Conceitos básicos

Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Conceitos básicos: Variável Aleatória
Variável aleatória (v.a.)Æ valor numérico que é resultado de uma experiência
aleatória.
Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas.
Exemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para
cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis:
Cara-Cara;
Cara-Coroa;
Coroa-Cara
e
Coroa-Coroa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas.
Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2; é uma variável aleatória
discreta.
1
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Exemplo 2: O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada
empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos seus empregados.
O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado
escolhido ao acaso, X, é uma v.a. contínua.
Outros exemplos:
¾
peso de um indivíduo, em kg Æ v.a. contínua.
¾
nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente Æ v.a. discreta
2
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades
Distribuição de Frequências
No contexto do Exemplo 1, suponha que se lançaram 100 vezes as duas
moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados:
Frequência
relativa
Freq.
relativa
acumulada
26
0.26
0.26
1
50
0.50
0.76
2
24
0.24
1
Número
de caras
Frequência
absoluta
0
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas
por cada lançamento de duas moedas, em 100 lançamentos.
3
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Podemos calcular a média, x , e a variância, s2, do nº de caras obtidas por
lançamento:
x = 0.26 × 0 + 0.5 × 1 + 0.24 × 2 = 0.98
(
)
1
1 ⎛n
2
2⎞
n
x
n
x
=
26 × 0 2 + 50 × 12 + 24 × 2 2 − 100 × 0.98 2 = 0.505
−
s =
⎜∑ i i
⎟
n − 1 ⎝ i =1
⎠ 99
2
Considere-se agora o Exemplo 2 e suponhamos que foram seleccionados ao
acaso 100 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados
recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar
desses 100 empregados estão sumariados na tabela seguinte.
4
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Frequência
relativa
Freq.
relativa
acumulada
15
0.15
0.15
[300, 600[
40
0.4
0.55
[600, 900[
32
0.32
0.87
[900, 2000[
13
0.13
1
Rendimento
(em Euros)
Frequência
absoluta
[100, 300[
A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal
per capita do agregado familiar dos 100 empregados.
Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra:
x=
200 × 15 + 450 × 40 + 750 × 32 + 1450 × 13
= 638.5
100
1
1 ⎛n
2
2⎞
(
s=
200 2 × 15 + L + 1450 2 × 13 − 100 × 638.5 2 ) = 366.04
⎜ ∑ ni x i − nx ⎟ =
⎠
n − 1 ⎝ i =1
99
5
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição de Probabilidades
Nos exemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num
estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso
n=100).
A distribuição de probabilidades da v.a. X descreve o que se esperaria
encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes.
6
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição de probabilidades discreta
Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X com a probabilidade de
ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da
v.a. discreta X.
Exemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no
lançamento de duas moedas
Número
de caras
xi
Probabilidade
P(X=xi)
0
0.25
1
0.50
2
0.25
7
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ2 e
são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira:
µ = 0.25 × 0 + 0.5 × 1 + 0.25 × 2 = 1
σ 2 = 0.25 × 0 2 + 0.50 × 12 + 0.25 × 2 2 − 12 = 0.5
A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada
função de distribuição cumulativa F(x), que, para cada x, nos dá a
probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a x:
F(x)=P(X≤x) Æ probabilidade acumulada até x
8
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Para a v.a. do Exemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores
das probabilidades acumuladas até 0, 1 e 2, isto é, apresentando os valores de
F(x1), F(x2) e F(x3).
Número
de caras
xi
Probabilidade
P(X=xi)
F(xi)
0
0.25
0.25
1
0.50
0.75
2
0.25
1
9
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição de probabilidades contínua
A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é
zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores
num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor
particular entre um nº infinito será zero).
Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser expressa na
forma tabular; usa-se então uma função para a exprimir.
Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a
função densidade de probabilidade, abreviadamente fdp.
Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função
de distribuição cumulativa F(x)=P(X≤x).
10
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Vamos recorrer ao Exemplo 2 para ilustrar a utilidade destas funções.
Exemplo 2:
Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. X - rendimento
mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso – é
representada graficamente da seguinte maneira:
11
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
¾
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada
(superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo das abcissas e
por a (à direita) [área sombreada].
[área sombreada]=P(X≤a)=F(a)
12
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
¾
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado
(escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à
área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo
das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada].
[área sombreada]=P(a<X<b)=F(b)-F(a)
13
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e
inferiormente pelo eixo das abcissas é igual a 1, pois corresponde à probabilidade
de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita de um
empregado (escolhido ao acaso).
14
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica
numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos X. Contudo, é
através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Exemplo
2).
A distribuição de probabilidades de X é usualmente designada por distribuição
populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ2, dizem-se
parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse
possível observar todos os elementos da população.
Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de
frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia,
respectivamente,
da
distribuição
populacional
e
da
média
e
variância
populacional.
15
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é a distribuição discreta mais usada na inferência
estatística.
Prova de Bernoulli
Uma experiência aleatória que tem apenas dois resultados possíveis:
S≡Sucesso
e
F≡Fracasso
é dita uma Prova de Bernoulli.
Notação:
p=P(S)
e
q=P(F)=1-p .
16
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Considere-se agora a seguinte experiência aleatória:
• Realizam-se n provas de Bernoulli em idênticas condições;
• As provas são independentes, isto é, o resultado de uma prova não tem
qualquer efeito no resultado de uma outra;
• A probabilidade de sucesso, p, mantém-se inalterada de prova para prova.
Seja X o número de sucessos obtidos em n provas de Bernoulli.
A variável aleatória X tem distribuição binomial de parâmetros n e p: X~B(n,p).
17
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
A distribuição binomial tem as seguintes propriedades:
• tem valor médio µX = n * p
• tem variância σ2X = n * p * q
P(X=x) = nCx px qn-x, se x= 0, 1, …, n
n!
é o nº de maneiras diferentes de obter x sucessos em n
x!(n − x )!
provas de Bernoulli.
onde
nCx =
18
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Exemplo 1: A experiência aleatória que consiste no lançamento de uma moeda
é uma prova de Bernoulli.
Lançando duas moedas estamos a realizar duas provas de Bernoulli.
Considerando que os dois lançamentos são independentes e que as duas
moedas são idênticas e honestas, a v.a. considerada neste exemplo
X≡nº de caras obtidas no lançamento de duas moedas
tem distribuição Binomial de parâmetros n=2 e p=0.5
X ~ B(2, 0.5).
x
0
1
2
P (X=x)
0.25
0.5
0.25
19
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Exemplo 3: Suponhamos que se lança um dado 5 vezes. Qual é a
probabilidade de obter 2 quatros? E qual a probabilidade de obter no máximo 2
quatros?
Resolução:
Seja X a v.a. que representa o número de quatros obtidos em 5 lançamentos de
um dado.
X ~ B(5, 1/6).
As probabilidades pedidas são as seguintes,
P(X = 2) = 5C2 (1/6)2 (1-1/6)5-2 =0,1607
F(2)=P(X≤2) = P(X=0) + P (X=1) + P (X= 2) = 0,9645
20
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > Binomdist()
Syntax: BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)
Number_s
representa o número de sucessos.
Trials
representa o número de provas.
Probability_s
representa a probabilidade de Sucesso em cada prova
Cumulative
toma o valor lógico FALSE (0) ou TRUE (1), consoante a
função de que se trata a função de probabilidade
[P(X=x)] ou função cumulativa [P(X≤x)]
P(X=2) =BINOMDIST(2;5;1/6;0) = 0,1607
F(2)=P(X≤2) = P(X=0) + P (X=1) + P (X= 2) = BINOMDIST(2;5;1/6;1) = 0,9645
21
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais utilizadas dada a sua importância na
modelação de fenómenos. Esta distribuição de probabilidade pertence à classe
das distribuições contínuas.
A sua função densidade de probabilidade
(fdp) é dada por:
onde µ é o valor médio e σ > 0 é o desvio-padrão da distribuição.
22
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
O gráfico da fdp normal é a popular curva em forma de sino, conhecida por Curva
de Gauss ou Curva Normal. Esta curva depende dos dois parâmetros µ e σ.
23
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Características da Curva de Gauss:
¾ a curva é simétrica relativamente à recta vertical x = µ;
¾ a curva prolonga-se de -∞ a +∞ e nunca toca no eixo das abcissas (este
eixo é uma assimptota horizontal)
¾ Aos intervalos (µ-σ,µ+σ), (µ-2σ,µ+2σ) e (µ-3σ,µ+3σ) correspondem ,
respectivamente, 68.3%, 95.5% e 99.7% da área total sob a curva.
24
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
25
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Exemplo: Assuma que a corrente eléctrica medida num fio de cobre tem distribuição
normal de valor médio 10 Amp e variância 4 Amp2.
(a) Calcule a probabilidade da corrente eléctrica medida exceder os 13 Amp.
(b) Qual é a probabilidade de a corrente eléctrica medida estar entre os 9 e os 13 Amp?
(c) Determine o valor para o qual a probabilidade de a corrente estar abaixo desse valor é
de 0,98.
Resolução:
Seja X a v.a. que representa a corrente eléctrica medida num fio de cobre, em Amp.
X~ N (10, 22)
26
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > NORMDIST
Syntax: NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)
x
valor de x para o qual pretendemos calcular a
probabilidade P(X≤x)
Mean
valor médio da distribuição
Standard_dev Desvio-padrão da distribuição
Cumulative
Colocar 1 (TRUE) e obtém-se P(X≤x).
27
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
(a)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
P(X > 13) =
= 1 - P(X ≤ 13) =
= 1- 0,9332 =
= 0,0668
(b)
P( 9 ≤ X≤ 13) =
= P(X ≤ 13) – P(X < 9) =
= P(X ≤ 13) – P(X ≤ 9) =
= 0,9332 – 0,3085 =
= 0,6247
28
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
(c)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Pretende-se determinar x tal que P(X ≤ x) = 0,98
No Excel: Insert > Function > NORMINVDIST
Syntax: NORMINV(probability,mean,standard_dev)
probability
P(X ≤ x)
Mean
valor médio da distribuição
Standard_dev Desvio-padrão da distribuição
Donde, x =NORMINV(0,98;10;2) =
= 14,108
Logo, P(X ≤ 14,108) = 0,98
29
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal padrão é um caso particular da distribuição normal em que o valor
médio, µ, é igual a 0 e o desvio-padrão, σ, é igual a 1.
Uma v.a. X ~ N(µ, σ2) facilmente se transforma numa variável aleatória com distribuição
normal padrão. A transformação é a seguinte:
Z=
X−µ
~ N(0,1)
σ
A tabela da distribuição normal padrão
dá-nos a P(Z ≤ z) (ver tabela).
Querendo
determinar
P(X≤x),
basta
consultar P(Z ≤ z) com z = (x – µ) / σ.
30
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > NORMSDIST
Syntax: NORMSDIST(z)
z
z é o valor para o qual pretendemos calcular P(Z ≤ z)
Utilizando o exemplo anterior, na alínea (a) pretendia-se determinar P(X > 13) com
X~N(10, 22):
P(X > 13)= P(Z > z)
com
z = (13 – 10)/2 = 1,5.
Donde,
P(Z > 1,5)=
= 1 - P(Z ≤ 1,5) =
= 1 – 0,9332 = 0,0668
31
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Na alínea (c) pretendia-se determinar x tal que P(X ≤ x) = 0,98.
Também se pode utilizar a distribuição normal padrão para determinar o valor de x.
Determinemos z tal que P(Z≤ z) = 0,98
No Excel: Insert > Function > NORMSINV
Syntax: NORMSINV(probability)
probability
é a P(Z ≤ z)
Donde, z = 2,054 e temos que z = (x – µ) / σ.
Logo,
2,054 = (x – 10) / 2
⇔
x = 14,108
32
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição t-student
Algumas características da distribuição t-student com n graus de liberdade,
(abreviadamente tn):
- o
gráfico
da
função
densidade
de
probabilidade da t-student é simétrico em
relação ao eixo dos yy (recta x=0);
- à medida que n aumenta, n→+∝, a curva
da tn aproxima-se da curva normal
padrão N(0,1).
33
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
A distribuição tn está tabelada (consulte as probabilidades P(X≤x) com X ∼tn na tabela).
No Excel: Insert > Function > TDIST
Syntax: TDIST(x,degrees_freedom,tails)
x
valor para o qual pretendemos calcular a probabilidade
Degrees_freedom
nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade
tails
Se tails=1 a função dá o valor da probabilidade
considerando a área associada apenas a uma cauda
[TDIST = P(X>x )= P(X<-x)]. Se tails=2 a função dá o
valor da probabilidade da distribuição considerando a
área associada às duas caudas [TDIST = P(|X|>x)=
P(X<-x ou X>x)].
34
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Exemplo: Sendo X ~ t25, determine a probabilidade de P(X>2,06).
P(X< -2,06) = P(X>2,06) = TDIST(2,06; 25; 1) = 0,025
P(|X|>2,06) = P(X<-2.06) + P(X>2,06) = TDIST(2,06; 25; 2) = 0,05
35
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > TINV
Syntax: TINV(probability,degrees_freedom)
P(|X| > t)
x
P(|X| > t) = P(X < -t ou X > t)
Degrees_freedom
nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade
= P(X<-t
ou X>t) = TINV(0,05; 25) ⇒ t = 2,06
36
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição Qui-quadrado
A distribuição Qui-quadrado com k graus de liberdade (abreviadamente χ k2 )
não é simétrica.
A distribuição χ k2 está tabelada (consulte as
2
probabilidades P(X≤x) com X ∼ χ k na tabela);
37
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > CHIDIST
Syntax: CHIDIST(x,degrees_freedom)
x
Valor de x (com x>0) para o qual pretendemos calcular a
probabilidade P(X > x)
Degrees_freedom
nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade
Exemplo: Consideremos que X~ χ220.
Determine
a
probabilidade
de
P(X>31,41)?
P(X>31,41) =CHIDIST(31,41; 20) =
= 0,05
38
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > CHIINV
Syntax: CHIINV(probability,degrees_freedom)
probability
P(X > x)
Degrees_freedom
nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade
Consideremos que X~ χ215, determine x tal
que P(X>x)=0,05?
P(X>x)=0,05
⇒ x =CHIINV(0,05, 15)=
= 24,996
39
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
Distribuição F-Snedcor
Seja X uma v.a. que tem distribuição F de Snedcor com k1 e k2 graus de
liberdade, abreviadamente X∼ Fkk21 ou X∼Fk1, k2.
Esta distribuição não é simétrica.
Estão
disponíveis
várias
tabelas
para
esta
distribuição (ver, por exemplo, tabela).
40
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > FDIST
Syntax: FDIST(x,degrees_freedom1, degrees_freedom2)
x
Valor de x (com x > 0) para o qual se pretende calcular
P(X > x)
Degrees_freedom1 nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade do
numerador
Degrees_freedom2 nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade do
denominador
Exemplo: Consideremos que X~ F32.
P(X > 1) =
= FDIST(1;3;2) =
= 0,5352
41
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados
Dep. Matemática
Escola Superior de
Tecnologia de Viseu
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Conceitos básicos
No Excel: Insert > Function > FINV
Syntax: FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)
Probability
P(X > x)
Degrees_freedom1 nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade do
numerador
Degrees_freedom2 nº inteiro que indica o nº de graus de liberdade do
denominador
Suponhamos que se pretende calcular x tal
que P(X>x)=0,95, com X~ F43.
Logo x = FINV(0,95; 4; 3) =
= 0,1517
42
Carla Henriques e Manuel Reis
Tratamento Estatístico de Dados