Lista 2 - André Luiz Galdino

Universidade Federal de Goiás
Regional Catalão - IMTec
Disciplina: Álgebra I
2a Lista de Exercícios
Professor: André Luiz Galdino
25/03/2015
Aluno(a):
1. Seja X = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn } e Sn o conjunto de todas as funções bijetoras de X em X, ou seja,
Sn = {φ : X → X | φ é uma função bijetora}.
Mostre que Sn é um grupo com a operação de composição de funções. O grupo Sn é chamado de
Grupo Simétrico ou Grupo das permutações.
2. Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. Considere os seguintes conjuntos:
a) S −1 = {a−1 | a ∈ S}.
b) hSi = {a1 a2 a3 · · · an | n ∈ IN, ai ∈ S ou ai ∈ S −1 }.
Mostre que o conjunto hSi é um subgrupo de G, chamado de Subgrupo gerado por S
3. Seja S3 o grupo de todas as funções bijetoras do conjunto X = {x1 , x2 , x3 } nele mesmo, ou seja,

 
 
 
 
 

 x x x

x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 3
, 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 
S3 = 
 x x x
x2 x1 x3
x3 x2 x 1
x1 x3 x2
x 2 x3 x1
x3 x 1 x2 
1 2 3

onde a notação 
x1 x2 x3
xi xj xk

 representa a função tal que:
x1 → xi
x2 → xj
Considere as funções φ e ψ, dadas como segue:


x1 x 2 x3

φ=
x2 x 1 x3
x3 → xk

ψ=
x1 x 2 x3
x2 x 3 x1


Mostre que:
a) φ2 = e
c) ψ −1 = psi2
e) φψ = ψ −1 φ
b) ψ 3 = e
d) ψφ 6= φψ
f) S3 = hφ, ψi
4. Seja G um grupo e a ∈ G qualquer elemento. Mostre que o conjunto hai = {an | n ∈ ZZ} é um
subgrupo de G, chamado de subgrupo cíclico gerado por a.
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5. Dizemos que um grupo G é um grupo cíclico, se existe um elemento em a ∈ G tal que G = hai. Sendo
assim, mostre que:
a) o grupo aditivo dos inteiros ZZ é cíclico, gerado pelo número 1.
b) o grupo multiplicativo G = {−1, 1, −i, i} é cíclico, gerado por i, onde i2 = −1.
c) o grupo aditivo dos inteiros ZZ é cíclico, gerado pelo número −1.
d) o grupo multiplicativo G = {−1, 1, −i, i} é cíclico, gerado por −i, onde i2 = −1.
e) o grupo aditivo 2ZZ = {2k | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por 2.
f) o grupo aditivo nZZ = {nk | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por n.
g) o grupo aditivo nZZ = {nk | k ∈ ZZ} é cíclico, gerado por −n.
6. Mostre que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.
7. Considere o conjunto Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, tal que:
ij = k,
jk = i,
ki = j,
kj = −i,
ik = −j
ji = −k,
(±i)2 = (±j)2 = (±k)2 = 1.
Mostre que Q8 é um grupo, chamado de Grupo dos Quatérnios.
8. Mostre que (IN, ∗) não é um grupo, com a operação binária ∗ definida por x ∗ y = xy .
9. Mostre que:
a) D3 = {e, r, r2 , s, rs, r2 s} é um grupo, chamado de Grupo Diedral de Ordem 3, onde r3 = e, s2 = e
e sr = r2 s.
b) D4 = {e, r, r2 , r3 , s, rs, r2 s, r3 s} é um grupo, chamado de Grupo Diedral de Ordem 4, onde r4 = e,
s2 = e e sr = r3 s.
10. Verdadeiro ou Falso:
a) S3 tem pelo menos um subgrupo de ordem 2 e 3.
b) S3 possui um único subgrupo de ordem 5.
c) D4 possui pelo menos um subgrupo de ordem 2 e 4.
d) D4 possui pelo menos um subgrupo de ordem 3.
11. Seja f : (G, ∗) → (H, •) um homomorfismo. Sendo eG o elemento neutro de G e eH o elemento neutro
de H mostre que:
a) f (eG ) = eH .
b) f (x−1 ) = f (x)−1 .
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12. Seja g : (G, ∗) → (H, •)
e
f : (H, •) → (K, ) homomorfismos. Mostre que a composição f ◦ g :
(G, ∗) → (K, ), dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) é um homomorfismo.
13. Seja f : (G, ∗) → (H, •) um homomorfismo e Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. Mostre que Ker(f ) é
um subgrupo de G.
14. Mostre que f : ZZ → 2ZZ dada por f (n) = 2n, para todo n ∈ ZZ é um isomorfismo de (ZZ, +) em
(2ZZ, +).
15. Seja a ∈ IR∗+ , com a 6= 0. Mostre que G = {an | n ∈ ZZ} é um subgrupo de (IR∗+ , ·). Além disso, prove
que a função f : ZZ → G dada por f (n) = an define um homomorfismo de (ZZ, +) em (G, ·).
16. Prove que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função f : G → G definida por f (x) = x−1 é um
homomorfismo.
17. Seja F (IR) = {g : IR → IR}.
a) Mostre que (F (IR), +) é um grupo com a operação soma de funções.
b) Considere a função φ : (F (IR), +) → (IR, +), definida por φ(g) = g(0) para todo g ∈ F (IR).
Mostre que φ é um homomorfismo.
18. Mostre que todo grupo cíclico é abeliano.
19. Mostre que S3 não é abeliano.
20. Se H e K são subgrupos de um grupo abeliano G, então HK é um subgrupo de G.
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Fim da Lista de Exercícios
Boa Sorte!