Lista 6 - Teoria de Grupos - 2015 Professor: Marcelo Muniz Alves

Lista 6 - Teoria de Grupos - 2015
Professor: Marcelo Muniz Alves
Turma: Matemática Noturno
Data: 10/06/2015
1. Mostre que o grupo H = {(123), (321), id} é um subgrupo normal de S3 (use a “fórmula da
conjugação”).
Escreva a tabela da operação em S3 /H e verifique que este é um grupo cı́clico de ordem 2.
2. O grupo de Klein V4 é o subgrupo de S4 constituı́do pelos elementos
id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)
que são todas as possı́veis composições de 2-ciclos disjuntos, e a identidade.
(a) Mostre que V4 é subgrupo normal de S4 (use a “fórmula da conjugação”). Como todo
elemento de V4 é par, segue que V4 é subgrupo normal de A4 .
(b) Mostre que as classes laterais
V4 , (123)V4 , (321)V4
são distintas, e conclua que estas são todas as classes laterais distintas de V4 no grupo
alternado A4 .
(c) Prove que A4 /V4 é um grupo cı́clico de ordem 3.
3. Se G é um grupo finito então todo elemento de G tem ordem finita. Neste exercı́cio você mostrará
que a recı́proca não é verdadeira.
Considere o grupo quociente Q/Z (operação de soma). Mostre que
(a) Todo elemento não-nulo de Q/Z pode ser escrito como m
n + Z com 1 ≤ m ≤ (n − 1). (dito
de outra forma, qualquer racional é congruente, módulo Z, a um número dessa forma. Para
provar isso, use o algoritmo da divisão).
(b) Todo elemento de Q/Z tem ordem finita.
(por exemplo, 2 · (3/2 + Z) = 3 + Z = Z (= 0Q/Z ), pois 3 ∈ Z.)
(c) Para cada n > 0 existe pelo menos um elemento de ordem n. Deduza disso que Q/Z é
infinito.
(d) Prove que existem exatamente Φ(n) elementos em Q/Z que têm ordem n.
4. Considere o grupo R/Z.
(a) Use a função “parte inteira” para mostrar que todo elemento de R/Z se escreve como λ + Z
com 0 ≤ λ < 1.
(b) Determine quais são os elementos de ordem finita de R/Z, e quais os de ordem infinita.
(isso não depende do item anterior) (sugestão: lembre-se que aqui “ordem finita” significa
“existe n tal que nλ + Z = 0 + Z”, e isso ocorre apenas se nλ ∈ Z.)
5. Mostre que um elemento αQ∗ do grupo C∗ /Q∗ tem ordem finita se e somente se α é raiz de uma
equação da forma xn = b para algum n ≥ 1 e b ∈ Q∗ .
6. Em cada item abaixo, determine se a aplicação dada é ou não um homomorfismo de grupos.
(a) det : GL(n, R) → R∗ . (a aplicação que leva A em seu determinante det(A))
(b) f : R → R dada por f (x) = x2 .
(c) f : R∗ → R∗ dada por f (x) = x2 .
(d) f : R∗ → R∗ dada por f (x) = x2 + x.
(e) f : R∗ → R∗ dada por f (x) = xn .
(f) f : (0, ∞) → R∗ dada por f (x) =
√
n
x.
(g) f : R → R dada por f (x) = ax, a um real fixo diferente de zero.
(h) m : C∗ → (0, ∞) dado por m(z) = |z|.
(i) exp : R → R∗ (função exponencial com base e)
(j) cos : R → R (função cosseno)
(k) log : R∗ → R (função logaritmo)
7. Seja ϕ : G → H um isomorfismo de grupos. Prove que
(a) Se G é abeliano então H é abeliano.
(b) Se G tem elementos de ordem n então H também tem elemento de ordem n.
(c) Existe uma bijeção entre o conjunto de elementos de ordem n de G e o conjunto de ordem
n de H.
8. Seja n inteiro positivo, d um divisor de n. Neste exercı́cio trabalharemos com Zn e Zd e, para
não haver confusão, a classe de a módulo n (respectivamente, módulo d) será denotada por [a]n
(respec. [a]d ).
(a) Mostre que a aplicação ϕ : Zn → Zd dada por ϕ([a]n ) = [a]d está bem definida (isto é, se
[a]n = [a0 ]n então [a]d = [a0 ]d ) e que é um homomorfismo sobrejetor.
Zn
é isomorfo a Zd .
(b) Mostre que seu núcleo é o subgrupo gerado por [d]n . Conclua que
h[d]n i
9. Considere o polı́gono regular cujos vértices são as raı́zes n-ésimas da unidade e seja D2n seu
grupo de simetrias, o grupo diedral de 2n elementos.
Sejam ρ a rotação de 2π/n no sentido anti-horário e τ a reflexão no eixo x. Pode-se verificar que
todo elemento de D2n se escreve de forma única como ρi τ j , com i = 0, 1, . . . , n − 1 e j = 0, 1.
As seguintes equações são verificadas:
ρn = id, τ 2 = id, τ ρ = ρ−1 τ.
(a) Mostre que a equação τ ρ = ρ−1 τ vale.
(para isso, você pode usar o fato que ρ e τ são aplicações lineares e trabalhar com suas
matrizes).
(b) Mostre que o conjunto R das rotações é um subgrupo cı́clico de D2n ;
(c) Mostre que o conjunto das reflexões não é um subgrupo de D2n ;
(d) R é subgrupo normal de D2n (use as expressões dos elementos como monômios em ρ e τ );
(e) D2n /R é isomorfo a Z2 ;
(f) D2n é solúvel.
10. Mostre que Sn /An é isomorfo ao grupo multiplicativo G = {±1}.
(use o sinal da permutação para obter um homomorfismo de Sn sobre G)
11. Mostre que S3 e S4 são solúveis (veja exercı́cios (1), (2) e o exercı́cio anterior ).
√ √
12. Seja L = Q( 2, 3).
(a) Use a correspondência de Galois para listar os subcorpos de L usando os subgrupos de G.
√
√
(b) Use a ação
√ do grupo de Galois para obter o polinômio minimal de α = 2 + 3 sobre Q e
sobre Q( 2).
√
√
(c) Conclua que L = Q( 2 + 3).
√
13. Seja α = 4 2.
(a) Mostre que o grupo de Galois G = Gal(Q(α)|Q) da extensão Q(α) ⊃ Q tem exatamente 2
elementos (dica: quem é o polinômio minimal de α sobre Q, e quem são suas raı́zes?).
Escreva a expressão do automorfismo
que não é a identidade aplicado no elemento genérico
√
a + bα + cα2 + dα3 de Q( 4 2).
(b) Mostre que Q(α)G = {a + bα2 ; a, b ∈ Q}.
(c) A extensão Q(α) ⊃ Q não é de Galois. Por quê?
(d) Encontre uma extensão de Q contendo α que seja de Galois.
√
14. Seja L = Q( 4 2, i). Mostre que
(a) L é o corpo de decomposição de f (x) = x4 − 2.
(b) G = Gal(L|Q) é isomorfo ao grupo diedral D8 .
Para isso, procure um elemento ρ de ordem 4 e um elemento σ de ordem 2 que não esteja no
subgrupo cı́clico gerado por ρ; mostre que estes elementos satisfazem a equação σρσ = ρ−1 ,
e que todo elemento de G se escreve como ρk σ l (ou σ l ρk ) para k = 0, 1, 2, 3, l = 0, 1.
15. Considere o grupo multiplicativo C∗ .
(a) Mostre que f : C∗ → R∗ dada por f (z) = |z| é um homomorfismo sobrejetor.
(b) Mostre que seu núcleo é o subgrupo S1 . Mostre que as classes laterais distintas são da
forma rS1 , com r real positivo, e descreva o conjunto rS1 geometricamente.
(c) Mostre que C∗ /S1 é isomorfo a R∗ .
√
16. (ver lista 4, exercı́cio 6). Sejam p, q primos, sejam α = p q, λ = exp(i2π/p), e considere a
extensão L = Q(α, λ) ⊃ Q. Seja G = Gal(L | Q) o grupo de Galois da extensão (o grupo de
Q-automorfismos de L).
No exercı́cio 4 da lista 6 foi mostrado que os elementos de G são os automorfismos σr,s : L → L,
com 0 ≤ r ≤ p − 1 e 1 ≤ s ≤ p − 1, definidos na base por
σr,s (αi λj ) = αi λri+sj
e que a operação de composição tem como resultado
σk,m ◦ σr,s = σk+mr,ms ,
onde os ı́ndices devem ser considerados módulo p.
(a) Use esta expressão para verificar que o subgrupo
H1 = {σr,1 ; 0 ≤ r ≤ p − 1} = hσ1,1 i
é subgrupo normal de G.
(b) Mostre que cada elemento do subgrupo H2 = {σ0,s ; 1 ≤ s ≤ p − 1} corresponde a uma
classe lateral distinta de H1 em G. Ou seja, se r 6= s e 1 ≤ r ≤ p − 1, 1 ≤ r ≤ p − 1, então
σ0,r H1 6= σ0,s H1
(c) Mostre que G/H1 é isomorfo ao grupo multiplicativo Z∗p .
17. Considere a aplicação ϕ : R → C∗ que leva t em exp(2πit).
(a) Mostre que ϕ é um homomorfismo.
(b) Mostre que a imagem de ϕ é o grupo multiplicativo S1 = {z ∈ C; |z| = 1} dos complexos
de módulo unitário.
(c) Mostre que o núcleo de ϕ é o grupo (aditivo) Z. Conclua que ϕ induz um isomorfismo de
R/Z em S1 .
18. Tome a restrição da aplicação ϕ do exercı́cio anterior ao grupo Q. Use-a para deduzir um
∗
∗
isomorfismo de Q/Z com o grupo U∞ (C∗ ) = ∪∞
n=1 Un (C ), onde Un (C ) é o grupo das raı́zes
n-ésimas da unidade. (ver exercı́cio 13, lista 4).