Lista 2 - André Luiz Galdino

Universidade Federal de Goiás
Regional Catalão - IMTec
Disciplina: Álgebra I
25/03/2015
Professor: André Luiz Galdino
Gabarito da 2a Lista de Exercícios
1. Seja X = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn } e Sn o conjunto de todas as funções bijetoras de X em X, ou seja,
Sn = {φ : X → X | φ é uma função bijetora}.
Mostre que Sn é um grupo com a operação de composição de funções. O grupo Sn é chamado de
Grupo Simétrico ou Grupo das permutações.
2. Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. Considere os seguintes conjuntos:
a) S −1 = {a−1 | a ∈ S}.
b) hSi = {a1 a2 a3 · · · an | n ∈ IN, ai ∈ S ou ai ∈ S −1 }.
Mostre que o conjunto hSi é um subgrupo de G, chamado de Subgrupo gerado por S
3. Seja S3 o grupo de todas as funções bijetoras do conjunto X = {x1 , x2 , x3 } nele mesmo, ou seja,

 
 
 
 
 

 x x x

x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 3
, 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 
S3 = 
 x x x
x2 x1 x3
x3 x2 x 1
x1 x3 x2
x 2 x3 x1
x3 x 1 x2 
1 2 3

onde a notação 
x1 x2 x3
xi xj xk

 representa a função tal que:
x1 → xi
x2 → xj
Considere as funções φ e ψ, dadas como segue:


x1 x 2 x3

φ=
x2 x 1 x3
x3 → xk

ψ=
x1 x 2 x3
x2 x 3 x1


Mostre que:
a) φ2 = e
c) ψ −1 = psi2
e) φψ = ψ −1 φ
b) ψ 3 = e
d) ψφ 6= φψ
f) S3 = hφ, ψi
4. Seja G um grupo e a ∈ G qualquer elemento. Mostre que o conjunto hai = {an | n ∈ ZZ} é um
subgrupo de G, chamado de subgrupo cíclico gerado por a.
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5. Dizemos que um grupo G é um grupo cíclico, se existe um elemento em a ∈ G tal que G = hai. Sendo
assim, mostre que:
a) o grupo aditivo dos inteiros ZZ é cíclico, gerado pelo número 1.
b) o grupo multiplicativo G = {−1, 1, −i, i} é cíclico, gerado por i, onde i2 = −1.
c) o grupo aditivo dos inteiros ZZ é cíclico, gerado pelo número −1.
d) o grupo multiplicativo G = {−1, 1, −i, i} é cíclico, gerado por −i, onde i2 = −1.
e) o grupo aditivo 2ZZ = {2k | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por 2.
f) o grupo aditivo nZZ = {nk | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por n.
g) o grupo aditivo nZZ = {nk | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por −n.
6. Mostre que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
7. Considere o conjunto Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, tal que:
ij = k,
jk = i,
ki = j,
kj = −i,
ik = −j
ji = −k,
(±i)2 = (±j)2 = (±k)2 = 1.
Mostre que Q8 é um grupo, chamado de Grupo dos Quatérnios.
8. Mostre que (IN, ∗) não é um grupo, com a operação binária ∗ definida por x ∗ y = xy .
9. Mostre que:
a) D3 = {e, r, r2 , s, rs, r2 s} é um grupo, chamado de Grupo Diedral de Ordem 3, onde r3 = e, s2 = e
e sr = r2 s.
b) D4 = {e, r, r2 , r3 , s, rs, r2 s, r3 s} é um grupo, chamado de Grupo Diedral de Ordem 4, onde r4 = e,
s2 = e e sr = r3 s.
10. Verdadeiro ou Falso:
a) S3 tem pelo menos um subgrupo de ordem 2 e 3.
b) S3 possui um único subgrupo de ordem 5.
c) D4 possui pelo menos um subgrupo de ordem 2 e 4.
d) D4 possui pelo menos um subgrupo de ordem 3.
11. Seja f : (G, ∗) → (H, •) um homomorfismo. Sendo eG o elemento neutro de G e eH o elemento neutro
de H mostre que:
a) f (eG ) = eH .
b) f (x−1 ) = f (x)−1 .
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Solução:
a)
f
H
G
eG
f (eG ) = eH
Como eG ∗ eG = eG e f é um homomorfismo, temos:
f (eG ) • f (eG ) = f (eG ∗ eG ) = f (eG ).
Uma vez que o elemento neutro é único, concluimos que f (eG ) é o elemento neutro de H, ou
seja, f (eG ) = eH .
b)
f
H
G
f (x−1 ) = f (x)−1
x−1
Sendo f um homomorfismo e a ∗ a−1 = eG vem que:
f (x) • f (x−1 ) = f (x ∗ x−1 ) = f (eG )
Pelo item a), sabemos que f (eG ) = eH . Isto é:
f (x) • f (x−1 ) = eH .
Uma vez que o elemento inverso é único, concluimos que f (x−1 ) é o elemento inverso de f (x)
em H, ou seja, f (x−1 ) = f (x)−1 .
12. Seja g : (G, ∗) → (H, •)
e
f : (H, •) → (K, ) homomorfismos. Mostre que a composição f ◦ g :
(G, ∗) → (K, ), dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) é um homomorfismo.
Solução:
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g
G
H
x
g(x)
f
f ◦g
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
K
Sendo g : (G, ∗) → (H, •) e f : (H, •) → (K, ) homomorfismos, por definição, temos:
∀ a, b ∈ G : g(a ∗ b) = g(a) • g(b)
∀ x, y ∈ H : f (x • y) = f (x) f (y)
Observando a figura vemos que a função composta f ◦ g possui como domínio o grupo G, dessa
forma:
∀ a, b ∈ G : (f ◦ g)(a ∗ b) = f (g(a ∗ b)) = f (g(a) • g(b)) = f (g(a)) f (g(b)) = (f ◦ g)(a) (f ◦ g)(b)
Portanto, f ◦ g : (G, ∗) → (K, ) é um homomorfismo.
13. Seja f : (G, ∗) → (H, •) um homomorfismo e Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. Mostre que Ker(f ) é
um subgrupo de G.
Solução:
f
G
H
exG
f (x) = eH
Ker(f )
Por definição, Ker(f ) será um subgrupo de G se, e somente se,
a) Ker(f ) 6= ∅.
Pelo Exercício 11 temos que f (eG ) = eH , ou seja, eG ∈ Ker(f ). Consequentemente, Ker(f ) 6=
∅.
b) ∀ a, b ∈ Ker(f )
⇒
a ∗ b−1 ∈ Ker(f ).
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Sendo a, b ∈ Ker(f ), temos que f (a) = eH
e
f (b) = eH . Observe ainda que pelo Pelo
Exercício 11 vem que:
f (b−1 ) = f (b)−1 = e−1
H = eH .
Logo, se b ∈ Ker(f ) então b−1 ∈ Ker(f ). Portanto,
f (a ∗ b−1 ) = f (a) • f (b)−1 = eH • eH = eH .
Consequentemente, a ∗ b−1 ∈ Ker(f ).
O que nos força a concluir que Ker(f ) é um subgrupo de G.
14. Mostre que f : ZZ → 2ZZ dada por f (n) = 2n, para todo n ∈ ZZ é um isomorfismo de (ZZ, +) em
(2ZZ, +).
Solução: Sabemos que uma função f é um isomorfismo se, e somente se, f é um homomorfismo
de grupos e f é uma função bijetora.
f
ZZ
2ZZ
n
f (n) = 2n
Primeiramente mostremos que f : ZZ → 2ZZ, dada por f (n) = 2n, é um homomorfismo. De fato,
∀n1 , n2 ∈ ZZ
⇒
f (n1 + n2 ) = 2(n1 + n2 ) = 2n1 + 2n2 = f (n1 ) + f (n2 ),
ou seja, f : ZZ → 2ZZ é um homomorfismo.
Verifiquemos agora que a função f : ZZ → 2ZZ dada é bijetora.
a) f é sobrejetora. De fato, dado m ∈ 2ZZ, provemos que existe n ∈ ZZ tal que f (n) = m:
se m ∈ 2ZZ então existe n ∈ ZZ tal que m = 2n, ou seja, f (n) = 2n = m.
b) f é injetora. De fato, dados n1 , n2 ∈ ZZ, temos:
f (n1 ) = f (n2 )
⇒
2n1 = 2n2
⇒
n1 = n2 .
Portanto, f é sobrejetora e injetora, ou seja, f é bijetora. Como f é um homomorfismo, concluímos
que a f dada é um isomorfismo.
15. Seja a ∈ IR∗+ , com a 6= 0. Mostre que G = {an | n ∈ ZZ} é um subgrupo de (IR∗+ , ·). Além disso, prove
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que a função f : ZZ → G dada por f (n) = an define um homomorfismo de (ZZ, +) em (G, ·).
Solução: Primeiramente observe que o grupo multiplicativo (IR∗+ , ·) dos números reais positivos e
não nulos, possui como elemento neutro o número 1. Também para cada y ∈ (IR∗+ , ·) seu elemento
1
inverso é y −1 = .
y
a) Afirmamos que G = {an | n ∈ ZZ} é um subgrupo de (IR∗+ , ·). De fato, como a0 = 1 vem que
1 ∈ G, ou seja, G 6= ∅.
Sejam x, y ∈ G, ou seja, existem n, m ∈ ZZ tal que x = an e y = am . Sendo y −1 =
x · y −1 = x ·
1
temos:
y
1
x
an
= = m = an−m ∈ G,
y
y
a
pois sendo n, m ∈ ZZ, então n − m ∈ ZZ. Portanto, G é um subgrupo de (IR∗+ , ·).
b) A função f : ZZ → G dada por f (n) = an define um homomorfismo de (ZZ, +) em (G, ·).
f
ZZ
G
f (n) = an
n
De fato, como (ZZ, +) é um grupo aditivo, dados n, m ∈ ZZ temos:
f (n + m) = an+m = an · am = f (n) · f (m).
Portanto, a função f dada é um homomorfismo.
16. Prove que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função f : G → G definida por f (x) = x−1 é um
homomorfismo.
Solução:
f
G
G
f (x) = x−1
x
(⇒) Suponhamos que G é um grupo abeliano e mostremos que a função f : G → G definida por
f (x) = x−1 é um homomorfismo.
Sendo G é um grupo abeliano temos que
∀ x, y ∈ G ⇒ x ∗ y = y ∗ x.
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Além disso, lembre-se de que para todo x, y pertencentes a um grupo G, temos que x−1 , y −1
tamém pertencem a G, e (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 . Assim,
∀ x, y ∈ G ⇒ f (x ∗ y) = (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 = x−1 ∗ y −1 = f (x) ∗ f (y).
Portanto, a função f dada é um homomorfismo.
(⇐) Agora suponhamos que a função f : G → G definida por f (x) = x−1 é um homomorfismo e
mostremos que o grupo G é abeliano.
Primeiramente observe que f (x−1 ) = (x−1 )−1 = x. Consequentemente,
∀ x, y ∈ G ⇒ x ∗ y = f (x−1 ) ∗ f (y −1 ) = f (x−1 ∗ y −1 ) = f (y ∗ x)−1 = y ∗ x.
Portanto, o grupo G é abeliano.
17. Seja F (IR) = {g : IR → IR}.
a) Mostre que (F (IR), +) é um grupo com a operação soma de funções.
b) Considere a função φ : (F (IR), +) → (IR, +), definida por φ(g) = g(0) para todo g ∈ F (IR).
Mostre que φ é um homomorfismo.
Solução:
a) Sendo f, g : IR → IR, a função soma f + g é definida por
(f + g)(x) = f (x) + g(x).
Isto é f + g : IR → IR e consequentemente f + g ∈ F (IR). Uma vez que a soma de funções é
associativa, e a função f (x) = 0, para todo x ∈ IR, é tal que
f (x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x),
nos resta apenas verificar qual é o elemento inverso de g ∈ F (IR). Afirmamos que tal inverso é
dado pela função (−g)(x) = −g(x). De fato,
(g + (−g))(x) = g(x) + (−g(x)) = g(x) − g(x) = 0.
Portanto, (F (IR), +) é um grupo.
b)
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φ
F (IR)
g
IR
φ(g) = g(0)
Observe que:
∀f, g ∈ F (IR) ⇒ φ(f + g) = (f + g)(0) = f (0) + g(0) = φ(f ) + φ(g).
Portanto, φ é um homomorfismo.
18. Mostre que todo grupo cíclico é abeliano.
19. Mostre que S3 não é abeliano.
20. Se H e K são subgrupos de um grupo abeliano G, então HK é um subgrupo de G.
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Fim do Gabarito