Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital - UFMT

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Apresentação
Plano de ensino
Curso
Conceitos básicos de lógica – lógica proposicional
 Comportamento analógico e digital
 Álgebra booleana e circuitos lógicos
 Circuitos combinacionais
 Circuitos seqüenciais
 Circuitos de memória
 Introdução ao Microprocessador

O que é lógica?
Embora existam muitas definições para o campo de
estudo da lógica, essas definições não diferem
essencialmente umas das outras; há um certo consenso
entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de
estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de
aplicar essas leis corretamente na investigação da
verdade.
Lógica é a análise de métodos de raciocinio.
No estudo desses métodos a lógica esta interessada,
principalmente, na forma e não no conteudo dos
argumentos.
«Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Portanto, Sócrates é mortal. »
« Todo cão late.
Totó é um cão.
Logo, Totó late. »
Do ponto de vista da lógica, esses argumentos têm a mesma
estrutura e forma.
« Todo X é Y. Z é um X. Logo Z é Y ».
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Há outros pontos de vista para a lógica?
 Clássica, baseada em linguagem natural
 Matemática ou simbólica
 Booleana
 Circuitos
 Modal
 Plurivalente
 Nebulosas (fuzzy)
 Probabilisticas
 Intucionista
Linguagem natural
« o produto de um numero pela soma de dois outros é
igual ao produto do primeiro pelo segundo somado ao
produto do primeiro pelo terceiro »
Linguagem simbólica ou formal
« Se x, y, z são numeros, arbitrarios,
x.(y+z) = x.y + x.z »
Objetivo da linguagem simbolica é exprimir com
correção e exatidão o pensamento e os resultados do
conhecimento cientifico.
Toda linguagem necesssita de um alfabeto e uma formula ou
expressão.
Alfabeto – formado por todo os simbolos matematicos e letras do
alfabeto latino e grego. (α, a, +, є, V, F)
Expressão – formada pela concatenação de simbolos do alfabeto
Ex. a + y
3 є (3, 5, 7)
Linguagem de programacão
Abce
não se refere a palavra do alfabeto
+3=є7x
ou objeto matematico, logo não é
uma expressão
Chama proposição ou enunciado a expressão que
correlaciona objetos ou descreve propriedade desse
objeto.
Uma proposição exprime um pensamento de sentido
completo
Ex. A lua é satelite da terra
3x5 = 5x3
Pedro estuda e trabalha
Expressões da forma:
Que dia lindo!
Qual o seu nome?
Escreva um artigo.
Não são consideradas proposições
Em lógica consideramos apenas as proposições que são
declarativas e que só admitem dois valores:
verdadeiro (V) ou falso (F), um excluindo o outro.
Ex.
« duas retas de um plano são paralelas ou concorrentes »
Considere o seguinte:
a. Dez é menor do que sete.
b. Como vai você?
c. Ela é muito talentosa.
d. Existem formas de vida em outros planetas do universo.
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A frase (a) é uma proposição porque é falsa.
Como o item (b) é uma pergunta, não pode ser considerado nem
verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e, portanto, não é
uma proposição.
Na frase (c) a palavra ela é uma variável e a frase não é
verdadeira nem falsa, pois ela não está especificada; portanto,
(c) não é um enunciado.
A frase (d) é um enunciado porque é verdadeira ou falsa;
independentemente de sermos capazes de decidir qual dos dois.
A lógica matematica adota como regras fundamentais
dois principios ou axiomas:
I – principio da não contradicão
Um objeto não pode, simultaneamente, ser e não ser.
Ou seja, não é possível afirmar e negar o mesmo
predicado para o mesmo objeto ao mesmo tempo;
ou ainda, de duas afirmações contraditórias, uma é
necessariamente falsa.
II – principio do terceiro excluido
Qualquer proposição é verdadeira ou é falsa, não
existindo uma terceira opção.
Exemplos de proposições
1 – Vasco da Gama descobriu o Brasil (F)
2 – Jorge Amado escreveu « mar morto » (V)
3 – ¾ é um numero inteiro (F)
4 – Brasilia é capital do Brasil (V)
5 – O maior jogador do mundo é Maradona (F)
Argumentos lógicos
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu ganhei na Loteria
Logo, sou rico
Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica
das duas premissas, esse argumento é considerado
válido.
A validade do argumento está diretamente ligada à forma
pela qual ele se apresenta.
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
Embora seja semelhante ao anterior, tem outra
forma, e, nessa forma, a conclusão não se
segue logicamente das premissas, e, portanto,
não é um argumento válido.
A Lógica dispõe de duas ferramentas que podem ser
utilizadas pelo pensamento na busca de novos
conhecimentos: a dedução e a indução
Dedução - Os argumentos dedutivos pretendem que suas
premissas forneçam uma prova conclusiva da
veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é
válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem
provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando
for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a
conclusão falsa; caso contrário, o argumento dedutivo é
dito inválido.
Indução - Os argumentos indutivos não pretendem que suas
premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão,
mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade.
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos
argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo
com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões
sejam estabelecidas.
Os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto
é, a partir de observações particulares, procura estabelecer
regras gerais.
Uma proposição logicamente verdadeira é aquela cuja
verdade depende exclusivamente do arranjo de certas
expressões, ditos vocabulos lógicos, e não de um texto
empirico ou observacional. Esses vocabulos são: e, ou,
não, se ... então, todo.
Ex.
« Sócrates é mortal ou Sócrates não é mortal. »
« João é cuiabano ou João não é cuiabano. »
« todo homem é mortal e Sócrates é homem, então
Sócrates é mortal. »
As particulas (vocabulos) lógicas: e, ou, não, se ... então
desempenham importante papel no estabelecimento das
disciplinas, pois a partir de proposições simples podem
ser formados proposições compostas.
Normalmente as proposições são representadas por letras
do alfabeto latino ou grego (p, q, t, α, β...)
Proposições simples
p: 5 < 8
q: o novo papa é alemão
r: João é médico
s: Pedro é analista
 proposições compostas
w= junção de r e s: João é médico e Pedro é analista
t: comprarei um carro se e somente se ganhar dinheiro
v: Paulo é matogrossense ou é goiano
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A veracidade de uma proposição simples é imediata,
enquanto a veracidade de uma proposição composta
depende de duas coisas:
1) do valor lógico das proposições compostas,
2) do tipo de conectivo lógico que as une.
Conectivos a serem estudados:
e, ou, não, se ... então, se somente se,
Exercícios
1.
Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos
desde já nosso raciocínio, e apelemos ao velho e útil bom senso para
resolver os seguintes problemas:
2.
3.
4.
Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é
verdadeira ou falsa ?
Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”.
Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma regra,
podemos garantir que é verdadeira ? Ou que é falsa ?
Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com
três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus
da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da
falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O deus A diz: “B
é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca: “Não, eu sou o deus
da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus da
mentira”. Afinal, quem é quem ?
5. Havia tres garotas, Sueli, Marcia e Diana. Suponha que
os seguintes fatos sao dados:
a) Paulo ama ao menos uma das garotas;
b) Se ele ama Sueli mas nao Diana entao tambem ama
Marcia;
c) Ou ele ama Diana e Marcia ou nenhuma das duas;
d) Se ele ama Diana, entao tambem ama Sueli;
Qual das garotas voce conclui que Paulo ama?
6. Qual das cinco se parece menos com os outros quatro?
TATO PALADAR AUDIçÃO SORRISO VISÃO
7. Se voce reordenar as letras da ECHOOL, o resultado
sera o nome de um:
Oceano pais cidade estado animal
Conectivo « e » (^) and ( . ) – conjunçao
Definição
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por « p^q », cujo valor lógico
é a verdade (V) quando as proposições p e q forem
ambas verdadeiras, e falsidade (F) nos demais casos.
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Simbolicamente é representada por:
« p^q », « p.q », « p and q »
Ex. « Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira »
p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira
Valor lógico das proposições:
Eu te darei uma bola
p
Eu te darei uma chuteira
q
Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira
p ^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Se as proposições p e q forem
representadas como conjuntos, por
meio de um diagrama, a conjunção "
p e q " corresponderá à interseção do
conjunto p com o conjunto q.