Lista 04 - Pontos notáveis de um triângulo e polígonos convexos

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Professor • Valdir
Aluno (a): _______________________________________________
01. (CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo
qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior,
conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os
mesmos são citados.
a) O baricentro e o ortocentro.
b) O baricentro e o incentro.
c) O circuncentro e o incentro.
d) O circuncentro e o ortocentro.
e) O incentro e o ortocentro.
02. (UEM) Considere ABC um triângulo inscrito em uma
semicircunferência de diâmetro BC cuja medida do ângulo C é 20°.
Determine a medida, em graus, do ângulo formado pela altura e pela
mediana relativas ao lado BC.
03. (Unesp) Sejam A, B, C pontos distintos no interior de um círculo,
sendo C o centro dele. Se construirmos um triângulo inscrito no
círculo com um lado passando por A, outro por B e outro por C,
podemos afirmar que este triângulo:
a) é acutângulo.
b) é retângulo.
c) é obtusângulo.
d) é não isósceles.
e) pode ser equilátero.
04. Considere um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC
medindo 12 cm. Determine a distância entre o baricentro e o
ortocentro do triângulo ABC.
05. Uma escada de 10 m de comprimento está encostada em uma
parede perpendicular ao solo. Uma das pontas da escada está
encostada na parede a 8 m de altura em relação ao solo no ponto A,
enquanto a outra está no chão em B, como mostra a figura ao lado.
A
Escada
Parede
Chão
B
Um gatinho sobe a escada e para exatamente no meio dela. A
escada escorrega de repente com o gatinho paralisado onde estava.
Durante a queda, a extremidade A da escada deslisa em contato com
a parede e, a extremidade B, em contato com o solo. Assim, a
trajetória que o gatinho descreve até a escada cair ao chão é:
a) Um segmento de reta de comprimento igual a 5 m.
b) Um segmento de reta de comprimento igual a 4 m.
c) Um arco de circunferência de raio igual a 5 m.
d) Um arco de parábola com a concavidade voltada para cima.
e) Um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo.
13/02/2014
Matemática
A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a cidade D está localizada
na intersecção entre:
a) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 10 cm.
b) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 1 cm.
c) as circunferências de raio 10 cm e centros A, B e C.
d) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio
10 cm.
e) as bissetrizes de CAB e CBA e a circunferência de centro C e raio 1
cm.
08. (UEFS BA) Na figura em evidência, ABC é um triângulo equilátero
de 12 cm de lado. Além disso, M é o ponto médio de AC e BE = 12cm.
A
Assim, a medida do segmento BN, em cm, é igual a
a) 2
b) 3
M
c) 4
N
d) 5
e) 6
E
C
B
09. (UFPI) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC
medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de
encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e
MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
a) 10/9
b) 9/8
c) 7/6
d) 4/3
e) 7/5
10. Na figura, ABCD é um quadrado de 6 cm de lado, M é o ponto
médio do lado DC e A é o ponto médio de PC. A medida, em
centímetros, do segmento AN é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. Na figura a seguir, a circunferência tangencia o lado BC no ponto
P, o lado AC no ponto Q e o lado AB no ponto S. O segmento de reta
CR é bissetriz do ângulo A Ĉ B. Sabe-se que AR = 7 cm, AQ = 6 cm, CP
= 3 cm. Determine o comprimento do segmento de reta BP.
C
P
Q
06. No interior do Brasil, uma indústria dispõe de 3 pontos
estratégicos A, B e C para a instalação de unidades geradoras de
produtos industrializados, de maneira que as posições dessas
unidades, geometricamente, são vértices de um triângulo escaleno
sendo o ângulo BÂC maior que 90°. A direção da fábrica exigiu que
construisse um posto P de segurança equidistante das três unidades
produtoras da fábrica. Assim, de acordo com o texto e
conhecimentos da geometria, pode-se afirmar que:
a) O posto P fica situado no interior do triângulo ABC.
b) O posto P é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC.
c) BC é o menor lado do triângulo ABC.
d) O posto P é equidistante dos lados do triângulo ABC.
e) O posto P é o circuncentro do triângulo ABC.
07. (FGV-SP) A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A e
B, e dista 10 km da cidade C. Em um mapa rodoviário de escala
1:100.000, a localização das cidades A, B, C e D mostra que as cidades
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A
S
R
B
12. (Valdir) Observando os polígonos regulares possíveis como forma
de cerâmicas de decoração, o proprietário de uma empresa buscou a
ajuda de um matemático para atingir o seguinte objetivo: “Ele queria
que todas as peças tivessem forma regular, ângulo interno de medida
inteira e que não fosse múltipla de 5. O matemático desvendou o
problema e deu ao empresário a quantidade correta do número
máximo de tipos não semelhantes de polígonos regulares que
atendia às exigências do pedido que é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
13. (UEL) Em um heptágono convexo, seis de seus ângulos internos
medem 120°, 150°, 130°, 140°, 100° e 140°. A medida do sétimo
ângulo é
a) 110°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
1
14. O polígono regular ABCDE... da figura a seguir mostra que duas
diagonais BD e BE formam um ângulo de 20°. Determine o número
de diagonais do polígono. A
B
C
20°
D
E
ˆ mede
15. (Valdir) ABCDE... é um polígono regular e o ângulo BCE
153°. Traçando todas as diagonais do polígono e escolhendo uma
delas ao acaso, determine a probabilidade de que a diagonal passe
pelo centro do polígono.
16. (UDESC) Considere um polígono convexo de seis lados. Sabendo
que as medidas dos ângulos internos desse polígono formam uma
P.A., e que a proporção entre o menor ângulo e a razão desta
progressão é igual a 15/2, é correto afirmar que:
a) o menor ângulo mede aproximadamente 34°.
b) o menor ângulo mede 90°.
c) o menor ângulo mede aproximadamente 6°.
d) este polígono é regular.
e) não é possível construir um polígono convexo de 6 lados com
estas características.
17. (UESPI) Um decágono tem vértices em uma circunferência. Se
não existem três diagonais do decágono que se interceptam no
mesmo ponto, determine quantos são os pontos de interseção das
diagonais deste decágono.
a) 205
b) 210
c) 215
d) 220
e) 225
18. (UFMT) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja
eqüidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos
não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno.
Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o
a) centro da circunferência que passa por A, B e C.
b) baricentro do triângulo ABC.
c) ponto médio do segmento BC.
d) ponto médio do segmento AB.
e) ponto médio do segmento AC.
19. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos
retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono
formado seja regular como mostra a figura a seguir. Fazendo
2 ≃ 1,414 , a medida x do lado do octógono será:
a) 3,20 cm
b) 3,24 cm
8 cm
c) 3,26 cm
d) 3,28 cm
e) 3,31 cm
x
20. (UEPB) Aumentando-se de 5 unidades o número de lados de um
polígono, o número de diagonais aumenta de 40. Esse polígono é o:
a) heptágono
b) pentágono
c) hexágono
d) octógono
e) eneágono
21. A figura a seguir mostra o caminho ABCDEF de um raio de luz que
se propaga sofrendo vários desvios num mesmo plano de
propagação. Assim, o desvio angular total sofrido pelo raio de luz
desde o ponto A até o ponto F é:
F
B
D
a) 70°
60°
b) 100°
40°
c) 150°
d) 210°
50°
80°
e) 290°
A
C
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E
22. (Valdir) Selecionando-se aleatoriamente três vértices de um
decágono regular, a probabilidade de que eles sejam vértices de um
triângulo retângulo é igual a:
a) 1/3
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/7
e) 3/7
23.(UEL) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura seguinte,
onde seis de seus ângulos internos medem 120°, 150°, 130°, 140°,
T
ângulo é
100° e 140°. A medida do sétimo
a) 110°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
24. (UNIOESTE) Um pentagrama é uma figura que pode ser
construída por uma linha fechada única entrelaçada, sendo
considerado símbolo da perfeição. O nome pentagrama se dá em
virtude da formação de um pentágono regular no seu interior,
conforme ilustra a figura a seguir. Com base nestas informações
pode-se afirmar que a medida do ângulo α é
a) 18°.
b) 30°.
c) 36°.
d) 54°.
e) 72°
25. (UNIFOR) Os lados de um octógono regular são prolongados até
que se obtenha uma estrela. A soma das medidas dos ângulos
internos dos vértices dessa estrela é
a) 180.
b) 360.
c) 540.
d) 720.
e) 900.
26. (ESPM) Se o número de lados de um polígono convexo fosse
acrescido de 3 unidades, seu número de diagonais triplicaria. Então, a
soma dos ângulos internos desse polígono é igual a:
a) 720°
b) 900°
c) 1080°
d) 1200°
27. Dado o triângulo ABC cujos lados medem AB = 10 cm e AC = 8 cm.
Seja AS o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência
inscrita no triângulo ABC, sendo S ponto do lado BC. Se a área do
2
2
triângulo ACS mede 20 cm , então a área do triângulo ABC, em cm ,
mede:
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
28. (UFMS) Um ângulo interno de um polígono regular mede 160°.
Determine o número de diagonais desse polígono.
29. Cerâmicas pentagonais regulares foram usadas para compor o
piso de uma sala, como mostra a figura a seguir. Observa-se que, ao
compor o piso, entre as peças justapostas aparece um espaço vazio
na forma de um estrela de cinco pontas chamada pentagrama.
Considerando a figura e as informações do texto, determine:
a) A medida do ângulo θ de cada ponta da estrela.
b) A distância entre duas pontas consecutivas da estrela sabendo-se
que o lado da cerâmica pentagonal é 10 cm e cos 108°= - 0,3.
θθ
01. D
06. E
11. 15 cm
16. B
21. E
02. 50
07. A
12. A
17. B
22. C
03. B
08. C
13. B
18. A
23. B
04. 4 cm
09. D
14. 27
19. E
24. C
05. C
10. B
15. D
20. A
25. D
26. A
27. B
28. 135
29. A) 36°; b) 2 65
2