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ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
AULA 04: AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO
TÓPICO 03: DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
VERSÃO TEXTUAL
Como podemos verificar anteriormente, um problema muito
comum em Estatística é a inferência sobre uma característica de uma
população (ex: média populacional), tendo como base uma estatística
amostral (ex: média amostral). Porém, deve-se observar que a cada
amostra retirada, o valor desta estatística varia, o que a caracteriza
como uma variável aleatória.
CONCEITO
A distribuição de probabilidade dos valores que uma estatística
assumiria em todas as possíveis amostras de mesmo tamanho de retiradas da
população é denominada distribuição amostral.
Vejamos abaixo dois tipos de amostras:
Amostra com reposição ocorre quando cada elemento da
população pode ser escolhido mais de uma vez para uma mesma amostra.
Amostra sem reposição ocorre quando cada elemento da
população puder ser escolhido uma única vez para participar de uma
mesma amostra.
Na prática, demonstra-se que o uso de amostras sem reposição origina
resultados mais confiáveis do que amostras com reposição.
VEJA O EXEMPLO
Como exemplo, considere a seguinte população constituída por 5,
7, 9, 11 e 13. Vamos construir a distribuição amostral da média de uma
amostra de tamanho 2 retirada sem reposição desta população, cuja
média é dada por
e o desvio é igual a
Agora considere que foram retiradas todas as amostras de
tamanho 2, teríamos a seguinte distribuição:
Média
amostral
Combinações
Possíveis
Probabilidade
6
(5,7)
0,1
7
(5,9)
0,1
8
(5,11); (7,9)
0,2
9
(5,13); (7,11)
0,2
10
(7,13); (9,11)
0,2
11
(9,13)
0,1
12
(11,13)
0,1
Para obtermos maiores informações a respeito desta distribuição,
podemos calcular sua média e desvio-padrão, denotados,
respectivamente por
e
. Assim,
Observe que, pelo menos para este exemplo, podemos concluir
que a média da distribuição amostral de
é igual à média
populacional, , e o desvio padrão da distribuição amostral de é
menor do que o desvio-padrão populacional,
.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
A partir de agora, poderemos introduzir o seguinte teorema:
Para amostras aleatórias de tamanho retiradas de uma população com
média e desvio-padrão , a distribuição amostral de tem média igual a
.
,
ou seja, a média da distribuição amostral é igual à média da população.
E seu desvio-padrão é dado por:
ou
.
O primeiro caso aplica-se para populações infinitas e o segundo para
populações finitas de tamanho . O fator
é chamado de fator de
correção para população finita.
PARA SABER MAIS SOBRE O FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS
Para uma população finita, ou seja, aquela que possui fração
amostral maior do que 5%:
(onde
tamanho da amostra e
tamanho da população), deve-se utilizar o fator de correção para
populações finitas (FCPF) para ajuste dos desvios-padrão da média
amostral.
O desvio-padrão
é também conhecido como erro-padrão da média, e
tem a finalidade de mensurar a variação esperada das médias das amostras,
em função do acaso. Assim, se
é pequeno, há uma forte indicação de que a
média da amostra esteja próxima da média populacional, do contrário, se
é grande, é provável que haja uma grande diferença entre as duas.
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Outro teorema largamente utilizado na estatística para inferir acerca da
média populacional, partindo da média amostral, é o Teorema do Limite
Central (TLC), que pode ser resumido da seguinte forma:
A distribuição amostral da média das amostras de uma população
com
parâmetros
(
)
segue
uma
distribuição
normal,
independentemente da distribuição da população da qual a amostra for
retirada, quando o tamanho da amostra for suficientemente grande
.
e uma variância
, a
Portanto, para uma população com média
distribuição amostral das médias de todas as possíveis amostras de tamanho
n, geradas a partir da população, será aproximadamente normalmente
distribuída – com a média da distribuição amostral igual a
e variância
igual
- assumindo que o tamanho amostral é igual ou superior a trinta.
Considerando a distribuição amostral de médias, quando se conhece a
variância ou a amostra é grande
, utilizamos a estatística que segue
uma normal padrão (média igual a zero e desvio-padrão igual a 1),
independente da distribuição da população. Então, por meio do teorema do
limite central, a estatística será dada por:
Porém, comumente não se conhece o desvio-padrão populacional e
trabalha-se com amostras pequenas
. Neste caso utiliza-se o desviopadrão amostral e obtém-se a seguinte variável.
Que segue uma distribuição t de student com
graus de liberdade.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA
Considerando-se uma amostra de elementos de uma população com
distribuição normal de média e variância , então, pode-se demonstrar
que a distribuição amostral da variância amostral segue uma distribuição de
(qui-quadrado) com
graus de liberdade. A variável da estatística de
qui-quadrado será dada por:
OLHANDO DE PERTO
Veja exemplo de uso das distribuições t de Student e Qui-quadrado,
consulte a página 88-90 do livro-texto.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Profº. Mst. Sérgio César de Paula Cardoso
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual