Variáveis Aleatórias

Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Conceitos básicos
Conceitos básicos: Variável Aleatória
Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma experiência
aleatória.
Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas.
Exemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para
cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis:
Cara-Cara;
Cara-Coroa;
Coroa-Cara
e
Coroa-Coroa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas.
Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2; é uma variável aleatória
discreta.
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Conceitos básicos
Exemplo 2: O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada
empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos seus empregados.
O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado
escolhido ao acaso, X, é uma v.a. contínua.
Outros exemplos:
peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua.
nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta
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Conceitos básicos
Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades
Distribuição de Frequências
No contexto do Exemplo 1, suponha que se lançaram 100 vezes as duas
moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Frequência
relativa
Freq.
relativa
acumulada
26
0.26
0.26
1
50
0.50
0.76
2
24
0.24
1
Número
de caras
Frequência
absoluta
0
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas
por cada lançamento de duas moedas, em 100 lançamentos.
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Conceitos básicos
Podemos calcular a média, x , e a variância, s2, do nº de caras obtidas por
lançamento:
x = 0.26 × 0 + 0.5 ×1 + 0.24 × 2 = 0.98
(
)
1 n
1
2
2
s =
26 × 0 2 + 50 × 12 + 24 × 2 2 − 100 × 0.98 2 = 0.505
 ∑ n i x i − nx  =
n − 1  i =1
 99
2
Considere-se agora o Exemplo 2 e suponhamos que foram seleccionados ao
acaso 100 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados
recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar
desses 100 empregados estão sumariados na tabela seguinte.
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Conceitos básicos
Frequência
relativa
Freq.
relativa
acumulada
15
0.15
0.15
[300, 600[
40
0.4
0.55
[600, 900[
32
0.32
0.87
[900, 2000[
13
0.13
1
Rendimento
(em Euros)
Frequência
absoluta
[100, 300[
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos 100 empregados.
Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra:
x=
s=
200 × 15 + 450 × 40 + 750 × 32 + 1450 × 13
= 638.5
100
1 n
1
2
2
(
−
n
x
n
x
=
200 2 × 15 + L + 1450 2 × 13 − 100 × 638.5 2 ) = 366.04
∑


i i

n − 1  i =1
99
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Conceitos básicos
Distribuição de Probabilidades
Nos exemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num
estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso
n=100).
A distribuição de probabilidades da v.a. X descreve o que se esperaria
encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes.
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Conceitos básicos
Distribuição de probabilidades discreta
Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X com a probabilidade de
ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da
v.a. discreta X. A função de probabilidade de X é uma função f X que associa a
cada valor possível x de X a sua probabilidade: f X ( x) = P( X = x) . Tem-se que
∑f
X
( xi ) = 1 .
xi
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Conceitos básicos
Exemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no
lançamento de duas moedas
Número
de caras
xi
Probabilidade
P(X=xi)
0
0.25
1
0.50
2
0.25
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Conceitos básicos
Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ2 e
são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira:
µ = E ( X ) = ∑ xi f X ( xi ) = 0.25 × 0 + 0.5 × 1 + 0.25 × 2 = 1
i
2
2
2
2
2
2
2
σ 2 = Var( X ) = E((X − µX ) ) = E( X ) − (E( X )) = 0.25 × 0 + 0.50 × 1 + 0.25 × 2 − 1 = 0.5
A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada
função de distribuição cumulativa F(x), que, para cada x, nos dá a
probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a x:
F(x)=P(X≤
≤x) probabilidade acumulada até x
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Conceitos básicos
Para a v.a. do Exemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores
das probabilidades acumuladas até 0, 1 e 2, isto é, apresentando os valores de
F(x1), F(x2) e F(x3).
Número
de caras
xi
Probabilidade
P(X=xi)
F(xi)
0
0.25
0.25
1
0.50
0.75
2
0.25
1
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Conceitos básicos
Para outros valores de x ∈ R:
Se x<0, tem-se FX ( x) = P( X ≤ x) = 0 ;
Se 0≤x<1, tem-se FX ( x) = P( X ≤ x ) = P( X = 0) = f X (0) = 0.25 ;
Se 1≤x<2, tem-se FX ( x) = P( X ≤ x ) = P( X = 0) + P( X = 1) = f X (0) + f X (1) = 0.25 + 0.5 = 0.75 ;
Se x≥2,
FX ( x) = P( X ≤ x ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) = f X (0) + f X (1) + f X (2) = 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1 .
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Conceitos básicos
Resumindo,
 0
0.25

FX ( x) = 
0.75
 1
se
x<0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2 .
se x ≥ 2
Na figura seguinte representa-se FX graficamente.
Função de Distribuição
1
0,75
0,5
0,25
0
-1
0
1
2
3
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Conceitos básicos
Distribuição de probabilidades contínua
A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é
zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores
num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor
particular entre um nº infinito será zero).
Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser expressa na
forma tabular; usa-se então uma função para a exprimir.
Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a
função densidade de probabilidade (representada por f X (x) ), abreviadamente
fdp.
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Conceitos básicos
Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função
x
de distribuição cumulativa F ( x ) = P ( X ≤ x) =
∫f
−∞
X
(t ) dt donde F ' ( x ) = f ( x )
X
X
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Conceitos básicos
Vamos recorrer ao Exemplo 2 para ilustrar a utilidade destas funções.
Exemplo 2:
Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. X - rendimento
mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso – é
representada graficamente da seguinte maneira:
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Conceitos básicos
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada
(superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo das abcissas e
por a (à direita) [área sombreada].
[área sombreada]=P(X≤
≤a)=F(a)
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Conceitos básicos
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à
área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo
das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada].
[área sombreada]=P(a<X<b)=F(b)-F(a)
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Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e
inferiormente pelo eixo das abcissas é igual a 1, pois corresponde à
probabilidade de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita
de um empregado (escolhido ao acaso).
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Exemplo 3 :
O director de compras da empresa “Baratinho” pretende definir uma política de
aquisição de matéria-prima para o próximo ano. As necessidades de matériaprima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade
de probabilidade:
,0 ≤ x ≤ 2
1 − x / 2
f X ( x) = 
, outros valores
 0
+∞
2
2
−∞
0
0
µ = E ( X ) = ∫ xf X ( x)dx = ∫ x(1 − x / 2)dx = ∫ x − x 2 / 2dx =[x 2 / 2 − x 3 / 6]x =0 =
x=2
2
3
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Conceitos básicos
σ 2 = Var( X ) = E (( X − µ X ) 2 ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 =
+∞
2
2
2
[
]
2
x =2
2
 2
2
2
2
2
3
4
= ∫ x f X ( x)dx −   = ∫ x (1 − x / 2)dx −   = x / 3 − x / 8 x =0 −   =
9
 3
3
3
−∞
0
Função de distribuição cumulativa de X:
Se x<0, vem:
FX ( x ) = P(X ≤ x ) =
x
x
−∞
−∞
∫ f X (t ) dt = ∫ 0 dt = 0
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Conceitos básicos
Se 0≤x<2, vem:
FX ( x ) = P(X ≤ x ) =
x
0
x
−∞
−∞
0
∫ f X (t ) dt = ∫ f X (t ) dt + ∫ f X (t ) dt
x
 t2 
x2
 t
= ∫ 0 dt + ∫ 1 −  dt = 0 + t −  = x −
2
4
 4 0
−∞
0
x
0
Se x≥2 vem:
x
FX ( x) =
∫f
−∞
0
X
0
2
x
−∞
0
2
(t ) dt = ∫ f X (t ) dt + ∫ f X (t ) dt + ∫ f X (t ) dt
2
x
22
 x
= ∫ 0 dt + ∫ 1 −  dt + ∫ 0 dt = 0 + 2 − + 0 = 1
2
4
0
2
−∞
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Conceitos básicos
Resumindo,
 0 se x < 0

x2
FX ( x) =  x −
se 0 ≤ x < 2
4

1 se x ≥ 2

Na figura seguinte representa-se FX graficamente.
FX
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1
0
1
2
3
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Conceitos básicos
Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica
numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos X. Contudo, é
através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Exemplo
2).
A distribuição de probabilidades de X é usualmente designada por distribuição
populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ2, dizem-se
parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse
possível observar todos os elementos da população.
Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de
frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia,
respectivamente, da
distribuição
populacional e
da média e variância
populacional.
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Conceitos básicos
Propriedades da Esperança e da Variância:
Sejam X e Y variáveis aleatórias e a, b e c constantes reais. Então:
• E(c)=c
• E(cX)=cE(X)
• E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
• Var(c)=0
• Var(aX+b)=a2Var(X)
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