Logica Matematica e Elementos de Logica Digital - UFMT

Lógica Matemática e
Elementos de Lógica Digital
Curso: Ciência da Computação
Lívia Lopes Azevedo
[email protected]
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Apresentação
 Plano de ensino
 Curso
 Conceitos básicos de lógica – lógica proposicional
 Comportamento analógico e digital
 Álgebra booleana e circuitos lógicos
 Circuitos combinacionais
 Circuitos seqüenciais
 Circuitos de memória
 Introdução ao Microprocessador

LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
O que é lógica?
Embora existam muitas definições para o campo de
estudo da lógica, essas definições não diferem
essencialmente umas das outras; há um certo consenso
entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de
estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de
aplicar essas leis corretamente na investigação da
verdade.
Lógica é a análise de métodos de raciocinio.
A lógica é uma Ciência de índole matemática fortemente
ligada à Filosofia. Um sistema lógico, por sua vez, é
um conjunto de axiomas e regras de inferência que
visam representar, formalmente, um raciocínio válido.
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Breve Retrospecto
PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)
A história da Lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles
(384 - 322a.C.) na Macedônia.
Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do
silogismo (certa forma de argumento válido).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser citado,
apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200
anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século
XIX .
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LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Breve Retrospecto
PERÍODO BOOLEANO :(± 1840 a ± 1910)
George Boole (1815-1864) e Augustus De Morgan
(1806-1871).
Gotlob Frege (1848-1925) – suas ideias
reconhecidas depois de 1905 – avanço lógica
foram
Giuseppe Peano (1858-1932) - simbologia matemática escola
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LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Breve Retrospecto
PERÍODO ATUAL: (1910- ........)
Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead
(1861-1947)
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com von
Neuman, Bernays, Ackerman e outros
Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983)
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
Há outros pontos de vista para a lógica?

Clássica, baseada em linguagem natural
Matemática ou simbólica
 Booleana
 Circuitos
 Modal
 Plurivalente
 Nebulosas (fuzzy)
 Probabilisticas
 Intucionista

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Linguagem natural
« o produto de um número pela soma de dois outros é
igual ao produto do primeiro pelo segundo somado ao
produto do primeiro pelo terceiro »
Linguagem simbólica ou formal
« Se x, y, z são números, arbitrários,
x.(y+z) = x.y + x.z »
Objetivo da linguagem simbólica é exprimir com correção
e exatidão o pensamento e os resultados do
conhecimento científico.
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
No estudo desses métodos a lógica esta interessada,
principalmente, na forma e não no conteúdo dos
argumentos.
«Todo molusco é invertebrado.
O caracol é um molusco.
Logo, o caracol é invertebrado. »
« Todo cão late.
Totó é um cão.
Portanto, Totó late. »
Do ponto de vista da lógica, esses argumentos têm a
mesma estrutura e forma.
« Se todo X é Y. Z é um X. Logo Z é Y ».
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Toda linguagem necesssita de um alfabeto e uma fórmula ou
expressão.
Alfabeto – formado por todo os simbolos matematicos e letras
do alfabeto latino e grego. (α, a, +, є, V, F)
Expressão – formada pela concatenação de simbolos do
alfabeto
Ex. a + y
3 є (3, 5, 7)
Linguagem de programacão
Abce
não se refere a palavra do alfabeto
+3=є7x
ou objeto matematico, logo não é
uma expressão
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de
Proposição.
 Proposição “vem de propor” que significa submeter à
apreciação; requerer um juízo. Trata-se de uma
sentença declarativa – algo que será declarado por
meio de termos, palavras ou símbolos – e cujo conteúdo
poderá ser considerado verdadeiro ou falso.
Ao afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estamos diante
de uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.
Quando falarmos em valor lógico estaremos nos
referindo a um dos dois possíveis juízos que
atribuiremos a uma proposição:
verdadeiro (V) ou falso (F)

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Chama-se de proposição ou enunciado a expressão que
correlaciona objetos ou descreve propriedade desse
objeto.
Uma proposição exprime um pensamento de sentido
completo
Ex. A lua é satelite da terra
3x5 = 5x3
Pedro estuda e trabalha
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Expressões da forma:
Que dia lindo!
Qual o seu nome?
Feliz Ano Novo.
Escreva um artigo.
Não são consideradas proposições
Em lógica consideramos apenas as proposições que são
declarativas e que só admitem dois valores:
verdadeiro (V) ou falso (F), um excluindo o outro.
Ex.
« duas retas de um plano são paralelas ou concorrentes »
« Os humanos precisam de água para sobreviver »
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Considere o seguinte:
a. Dez é menor do que sete.
b. Como vai você?
c. Ela é muito talentosa.
d. Existem formas de vida em outros planetas do universo.




A frase (a) é uma proposição porque é falsa.
Como o item (b) é uma pergunta, não pode ser considerado nem
verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e, portanto, não é
uma proposição.
Na frase (c) a palavra ela é uma variável e a frase não é
verdadeira nem falsa, pois ela não está especificada; portanto, (c)
não é um enunciado.
A frase (d) é um enunciado porque é verdadeira ou falsa;
independentemente de sermos capazes de decidir qual dos dois.
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A lógica matematica adota como regras fundamentais três princípios
ou axiomas:
 Princípio da identidade
Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é
falsa.


Princípio da Não-Contradição
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo.
Ou seja, não é possível afirmar e negar o mesmo predicado para o
mesmo objeto ao mesmo tempo; ou ainda, de duas afirmações
contraditórias, uma é necessariamente falsa.
Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra
possibilidade.
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Exemplos de proposições
1 – O Brasil ganhou a copa de 2014 (F)
2 – Jorge Amado escreveu « mar morto » (V)
3 – ¾ é um numero inteiro (F)
4 – Brasilia é capital do Brasil (V)
5 – O maior jogador do mundo é Maradona (F)
6 – O número 2 é primo (V)
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Argumentos lógicos
Se eu ganhar sozinho na Mega Sena, serei rico
Eu ganhei na Mega Sena
Logo, sou rico
premissas
conclusão
Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das
duas premissas, esse argumento é considerado válido.
A validade do argumento está diretamente ligada à
forma pela qual ele se apresenta.
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Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico conclusão
premissas
Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e,
nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das
premissas, e, portanto, não é um argumento válido.
Se jogamos bem, ganhamos. Ganhamos, logo,
jogamos bem.
Na verdade jogamos mal, mas o adversário jogou pior e o
juiz nos ajudou.
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
A Lógica dispõe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo
pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a
indução
Dedução - Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas
forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.
Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se
verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão.
Um argumento dedutivo é dito inválido quando for impossível que
as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.
Tvs antigas são preto e branco
Pinguins são preto e branco
Logo, Pinguins são tvs antigas
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Indução - Os argumentos indutivos não pretendem que suas
premissas forneçam provas cabais da veracidade da
conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa
veracidade.
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos
argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de
acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas
conclusões sejam estabelecidas.
Os argumentos indutivos partem do particular para o geral,
isto é, a partir de observações particulares, procura
estabelecer regras gerais.
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS LÓGICA DIGITAL
Analise a proposição
p: Essa sentença é falsa.
A frase é verdadeira ou falsa?
Se p for falsa, a proposição é verdadeira
 Se p for verdadeira, a proposição é falsa

Estamos diante de um paradoxo, pois a sentença não
pode ser verdadeira e falsa simultaneamente
Paradoxos – são proposições que não admitem um único
valor lógico, apesar de serem declarativas.
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS LÓGICA DIGITAL
Analise a proposição
p: Pedro é analista ou não é analista
r
s
Qual o valor lógico dessa proposição?
As proposições ( r ) e ( s ) são contraditórias
Ou seja, se uma for verdadeira a outra é falsa.

Uma proposição simples ou composta que apresenta
sempre o valor lógico (V), independente dos valores
lógicos de suas proposições componentes, é
denominado de Tautologia
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Uma proposição logicamente verdadeira é aquela cuja
verdade depende exclusivamente do arranjo de certas
expressões, ditos vocábulos lógicos, e não de um texto
empírico ou observacional. Esses vocábulos são:
e, ou, não, se ... então, ... se somente se ..., todo.
Ex.
« Sócrates é mortal e Zeus é um deus. »
« João é cuiabano ou João não é cuiabano. »
« Se todo homem é mortal e Sócrates é homem, então
Sócrates é mortal. »
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As partículas (vocábulos) lógicas: e, ou, não, se ... então,
... se somente se ..., desempenham importante papel no
estabelecimento das disciplinas, pois a partir de
proposições simples podem ser formados proposições
compostas.
Normalmente as proposições são representadas por
letras do alfabeto latino ou grego (p, q, t, α, β...)
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Proposições simples
p: 5 < 8
q: o novo papa é alemão
r: João é médico
s: Pedro é analista

VL(p) = V
vl(q) = F
vl(r) = F
vl(s) = V
proposições compostas
w= junção de r e s: (João é médico e Pedro é analista)
vl(w) = ???
t: comprarei um carro se e somente se ganhar dinheiro
vl(t) = ???
v: Paulo é matogrossense ou é goiano vl(v) = ????

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A veracidade de uma proposição simples é imediata,
enquanto a veracidade de uma proposição composta
depende de duas coisas:
1) do valor lógico das proposições compostas,
2) do tipo de conectivo lógico que as une.
Conectivos a serem estudados:
e, ou, não, se ... então, se somente se,
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Conectivos Lógicos
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Analise a proposição
p: Cuiabá é capital de Mato Grosso
É uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro
A negação dessa proposição ~p seria:
~p: não é verdade que Cuiabá é capital de Mato Grosso
~p: Cuiabá não é capital de Mato Grosso
Cujo valor lógico da negação é falso
r: Computação está na área de humanas
~r: Computação não está na área de humanas
~r: Não é verdade que computação está na área de humanas.
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Negação de p
¬p ou ∼p
lê-se: “não p”
Semântica da negação
se p é verdadeira, então ¬p é falsa
 se p é falsa, então ~p é verdadeira

Tabela Verdade
descreve os valores lógicos de uma proposição em termos
das combinações dos valores lógicos das proposições
componentes e dos conetivos usados
Tabela verdade negação
p
~p
V
F
F
V
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Conectivo « e » (^) and ( . ) – conjunção
Definição
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por « p^q », cujo valor lógico é
a verdade (V) quando as proposições p e q forem ambas
verdadeiras, e falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente é representada por:
« p^q », « p.q », « p and q »
Reflete uma noção de simultaneidade
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Ex. « Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira »
p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira
Valor lógico das proposições:
Eu te darei uma
bola
p
Eu te darei uma chuteira Eu te darei uma bola e eu te darei uma
q
chuteira
p ^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Se as proposições p e q forem
representadas como conjuntos,
por meio de um diagrama, a
conjunção " p e q " corresponderá
à interseção do conjunto p com o
conjunto q.
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Exercício: Conjunção
1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.
Qual o valor lógico?
 p ∧ ~q
 ~p ∧ q
 ~p ∧ ~q
2) Determine o V(p), sabendo que
V(q) = V e V(p ∧ q) = F
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL

Conectivo « ou » (v) or ( + ) – disjunção
« p ∨ q », « p + q », « p or q »
Definição
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por « p v q », cujo valor lógico
é a falso (F) quando as proposições p e q forem ambas
falsas, e verdadeiras (V) nos demais casos.
lê-se: “p ou q”
Reflete a noção de “pelo menos uma”
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
«Eu te darei uma bola ou eu te darei uma chuteira »
Valor Lógico da proposição
p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira
Eu te darei uma
bola (p )
Eu te darei uma
chuteira ( q )
Eu te darei uma bola ou eu te darei
uma chuteira
(p v q )
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Se as proposições p e q forem
representadas
como
conjuntos, por meio de um
diagrama, a disjunção “p e q"
corresponderá à
união do
conjunto p com o conjunto q.
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Exercício: Disjunção
1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.
Qual o valor lógico?
 p ∨ ~q
 ~p ∨ ~q
 ~~p ∨ ~q
 p ∧ (¬p ∨ q)
2) Determine o V(p), sabendo que
V(q) = F e V(p ∨ q) = F
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Condição de duas proposições p e q
p→q
lê-se: “se p então q”
Definição
Chama-se condição de duas proposições p e q a
proposição representada por « p  q », cujo valor
lógico é a falso (F) quando a premissa é verdadeira e
a conclusão é falsa, e verdadeiras (V) nos demais
casos.
Reflete a noção de implicação
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
«Se eu te der uma bola então eu te darei uma chuteira »
Valor Lógico da proposição
p: eu te der uma bola q: eu te darei uma chuteira
Eu te darei uma
bola (p )
Eu te darei uma
chuteira ( q )
Se eu te der uma bola então eu te darei
uma chuteira
(p  q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A proposição p é condição suficiente para q.
A proposição q é condição necessária para p.
Se as proposições p e q forem
representadas
como
conjuntos, por meio de um
diagrama, a condicional “p e
q" corresponderá à inclusão
do conjunto p no conjunto q.
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Exercício: Condição
1) Determine o V(p), sabendo que
 V(q) = F e V(p → q) = F
 V(q) = F e V(q → p) = V
2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que
 V(p → q) = V e V(p ∧ q) = F
 V(p → q) = V e V(p ∨ q) = F
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Bicondição de duas proposições p e q
p
q
lê-se: “ p se somente se q”
Definição
Chama-se
bicondicional
uma
proposição
representada por « p se e somente se q » ou
« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p
e q sao ambas, verdadeiras ou falsas.
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Eu te darei uma bola se, somente se eu te der uma chuteira »
p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira
Eu te darei uma bola
(p )
Eu te darei uma chuteira
(q )
Eu te darei uma bola se somente se eu te der
uma chuteira (p ↔ q )
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
•p é condição necessária e
suficiente para q.
* q é condição necessária e
suficiente para p
Portanto p ↔ q é
(pq ) e (q  p)
• verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas
• falsa, quando p e q possuem valor verdade distintos
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Exercício: Bicondição
Determine o V(p), sabendo que
 V(q) = V e V(p ↔ q) = F
 V(q) = F e V(q ↔ p) = V
2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que
 V(p ↔ q) = V e V(p ∧ q) = V
 V(p ↔ q) = V e V(p ∨ q) = V
 V(p ↔ q) = F e V(¬p ∨ q) = V
Exercícios
Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos
desde já nosso raciocínio, e apelemos ao velho e útil bom senso
para resolver os seguintes problemas:
Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é
verdadeira ou falsa ?
Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”.
Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma
regra, podemos garantir que é verdadeira ? Ou que é falsa ?
Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com
três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade;
o deus da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não;
e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas.
O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B
retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C
completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”. Afinal, quem é
quem ?
Havia três garotas, Sueli, Marcia e Diana. Suponha que
os seguintes fatos são dados:
a)
Paulo ama ao menos uma das garotas;
b)
Se ele ama Sueli mas não Diana, então também ama
Marcia;
c)
Ou ele ama Diana e Marcia ou nenhuma das duas;
d)
Se ele ama Diana, entao também ama Sueli;
Qual das garotas voce conclui que Paulo ama?
Exercícios
1) Construção da tabela verdade para:
a)
p ∨ ¬q
b)
p ∧ ¬q → F
c)
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
d)
¬(p ∨ ¬q)
e)
¬(p → ¬q)
f)
p∧q→p∨q
g)
¬p → (q → p)
h)
(p → q) → p ∧ q
i)
q ↔ ¬q ∧ p
j)
p → (q → (q → p))
k)
¬(p → (¬p → q))
l)
p ∧ q → (p ↔ q ∨ r)
m)
¬p ∧ r → q ∨ ¬r
n)
p → r ↔ q ∨ ¬r
o)
p → (p → ¬r) ↔ q ∨ r
p)
(p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r)
2) Verifique se as informações dadas são suficientes
para determinar o valor lógico da expressão:
a)
b)
c)
d)
(pq)  r , para V (r) = V
(p +r) +((s  q) , para V(q) = F
((p+q)↔(p.q)  ((r.p)+q)) , para V(q) = V
((p↔ q)  p) , para V(q) = V
3.
Existe um ditado popular que afirma que “toda regra
tem exceção”. Considerando que essa frase é, por sua
vez, também uma regra, podemos garantir que é
verdadeira ? Ou que é falsa ?
4.
Durante uma expedição, um explorador encontra uma
caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que
sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às
vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da
falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O
deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B
retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus
C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”.
Afinal, quem é quem ?
LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL
Referência:
Daghlian, J. , Lógica e Álgebra de Boole, Atlas, São Paulo, 2001.
Cesar, A. Mortari, Introdução à Lógica, Ed. Unesp, São Paulo, 2011.
Sousa, J. N., Lógica para a Ciência da Computação, Ed. Campus,
São Paulo, 2012.