Probabilidade

Probabilidade
Probabilidade
Professora Ana Hermı́nia Andrade
Universidade Federal do Amazonas
Faculdade de Estudos Sociais
Departamento de Economia e Análise
Perı́odo 2016.2
Probabilidade
Você reconhece algum desses experimentos?
Probabilidade
Alguns exemplos de experimentos aleatórios
Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar o
naipe
Jogar uma moeda e observar sua face
Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna com bolas
pretas e vermelhas
Jogar um dado de 6 faces e observar qual o número obtido
retirar n peças de um lote e observar o número de peças
defeituosas
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Espaço amostral e Eventos
Seja Ω o conjunto dos possı́veis resultados de um experimento
aleatório, este é chamado de Espaço Amostral.
Evento =⇒ Experimento =⇒ Sub-conjunto de Ω
Definição: Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo
subcojunto A ⊂ Ω será chamado de evento.
Ω é o evento certo
φ é o evento impossı́vel
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos =⇒ Eventos
Considere os eventos A e B contidos em Ω
A ∪ B ⇔ A OU B
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
A∩B⇔ A E B
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Ac ⇔ A não ocorre
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Se A ⊂ B e A ocorre ⇒ B ocorre
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Se A ∩ B = φ então A e B são mutualmente excludentes
Probabilidade
Espaço amostral e Eventos
Teoria dos Conjuntos
Para mais de dois eventos:
Se A1 , . . . , An é uma coleção finita de eventos contidos emΩ:
Sn
Ai ocorre se ao menos um Ai ocorre
Ti=1
n
i=1 Ai ocorre se todos os Ai ocorrem
Probabilidade
Definição Clássica de Probabilidade
Definição Clássica de Probabilidade
Pergunta: A que eventos devemos atribuir probabilidade?
Exemplo: Considere o lançamento de um dado não-viciado de seis
faces. Seja A um evento contido em Ω, então podemos atribuir
alguma probabilidade a A. Logo:
P(A) =
números de casos favoráveis a A
#A
=
6
número de casos possı́veis
Esta é a Definição Clássica de Probabilidade baseada no conceito
de resultados equiprováveis. Neste caso, como
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então P(i) = 16 ∀i ∈ Ω.
Chamamos de Evento Aleatório todo evento ao qual se atribui uma
probabilidade.
Probabilidade
Definição Clássica de Probabilidade
Definição Clássica de Probabilidade
Exemplo: Uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho
de 52 cartas. Sejam A: a carta é de espadas e B: a carta é uma
figura. Calcule: P(A), P(B) e P(A ∩ B).
Solução:
Ω = {A, 2, 3, . . . , J, Q, K } : 52 cartas
Existem 13 cartas de cada naipe e 12 cartas são figuras
P(A) =
#A
13
= ,
#Ω
52
e P(A ∩ B) =
P(B) =
#B
12
=
#Ω
52
#A ∩ B
3
=
#Ω
52
Probabilidade
Axiomas
Axiomas de Probabilidade
Seja A ⊂ Ω, os axiomas de probabilidade propostos por
Kolmogorov são:
Axioma 1: P(A) ≥ 0
Axioma 2: P(Ω) = 1
Axioma 3 (aditividade finita): Se A1 , . . . , An ⊂ Ω e são
mutualmente excludentes, então
!
n
n
[
X
P
Ai =
P(Ai )
i=1
i=1
Probabilidade
Axiomas
Axiomas de Probabilidade
Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. A é duas
vezes mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do que
C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um?
Solução:
P(A) = 2P(B), P(B) = 2P(C) e P(C) = p
P(A) = 2(2p) = 4p e P(B) = 2p
Sabemos que P(A) + P(B) + P(C) = 1. Logo,
4p + 2p + p = 1 ⇒ 7p = 1 ⇒ p = 17
Então, P(A) = 74 , P(B) = 27 e P(C) = 17 .
Probabilidade
Propriedades
Propriedades de Probabilidade
Sejam os eventos A, B e C ⊂ Ω:
P(φ) = 0
P(Ac ) = 1 − P(A)
Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩
C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
P(A ∪ B)c = P(Ac ∩ Bc )
S
P
P ( ni=1 Ai ) ≤ ni=1 P(Ai )
Probabilidade
Propriedades
Propriedades de Probabilidade
Exemplo: Em uma seleção para engenheiro de uma empresa, dos
100 candidatos 40 tinham experiência e 30 possuı́am
especialização. 20 dos candidatos possuı́am tanto experiência
como também especialização. Escolhendo um candidato ao acaso,
qual a probabilidade de que:
Ele tenha experiência ou especialização?
Ele não tenha experiência nem especialização?
Solução: Sejam A: ter experiência e B: ter especialização.
40
30
Sabemos que P(A) = 100
= 0, 4, P(B) = 100
= 0, 3 e
20
P(A ∩ B) = 100 = 0, 2.
P(A ∪ B) = 0, 4 + 0, 3 − 0, 2 = 0, 5
P(Ac ∩ Bc ) = P(A ∪ B)c = 1 − P(A ∪ B) = 0, 5
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Será que vai chover?
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
Definição: Sejam A e B ⊂ Ω. A probabilidade condicional de A
dado B é
P(A ∩ B)
P(A|B) =
P(B)
Exemplo: Dois dados não viciados são lançados em sequência ao
acaso. Qual a probabilidade da soma das faces ser 6 dado que a
primeira face foi menor que 3?
Solução:
A: soma igual a 6 = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
B: 1◦ menor que 3 = {(1,1),. . . ,(1,6),(2,1),. . . ,(2,6)}
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)} e (A ∩ B) = {(1, 5), (2, 4)}
P(A|B) =
2/36
2
1
P(A ∩ B)
=
=
=
P(B)
12/36
12
6
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema da Bayes
Definição: Dizemos que A1 , . . . , An representam uma partição de
Ω quando:
Ai ∩ Aj = φ ∀i 6= j
Sn
i=1 Ai = Ω
P(Ai ) > 0 ∀i
Seja B ⊂ Ω, tal que B = B ∩ A1 ∪ B ∩ A2 ∪ · · · ∪ B ∩ An , que são
disjuntos dois a dois.
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Temos então
P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + · · · + P(B ∩ An )
Pela probabilidade condicional pode ser escrito como
P(B) = P(B|A1 )P(A1 ) + P(B|A2 )P(A2 ) + · · · + P(B|An )P(An )
Teorema da probabilidade Total: Se a sequência (finita ou
enumerável) de eventos aleatórios A1 , . . . , An , . . . formar uma
partição de Ω, então
X
P(Ai )P(B|Ai ), ∀ B ⊂ Ω.
P(B) =
i
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Podemos agora calcular a probabilidade de Ai dada a ocorrência de
B.
P(Ai ∩ B)
P(Ai )P(B|Ai )
P(Ai |B) =
=P
P(B)
j P(Aj )P(B|Aj )
Esse é o Teorema de Bayes, ele é útil quando conhecemos as
probabilidades dos Ai e a probabilidade de B dado Ai , mas não
conhecemos P(B).
Probabilidade
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Exemplo: Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40%
são mulheres. Sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres tem
menos de 1, 60 metros de altura. Dado que um estudante com
menos 1, 60 metros de altura foi sorteado ao acaso, qual a
probabilidade de ser mulher?
Solução:
Eventos: H: Ser homem; M: Ser mulher e A: ter menos de 1, 60
metros.
P(M∩A)
P(M|A) = P(M∩A)
P(A) = P(M∩A)+P(H∩A) =
P(A|M)P(M)
P(A|M)P(M)+P(A|H)P(H)
=
0,04×0,40
0,04×0,40+0,01×0,60
= 0, 727
Probabilidade
Independência
Independência
Definição: Considere dois eventos A e B quaisquer contidos em
Ω. Estes são independentes quando a probabilidade de ocorrer um
deles não é modificada pela ocorrência do outro, isto é,
P(A) = P(A|B) ou P(B) = P(B|A). Neste caso, dizemos que
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Exemplo: Um número é escolhido ao acaso no conjunto
1, 2, 3, . . . , 20. Verifique se os eventos A e B são independentes
quando A: O número escolhido é par e B: O número escolhido é
múltiplo de 3.
Solução:
A : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} e B : {3, 6, 9, 12, 15, 18}
10
6
3
3
P(A) = 20
= 12 ;P(B) = 20
= 10
;P(A ∩ B) = 20
;
1
3
3
P(A)P(B) = 2 × 10 = 20