−x
x–1
Derivando P ( x) temos:
(
)
⎡( n + 2 ) x n +1 − 1⎤ ( x – 1) − x n + 2 − x ⋅1
⎦
P' ( x) = 1 + 2 x + 3x + ... + ( n + 1) x = ⎣
( x – 1)2
2
n
( n + 2 ) x n + 2 − x – ( n + 2 ) x n +1 + 1 − x n+ 2 + x
( x – 1)2
( n + 1) x n + 2 – ( n + 2 ) x n +1 + 1
P' ( x) = 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + ( n + 1) x n =
( x – 1)2
Fazendo x = i em P ' ( x ) temos a soma pedida:
( n + 1) ⋅ i n + 2 – ( n + 2 ) i n +1 + 1
S = 1 + 2i + 3i 2 + ... + ( n + 1) i n =
( i – 1)2
( n + 1) i 2 – ( n + 2 ) i1 + 1
, pois n é múltiplo de 4.
P' ( x) = 1 + 2 x + 3x 2 + ... + ( n + 1) x n =
S=
i 2 – 2i+12
– n – 1 – ni – 2i + 1 ( −n − (n + 2)i ) i
(n + 2) − ni
=
S=
⇒ S=
– 2i
2
( – 2i ) i
Segunda solução:
Separando a soma S pedida em n + 1 somas:
1 i n +1 − 1 i n +1 − 1 ⎫
2
n
⎪
=
1 + i + i + ... + i =
i −1
i −1 ⎪
⎪
i i n − 1 i n +1 − i ⎪
2
n
=
i + i + ... + i =
⎪
i −1
i −1 ⎪
i 2 i n-1 − 1 i n +1 − i 2 ⎪⎪
=
i 2 + ... + i n =
⎬ n + 1 linhas
i −1
i −1 ⎪
⎪
⎪
n 1
i i − 1 i n +1 − i n ⎪
n
=
i =
⎪
i −1
i −1 ⎪
⎪
⎪⎭
(
)
(
)
(
)
(
S=
S=
)
( n + 1) i n +1 – (1+i+i 2 +...+i n ) ( n + 1) i1 − 1
i–1
1
n
i
–
1
+
⋅
(
)
(
) ⋅ ( i+1)
( i – 1)( i + 1)
=
=
i–1
, pois n é múltiplo de 4.
− ( n + 1) – i+1( n + 1) i – 1
–2
⇒
S=
( n + 2 ) – ni
2
5
Questão 07
A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. Determine o raio do círculo base da calota em função do
raio R da esfera.
Resolução:
Sabe-se que a área da calota esférica é dada por:
ACALOTA = 2π R · h
ACALOTA = 2 · ACÍRCULO
2 π R · h = 2 · π r2
Rh = r2
Assim, no ΔOAO’:
R2 = r2 + (R – h)2
2Rh = h2 + r2
2 r2 = h2 + r2
h=r
∴R=r
Resp.: r = R.
Questão 08
Em um quadrado ABCD o segmento AB’, com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, conforme
na figura. Determine o ângulo BÂB’ correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmentos B’C e o lado
do quadrado vale
3– 6
Resolução:
Seja α a medida do ângulo BÂB’ e
o lado do quadrado.
No triângulo retângulo APB’:
AP = cos α e PB’ = sen α
No triângulo retângulo CB’Q:
B’Q = – AP = – cos α = (1 – cos α)
QC = – PB’ = – sen α = (1 – sen α)
B' C
= 3 − 6 → B’C =
B’C2 = B’Q2 + QC2 →
2
3− 6
(3 – 6 ) =
(1–cos α)2 +
2
(1–sen α)2
2
3– 6 = 1 – 2 cos α + cos2α + 1 –2 sen α + sen2 α
3– 6 = 3 – 2 sen α – 2 cos α
2
⎛ 6⎞
6
2
2
(sen α + cos α)2 = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒ sen α + 2 sen α cos α + cos α =
2
4
⎝
⎠
α =15º ou α= 75º
⇒ sen 2α + 1 =
6
3
1
⇒ sen 2α =
2
2
Questão 09
Considere os números complexos Z1 = senα + i cos α e Z 2 = cos α − isenα , onde α é um número real. Mostre que, se Z=Z1Z 2 ,
então −1 ≤ Re ( Z ) ≤ 1 e −1 ≤ I m ( Z ) ≤ 1, onde Re ( Z ) e I m ( Z ) indicam, respectivamente, as partes real e imaginária de Z.
Resolução:
Primeiramente, calculamos Z:
Z = Z1 ⋅ Z 2 = (senα + i cos α)(cos α – isenα)
Z = senα cos α – isen 2α + i cos 2 α − ( −1) ⋅ senα cos α
Z = 2senα cos α + i ⋅ (cos 2 α –sen 2α)
Z = sen 2α + i cos 2α
Portanto, temos que:
Re ( Z ) = sen 2α e I m ( Z ) = cos 2α
Concluímos, pois, que:
∀α ∈ , − 1 ≤ sen 2α ≤ 1 e −1 ≤ cos 2α ≤ 1
⇒ −1 ≤ Re ( Z ) ≤ 1 e −1 ≤ I m ( Z ) ≤ 1 c.q.d.
Questão 10
Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem à circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 6y + 14 = 0.
y
Determine o maior valor possível de .
x
Resolução:
x2 + y2 – 6x – 6y + 14 = 0
x2 – 6x + 9 – 9 + y2 – 6y + 9 – 9 + 14= 0
(x – 3)2 + (y – 3)2 = 22
C(3, 3) e R = 2
Dada uma reta r que passa pela origem e pelo ponto P(x,y) da circunferência dada, teremos o máximo valor da razão
o coeficiente angular da reta r for máximo, ou seja, r deve ser tangente à circunferência.
K· 3 – 3
dC,r = R Æ
=2
2
K 2 + ( –1)
|3K – 3| = 2 K 2 + 1
9K2 – 18K +9 = 4K2 + 4
5K2 – 18K + 5 = 0
9 + 2 14
9 – 2 14
K=
ou
5
5
Do exposto concluímos que
9 + 2 14
Kmáx =
, pois a outra solução encontrada seria o mínimo valor de K.
5
7
y
quando
x
Professores:
Matemática
Bernadelli
Manim
Marcelo Moraes
Moraes
Ney Marcondes
Digitação e Diagramação
Antônio A. Vitor
Deise Lara
Márcia Pereira
Val Pinheiro
Vinícius Eduardo
Projeto Gráfico
Antônio A. Vitor
Assistente Editorial
Alicio Roberto
Supervisão Editorial
Alicio Roberto
Rodrigo Bernadelli
Marcelo Moraes
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9
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