10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números

10. NÚMEROS COMPLEXOS
10.1 INTRODUÇÃO
Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i
é o chamado número imaginário.
O número a é denominado parte real do número complexo e b é denominado parte
imaginária do número complexo. Atenção: “parte imaginária” não deve ser confundida com “número imaginário”.
O número imaginário i equivale à raiz quadrada de – 1, isto é, i = −1 . O número
imaginário, portanto, não pertence ao conjunto dos números reais R pois a raiz quadrada de um número negativo não é real. Por outro lado, o quadrado do número imaginário é real, pois i 2 = −1 .
Exemplos:
a) z = 2 + 3i
Neste caso, z é um número complexo cuja parte real é 2 e cuja parte imaginária
é 3.
b) z = – 1 + i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é – 1 e sua parte imaginária é 1.
c) z = 2/3 – i/7
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 2/3 e sua parte imaginária é
– 1/7.
c) z = – 5i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 0 (zero) e sua parte imaginária
é – 5.
d) z = 6
Note que, neste caso, z é um real; no entanto, também pode ser interpretado
como número complexo com parte imaginária nula.
Um número complexo com parte imaginária nula é chamado complexo real puro e
um número complexo com parte real nula é chamado complexo imaginário puro.
Note que um número complexo real puro é sempre um número real. Decorre disso
que o conjunto dos números reais R é um subconjunto do conjunto de números
complexos, denominado C.
O complexo conjugado de um número z = a + bi é dado por z* = a – bi.
Exemplo:
Se z = 2 – 3i, então seu complexo conjugado é z* = 2 + 3i.
10.2 FORMAS CARTESIANA E POLAR
A forma padrão z = a + bi é também chamada de forma cartesiana de um número
complexo z. Porém, todo número complexo pode ser colocado no que chamamos de
forma polar, que envolve medidas trigonométricas:
z = r cos  x   i sen  x  ,
em que
r =∣z∣=  a 2b 2
e o ângulo x é determinado a partir da tangente
tg  x  =
b
a
O valor r, também denotado por |z|, é chamado de módulo do número complexo.
(Atenção: módulo de número complexo não deve ser confundido com módulo de número real. Este último é tão somente o valor absoluto do número.)
Nota: A forma polar também pode ser escrita como
z =∣z∣ e ix ,
também chamada de forma exponencial, em que eix é dado pela fórmula de Euler:
e ix = cos  x   i sen x  ,
sendo e a constante que é base dos logaritmos naturais.
Exercício resolvido:
Escreva o número complexo z = 1 + i na forma polar.
Resolução:
A parte real de z é a = 1 e a parte imaginária é b = 1. Assim, o módulo de z será
r = ∣z∣=  a 2b2 =  1212 =  2
O ângulo x será dado a partir de
tg  x  =
b
1
= =1
a
1
Mas, o menor ângulo x para o qual a tangente dá valor 1 é 45 graus ou π/4
radianos. Isto é, x = π/4 radianos. Logo, a forma polar de z é
 
z = r cos  x   i sen  x  =  2 cos
  ,


 i sen
4
4
sendo o ângulo dado em radianos.
Note que obter a forma cartesiana de um número complexo a partir da forma
polar é trivial, devemos apenas obter os valores tabelados de cosseno e seno do
ângulo dado e desenvolver.
10.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Nas operações envolvendo números complexos devemos colocar o resultado na forma padrão, visto que em aplicações práticas é sempre útil identificar as partes real e
imaginária de um número complexo.
Nas operações devemos aplicar álgebra regular e agrupar os termos com partes reais e
aqueles com partes imaginárias.
Exercícios resolvidos:
Sejam os números complexos x = 2 – 3i e y = – 3 + 2i. Determine o resultado
das operações abaixo e identifique suas partes real e imaginária:
a) x + y
b) x – y
c) xy
d) x/y
Resolução:
a) x + y = (2 – 3i) + (– 3 + 2i) =
= 2 – 3i – 3 + 2i =
=–1–i
Portanto, a parte real de x + y é – 1 e a parte imaginária é – 1.
b) x – y = (2 – 3i) – (– 3 + 2i) =
= 2 – 3i + 3 – 2i =
= 5 – 5i
Portanto, a parte real de x – y é 5 e a parte imaginária é – 5.
c) xy = (2 – 3i)(– 3 + 2i) =
= – 6 + 4i + 9i – 6i2 =
= – 6 + 4i + 9i – 6(–1) =
= – 6 + 4i + 9i + 6 =
= 13i
Portanto, a parte real de xy é nula e a parte imaginária é 13. Trata-se de um número imaginário puro! Note que nesta operação tão somente desenvolvemos o
produto aplicando a propriedade distributiva e na 3a. linha substituímos i2 por
seu valor real, – 1.
d)
x
2−3i
=
=
y −32i
=
2−3i .−3−2i
=
−32i .−3−2i 
=
−6−4i 9i6i
=
2
9−4i
2
=
−6−4i9i6 −1
=
9−4−1
=
−6−4i9i−6
=
94
=
−125i
=
13
=−
12
5

i
13 13
Portanto, a parte real de x/y é – 12/13 e a parte imaginária é 5/13. Note que na
1a. linha a expressão contém um número imaginário no denominador. Logo,
devemos reescrever a fração de forma que o denominador contenha apenas
números reais. Para isso, na 2a. linha multiplicamos numerador e denominador
pelo conjugado do denominador (– 3 – 2i) e desenvolvemos os produtos. Na
4a. linha substituímos i2 por – 1.
10.4 FÓRMULA DE De MOIVRE
A fórmula de De Moivre permite obter a n–ésima potência de um número complexo
z, envolvendo medidas da trigonometria:
n
n
z =∣z∣ cos  n x  i sen  n x ,
em que z está na forma polar, isto é, z =∣z∣cos  x  i sen x .
Exercício resolvido:
Se z = 1 + i, determine z4.
Resolução:
Vimos num exemplo acima que a forma polar de z = 1 + i é
 
z =  2 cos
 


 i sen
4
4
Então, pela fórmula de De Moivre, z4 é dado por
4
z =   2
4



i
sen
4.
= 4  cos   i sen  = 4−1 = −4



 4
4 
cos 4 .
Isto é, z4 = – 4, tratando-se, portanto, de um complexo real puro.
Note que na fórmula empregamos n = 4 (e lembrando que |z| =  2 ).
Além disso,   24=4 , cos(π) = – 1 e sen(π) = 0.