F 589 - Estrutura da matéria 1ª lista de exercícios

F 589 - Estrutura da matéria
1ª lista de exercícios - Cinemática Relativística
2º semestre de 2016
Paul Ehrenfest sugeriu o seguinte experimento imaginário para ilustrar
a diferença entre as observações que seriam feitas se a luz se movesse em relação a um
éter estacionário e as observações que são feitas de acordo com o segundo postulado de
Einstein:
Problema 1 -
Suponha que você estivesse sentado no centro de uma grande esfera opaca
com 3 × 108 m de raio cuja superfície interna fosse espelhada. Uma fonte no
centro da esfera emite um pulso luminoso que se propaga na forma de uma
onda esférica de raio crescente.
O que você veria nos primeiros 3 s após a emissão do pulso (a) se a esfera estivesse se
deslocando em relação ao éter com uma velocidade constante de 30 km/s; (b) supondo
que o segundo postulado de Einstein esteja correto?
Considere dois referenciais inerciais. Quando observadores situados nos
dois referenciais medem as grandezas abaixo, quais são as medidas que devem fornecer
os mesmos resultados numéricos? Explique o motivo em cada caso.
(a) A distância entre dois eventos;
(b) O valor da massa de um próton;
(c) A velocidade da luz;
(d) O intervalo de tempo entre dois eventos;
(e) A primeira lei de Newton;
(f) A ordem dos elementos na tabela periódica;
(g) O valor da carga do elétron.
Problema 2 -
Suponha que um evento ocorra no referencial inercial S no ponto de
coordenadas x = 75 m, y = 18 m, z = 4 m e t = 2.0 × 10−5 s. O referencial inercial S'
está se movendo no sentido positivo do eixo dos x com uma velocidade v = 0.85c. As
origens de S e de S' coincidem em t = t0 = 0. (a) Quais são as coordenadas do mesmo
evento em S'? (b) Use a transformação inversa dos resulatdos do item (a) para obter
as coordenadas originais.
Problema 3 -
Problema 4 - Uma simetria elegante que existe nas transformações relativísticas galileanas é que se um ponto A se afasta de B com velocidade v , então, simetricamente, B
se afasta de A com velocidade −v . Suponha agora que um cruzador imperial se desloca
com velocidade vimp = −0.8c em direção ao planeta Naboo e que, na mesma direção
e sentido oposto, a nave Millennium Falcon se aproxima com vf al = 0.9c. (a) Qual a
velocidade do cruzador no referencial de repouso da Millennium Falcon? (b) Qual a
velocidade da Millennium Falcon no referencial de repouso do cruzador? (c) A simetria
1
da transformação galileana se mantém nas transformações de Lorentz? (d) A soma do
módulo destas velocidades tem algum signicado físico na transformação Lorentz? Por
que?
Use a expansão binomial para demonstrar os seguintes resultados, válidos para v << c, e aplique-os, quando necessário, nos problemas a seguir.
Problema 5 -
(a) γ ≈ 1 + 12 vc2
2
(b) γ1 ≈ 1 − 21 vc2
2
(c) γ − 1 ≈ 1 − γ1 ≈
1 v2
2 c2
Uma régua de um metro está se movendo paralelamente à sua maior
dimensão com uma velocidade v = 0.6c em relação a um certo observador. (a) Determine o comprimento da régua do ponto de vista do observador. (b) Quanto tempo a
régua leva para passar pelo observador?
Problema 6 -
O píon é uma partícula elementar instável, com um tempo de vida
média no seu próprio referencial igual a 2.6 × 10−8 s. Se um feixe dessas partículas
se move com velocidade 0.9c, (a) qual a vida média das partículas no referencial do
laboratório? (b) Qual a distância que as partículas percorrem, em média, antes de se
desintegrarem? (c) Qual seria a resposta do item (b) se o efeito da dilatação dos tempos
fosse desprezado?
Problema 7 -
Uma régua de um metro está em repouso no referencial S' fazendo um
ângulo de 30 com o eixo x0 . Se S' está se movendo com β = 0.8 em relação a S, qual
o comprimento da régua em S e que ângulo faz com o eixo dos x?
Problema 8 ◦
Problema 9 - Com que velocidade um observador deve se mover em direção a uma
fonte de luz vermelha (λ = 650 nm) para que ela pareça amarela (λ = 590 nm)? Verde
(λ = 525 nm)? Azul (λ = 460 nm)?
As estrelas emitem uma luz vermelha com um comprimento de onda
de 656.3 nm, denominada linha Hα , produzida por átomos de hidrogênio. Calcule
o comprimento de onda dessa luz observado na Terra supondo que a estrela está se
afastando da Terra em linha reta com uma velocidade de (a) 10−3 c; (b) 10−2 c; (c)
10−1 c.
Problema 10 -
Problema 11 - Em um trecho do lme Interstellar, parte da tripulação da nave espera
em órbita enquanto o restante da tripulação visita um planeta extraterrestre. Para cada
hora passada no planeta, a tripulação no interior da nave espera 7 anos. Considerando
que, durante a estadia da tripulação no planeta, a órbita seja aproximadamente linear,
(a) qual é a velocidade orbital do planeta? Se o raio deste planeta é próximo do raio
2
da Terra em seu referencial de repouso (RT = 6400 km), então (b) qual deve ser o raio
do planeta em sua direção de propagação quando visto pela tripulação da nave?
Problema 12 - Um amigo da sua idade viaja para Alpha Centauri, a 4 anos-luz de
distância, e volta imediatamente. Ele arma que a viagem durou apenas 6 anos. (a)
Com que velocidade seu amigo viajou? (b) Qual a diferença de idade entre vocês dois
quando voltam a se encontrar?
Lorentz sugeriu, 15 anos antes do artigo de Einstein sobre a relatividade
restrita ter sido publicado em 1905, que o resultado nulo do experimento de MichelsonMorley podia ser explicado por uma contração no braço do interferômetro, na direção
paralela ao movimento relativo da Terra e o éter, que reduzisse o comprimento desse
1
braço para L = Lp (1 − v 2 /c2 )− /2 . Lorentz considerou este efeito, incorretamente, como
uma deformação real da matéria. De quantos diâmetros atômicos a substância de
que era feito o braço do interferômetro teria que encolher para que a ausência do
deslocamento esperado de 0.4 larguras de franja pudesse ser explicada? (Suponha que
o diâmetro atômico é da ordem de 10−10 m.)
Problema 13 -
Duas espaçonaves com 100 m de comprimento quando medidas em
repouso viajam uma em direção à outra com uma velocidade de 0.85c em relação à
Terra. (a) Qual é o comprimento das espaçonaves para um observador terrestre? (b)
Qual é a velocidade de uma das espaçonaves do ponto de vista de um observador
situado na outra? (c) Qual é o comprimento de uma das espaçonaves do ponto de vista
de um observador situado na outra? (d) No instante t = 0, no referencial da Terra, as
extremidades dianteiras das espaçonaves passam uma pela outra. Em que instante as
extremidades traseiras passam uma pela outra?
Problema 14 -
A equação da frente de onda esférica de um pulso luminoso que parte
da origem no instante t = 0 é x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 = 0. Use a transformação de Lorentz
para demonstrar que a frente de onda do pulso em qualquer referencial S' que esteja se
movendo com velocidade constante em relação a S também é esférica.
Problema 15 -
Um disco horizontal está girando com velocidade angular ω . Existe
um relógio no centro do disco e outro a uma distância r do centro. Em um referencial
inercial em relação ao qual o centro do disco está em repouso, o relógio fora do centro
está se movendo com velocidade u = rω . Mostre que, de acordo com o fenômeno
da dilatação dos tempos da relatividade restrita, a relação entre o intervalo de tempo
medido pelo relógio em repouso, ∆t0 , e o intervalo de tempo medido pelo relógio em
movimento, ∆t, é dada por
Problema 16 -
r2 ω 2
∆tr − ∆t0
≈
,
∆t0
2c2
3
se rω << c.
O gráco abaixo é conhecido como um diagrama de espaço-tempo.
Num diagrama deste tipo, as dimensões y e z são ignoradas, já que na maioria dos
problemas de relatividade restrita considera-se uma partícula se movendo em apenas
uma dimensão espacial. Dessa maneira, pode-se representar a dimensão temporal junto
ao eixo espacial x. Multiplicando o eixo vertical por c, um feixe de luz se propagando
em x é representado por uma reta de inclinação ±1. A partir do segundo postulado
de Einstein, mostre, usando apenas argumentos geométricos, quais eventos na gura
abaixo poderiam ter sido causados por outros.
Problema 17 -
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