PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR– 2013

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP
VESTIBULAR– 2013
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 16
Sabe-se que o comprimento C de um quadrúpede, medido da bacia ao ombro, e sua largura L,
medida na direção vertical (espessura média do corpo), possuem limites para além dos quais o
corpo do animal não se sustentaria de pé.
Por meio da física médica, confrontada com dados reais de animais, é possível identificar que
esses limites implicam na
dadas em centímetros.
2
razão C : L3
ser, no máximo, próxima de 7:1, com as medidas de C e L
a) Qual é, aproximadamente, a largura L, em centímetros, de um cachorro que tenha
comprimento C igual a 35 cm, para que ele possa se sustentar de pé na situação limite da razão
2
5  2,2 , dando a resposta em número racional.
C : L3 ? Adote nos cálculos finais
2
C : L3
b) Um elefante da Índia de L = 135 cm possui razão
igual a 5,8:1. Calcule o
comprimento C desse quadrúpede, adotando nos cálculos finais 3 5  1,7 e dando a resposta em
número racional.
RESOLUÇÃO:
2
a) Para o corpo do animal se sustentar de pé a razão C : L3 deve ser, no máximo, próxima de 7:1
3
2
 2
7
3  C   7 L3   C 3  7 3 L2  C 3 .


7
L
2


1


L3
C
3 2
3
3 2
3
3
2
3
3
Substituindo C por 35: 7 L  35  7 L  5  7  L  5  7  L  53  5 5  11 .
RESPOSTA: A largura é 11cm.
3
2
2
3

5,8
 29 
 5,8L3  C   5,8L3   C 3  5,83 L2  C 3    L2  C 3
b) 2 


1
 5 


L3
C
Substituindo L por 135:
5,831352  C3  C3  5,83 33 
2
 
2
 52  C  5,8 32  3 5  C  52,2 1,72  150,858  150,86 .
1
RESPOSTA: O comprimento é 150,86cm.
QUESTÃO 17
Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de 500 animais jovens,
todos com x anos de idade.
Sorteando ao acaso um indivíduo dessa população, a probabilidade de que ele seja de genótipo
AA é de 32%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%.
Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y > x), o gene
a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa
permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem.
a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 500 animais de
x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com
probabilidade de 50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo?
b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 500 animais quando a idade
de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a
probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo?
RESOLUÇÃO:
a) pelos dados da questão, sorteando-se ao acaso um dos 500 animais, a probabilidade de que
ele seja do tipo aa é de 100% (32% + 46%) = 22%.
22% de 500 é igual a 0,22  500 = 110.
Seja y a quantidade de animais de genótipo aa que deverão ser acrescentados à população de
500 animais para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com
probabilidade de 50%:
110  y 50

 220  2 y  500  y  y  280 .
500  y 100
RESPOSTA: 280 indivíduos.
b) pelos dados da questão, sorteando-se ao acaso um dos 500 animais, a probabilidade de que
ele seja do tipo Aa é de 0,46  500 = 230.
Morrendo os 110 animais do tipo aa, o universo passa a ser 390, e a probabilidade de que o
indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo é de
230
 0,58974...  58,97% .
390
RESPOSTA: 58,97%.
QUESTÃO 18
A sequência (12, a, b), denominada S1, e a sequência (c, d, e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S1, a nova sequência de três números
reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se forma
tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r

de S2, para o caso em que  r   .
2
2
RESOLUÇÃO:
a) A sequência (12, a, b) é uma progressão aritmética e (12, a + 1, b + 5) é uma progressão
geométrica crescente. Então:



a  17  b  22
12  b  2a
b  2a  12
a 2  22a  85  0







2
2

(a  1)  12(b  5) 
(a  1)  12(2a  7) 
(a  17)(a  5)  0 a  5  b  2
(12, a + 1, b + 5) =(12, 18, 27)  q 
RESPOSTA: A razão da PG é q 
3
2
18 3

12 2
b) Sendo (c, d, e) uma progressão aritmética de razão r pode-se representar esta sequência como
(d – r, d, d + r).
Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2 tem-se a sequência:
[sen(d – r), sen(d), sen(d + r)].
De acordo com os dados da questão b, sen(d – r) + sen(d) + sen(d + r) = 0 
(sen d.cos r – cos d.sen r) + sen d +(sen d.cos r +cos d.sen r) = 0 
2 sen d.cos r + sen d = 0.
1

 2
 r   r =   
Como sen d ≠ 0, 2cos r + 1 = 0  cos r =  com
.
2
RESPOSTA: r =
2
3
3
2π
3
QUESTÃO 19
Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de
lado 6 cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
• P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH;
• Q pertence à aresta EH ;
• T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH;
•
é um arco de circunferência de centro E.
a) Calcule a medida do arco , em centímetros.
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm³.
3
RESOLUÇÃO:
a) Os ângulos QÊF e QÊF, medem,
respectivamente, 90° e 60°. Logo a medida do
ângulo FÊR é 30°. Assim o comprimento do arco
2  6
, em centímetros, é: x 
 .
12
RESPOSTA: π cm.
6 3
3 3.
2
2
Como T é o baricentro do triângulo EQR, ET =  3 3  2 3 .
3
b) O triângulo EQR é equilátero, logo ES =
Os triângulos retângulos EQS e EHG (figura acima) possuem um ângulo agudo em comum,
logo são semelhantes e
QS GH
3
6



 EH  6 3
ES EH
3 3 EH
Os pontos P e T (figura ao lado) pertencem, respectivamente,
as faces opostas ABCD e EFGH, assim PT = AE (medida da
aresta lateral do paralelepípedo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo PTE:
 
2
h 2  36  2 3  h 2  24  h  2 6
As dimensões do paralelepípedo ABCDEFGH são: 6cm,
2 6 cm e 6 3 cm.
O volume do paralepípedo , em cm³, é V  6  2 6  6 3  216 2 .
RESPOSTA: 216 2 cm³.
QUESTÃO 20
x 2  y 2  2x  0

2
Considere o sistema de inequações 

3 
1
2 


x

1

y





2
4



a) Represente graficamente, no sistema cartesiano de eixos ortogonais inserido no campo de
resolução e resposta, a solução desse sistema de inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações.
4
RESOLUÇÃO:
x 2  y 2  2x  0
(x  1) 2  y 2  1
C1 (1,0) e r  1





2
2

3 
1




 
3
1
3
1
2 
2
e r
 
  C 2 1,

x  1   y 
x  1   y 





2
2
2 
4
2 
4 








x  12   y 
x 2  y 2  2x  0

2
3 
1

2 
4
x 2  y 2  2x  0

2

3 
1
2 



x

1

y





2
4



A solução do sistema é a interseção das duas regiões coloridas representada na terceira figura
pela parte do círculo menor que está fora do círculo maior.
b) No triângulo ABC (figura ao lado), AH =
0,5, raio da circunferência x  12   y 


3
e HC =
2
2
3 
1
 ,
2 
4
logo BC
= 1. Então no triângulo retângulo AHC,
1
1
3
tgα  2 

 α = 30°  o triângulo ABC é
3
3
3
2
equilátero. A área da superfície que representa a solução
gráfica do sistema de inequações é:

3
a área do semicírculo de centro 1,  e raio 0,5 menos a diferença entre a área do setor de 60°
e a do triângulo ABC.
  0,52  
3  
S
2

6


4 
 3

8


6

2 

3  3  


.
4  4 24 
π 
 u.a.

RESPOSTA: S  
2 4 
 4
5