Integrais de Funções Trigonométricas

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1. As seis integrais trigonométricas básicas
A lista a seguir contém as fórmulas de
integração que correspondem às seis regras
básicas de diferenciação trigonométrica.
Integrais de Funções Trigonométricas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Integrais de Funções Trigonométricas
1. As seis integrais trigonométricas básicas
1.As seis integrais trigonométricas básicas
2.Outras integrais trigonométricas
3.Combinações de funções trigonométricas
Integrais que Envolvem Funções Trigonométricas
Regra de Diferenciação
d
du
[sen u ] = cos u dx
dx
∫ cos u du = sen u + C
d
du
[cos u ] = −sen u dx
dx
∫ sen u du = −cos u + C
d
du
[ tg u ] = sec 2 u dx
dx
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Para cada regra de diferenciação há uma
regra de integração correspondente. Por exemplo,
à regra de diferenciação
d
du
cos u ] = −sen u
[
dx
dx
corresponde a regra de integração
∫ sen u du = − cos u du + C
Regra de Integração
∫ sec
2
u du = tg u + C
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Integrais que Envolvem Funções Trigonométricas
Regra de Diferenciação
d
du
[sec u ] = sec u tg u dx
dx
d
du
[cotg u ] = −cossec 2 u dx
dx
d
du
[cos sec u ] = − cos sec u cotg u dx
dx
Regra de Integração
∫ sec u tgu du = sec u + C
∫ cos sec
2
u du = −cotg u + C
∫ cos sec u cotg u du = − cos sec u + C
1
1. As seis integrais trigonométricas básicas
1. As seis integrais trigonométricas básicas
OBS: Esta relação dá fórmulas para integrar
apenas duas das seis funções trigonométricas: a
função seno e a função cosseno. A relação não
mostra como integrar as outras quatro funções
trigonométricas. As regras correspondentes serão
dadas mais adiante nesta aula.
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Exemplo 2: Calcule a integral
∫ 3 x sen x
2
3
dx
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = x3. Então du = 3x2dx
Exemplo 1: Calcule a integral
∫ 2cos x dx
∫ 3 x sen x
2
1. As seis integrais trigonométricas básicas
3
(
)
dx = ∫ sen x 3 3 x 2 dx
Reescrever o integrando
= ∫ senu du
Substituir x3 e 3x2dx
= −cosu + C
Integrar
= −cos x 3 + C
Substituir u
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = x, então du = dx
Exemplo 3: Calcule a integral
∫ 2cos x dx = 2∫ cos x dx
Regra do Múltiplo Constante
= 2∫ cosu du
Substituir x e dx
= 2senu + C
Integrar
= 2sen x + C
Substituir u
∫ sec 3x tg3 x dx
2
1. As seis integrais trigonométricas básicas
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = 3x. Então du = 3dx
1
Os dois exemplos seguintes utilizam a Regra
Geral da Potência e a Regra Log para integração.
∫ sec 3 x tg3 x dx = 3 ∫ ( sec 3 x tg3 x ) 3dx
Multiplicar e dividir
por 3
1
= ∫ sec u tg u du
3
Substituir 3x e 3dx
=
1
sec u + C
3
Integrar
=
1
sec 3 x + C
3
Substituir u
1. As seis integrais trigonométricas básicas
∫ e sec e
x
2
x
dx
x
Regra do Log
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = ex, então du = exdx
2
du dx
dx = ln u + C
u
Regra Geral da Potência
A chave para a utilização dessas duas regras
é a substituição u adequada. Assim é que, no
próximo exemplo, a escolha adequada de u é sen 4x.
1. As seis integrais trigonométricas básicas
x
∫
du
u n +1
dx =
+ C, n ≠ −1
dx
n +1
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Exemplo 4: Calcule a integral
∫ e sec e
n
∫u
(
)
dx = ∫ sec 2e x e x dx
Exemplo 5: Calcule a integral
Reescrever o integrando
= ∫ sec 2u du
Substituir ex e exdx
= tgu + C
Integrar
= tg e x + C
Substituir u
∫ sen
2
4 x cos 4 x dx
3
1. As seis integrais trigonométricas básicas
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = sen 4x, então du/dx = 4 cos4x
u2
Exemplo 7: Calcule a integral definida
∫
du dx
1
2
2
∫ sen 4 x cos 4 x dx = 4 ∫ ( sen 4 x ) ( 4cos 4 x ) dx
π 4
0
cos 2x dx
1
1 u3
1 ( sen 4 x )
= ∫ u 2du =
+C =
+C
4
4 3
4
3
1
=
sen3 4 x + C
12
3
1. As seis integrais trigonométricas básicas
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Exemplo 6: Calcule a integral
∫
sen x
∫ cos x dx
0
1. As seis integrais trigonométricas básicas
sen x
= −∫
du dx
dx
u
π 4
1
1
1

cos 2 x dx =  sen 2 x  = − 0 =
2
2
2
0
1. As seis integrais trigonométricas básicas
Seja u = cosx. Então du/dx = -sen x
∫ cos x dx = − ∫
π 4
−sen x
dx
cos x
Exemplo 8: Calcule a área da região delimitada
pelo eixo x e por um arco do gráfico de y = sen x
Reescrever o integrando
Substituir cos x e –sen x
= − ln u + C
Regra do Log
= − ln cos x + C
Substituir u
4
1. As seis integrais trigonométricas básicas
2. Outras integrais trigonométricas
Estabelecem-se de maneira análoga as
fórmulas de integração para as outras três
funções trigonométricas. Por exemplo, para
integrar a função secante, temos:
∫ sec x dx = ∫
=∫
sec x ( sec x + tg x )
dx
sec x + tg x
sec 2 x + sec x tg x
dx
sec x + tg x
Utilizar a substituição com
u = sec x + tg x
= ln sec x + tg x + C
1. As seis integrais trigonométricas básicas
28
2. Outras integrais trigonométricas
Conforme indicado na figura anterior, esta
área é dada por
π
Resumimos a seguir estas fórmulas e as
fórmulas de integração para as outras duas
funções trigonométricas.
Área = ∫ sen x dx = [ − cos x ]0
π
0
= − ( −1) − (1)  = 2
29
2. Outras integrais trigonométricas
2. Outras integrais trigonométricas
No início desta aula foram dadas as regras
para integração das funções seno e cosseno. Com o
resultado do Exemplo 6, temos agora uma regra
para a integração da função tangente:
Integrais de Funções Trigonométricas
∫ tg u du = − ln cos u + C
∫ sec u du = ln sec u + tgu + C
∫ cotg u du = ln sen u + C
∫ cos sec u du = ln cos sec u − cotg u + C
sen x
∫ tg x dx = ∫ cos x dx = − ln cos x + C
27
30
5
2. Outras integrais trigonométricas
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
Exemplo 9: Calcule a integral
Exemplo 10: Calcule a integral
∫ tg 4x dx
∫ cos x dx
3
31
2. Outras integrais trigonométricas
3. Combinações
trigonométricas
Seja u = 4x. Então du = 4dx
1
∫ tg4 x dx = 4 ∫ ( tg4 x ) 4dx
1
tg u du
4∫
1
= − ln cos u + C
4
1
= − ln cos 4 x + C
4
=
3. Combinações
trigonométricas
de
34
Reescrever o integrando
Substituir 4x e 4dx
de
funções
Solução: A simples substituição u = cos x não
ajuda, pois du = - sen x dx. Para integrarmos as
potências de cosseno, necessitaríamos de um fator
extra sen x. Dessa forma, podemos separar um
fator cosseno e converter o fator cos2x restante
em uma expressão envolvendo o seno usando a
identidade sen2x + cos2x = 1.
Regra da Tangente
Substituir u
32
funções
35
3. Combinações
trigonométricas
Vamos
agora
usar
as
identidades
trigonométricas para integrar certas combinações
de funções trigonométricas, começando com as
potências de seno e cosseno.
de
funções
Podemos
então
avaliar
a
integral
substituindo u = sen x, assim du = cos x dx e
33
36
6
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
)
(
funções
Solução: Poderíamos converter
cos2x
para
1 - sen2x, mas ficaríamos com uma expressão em
termos de sen x sem um fator extra cos x. Em vez
disso, separamos um único fator de seno e
reescrevemos o fator sen4x restante em termos
de cos x.
3
2
∫ cos x dx = ∫ cos x ⋅ cos x dx
(
de
)
= ∫ 1 − sen2 x ⋅ cos x dx = ∫ 1 − u2 ⋅ du =
(
sen5 x cos2 x = sen2 x
u3
1
=u−
+ C = sen x − sen3 x + C
3
3
(
= 1 − cos2 x
)
2
)
2
⋅ cos2 x ⋅ sen x
⋅ cos2 x ⋅ sen x
37
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
40
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
Substituindo u = cos x, temos du = -sen x
Em geral tentamos escrever um integrando
envolvendo as potências de seno e cosseno em uma
forma onde temos somente um fator seno (e o
restante da expressão em termos de seno). A
identidade sen2x + cos2x = 1 nos permite a
interconversão de potências pares de seno e
cosseno.
dx, teremos
∫ sen x cos x dx = ∫ ( sen x ) ⋅ cos x ⋅ sen x dx
= ∫ (1 − u ) ⋅ u ⋅ ( −du ) = − ∫ (1 − 2u + u ) ⋅ u ⋅ du
5
2
2
2
2
2
(
2
2
2
4
2
)
u3
u5 u7
+2 −
+C
3
5
7
1
2
1
= − cos3 x + cos5 x − cos7 x + C 41
3
5
7
= − ∫ u 2 − 2u 4 + u 6 du = −
38
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Exemplo 11: Calcule a integral
∫ sen x cos
5
2
de
funções
Nos exemplos anteriores, uma potência
ímpar de seno e cosseno nos permitiu separar um
único fator e converter a potência par
remanescente. Se um integrando contém potências
pares tanto para seno como para cosseno, essa
estratégia falha. Nesse caso, podemos aproveitar
as identidades dos ângulos-metade.
x dx
sen2 x =
39
1
1
(1 − cos 2x ) e cos2 x = (1 + cos 2x )
2
2
42
7
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
Solução: Podemos escrever sen4x = (sen2x)2 e usar
uma fórmula do ângulo-metade:
Exemplo 12: Calcule a integral
π
∫ sen x dx
2
∫ sen x dx = ∫ (
0
4
=
2
 1 − cos 2x 
sen x dx = ∫ 
 dx
2


2
)
2
(
)
1
1 − 2cos 2x + cos2 2x dx
∫
4
43
3. Combinações
trigonométricas
de
46
funções
3. Combinações
trigonométricas
Solução: Se escrevermos sen2x = 1 - cos2x, a
integral não é mais simples para se avaliar. Usando
a fórmula do ângulo-metade para sen2x, contudo,
temos:
π
de
Como cos22x ocorre, precisamos usar outra
fórmula do ângulo-metade:
cos2 2x =
π
π
1
1
1

∫0 sen x dx = 2 ∫0 (1 − cos 2x ) dx =  2  x − 2 sen2x  
0
2
=
funções
1
(1 + cos 4 x )
2
1
1
1
 1
 π
π − sen2π  −  0 − sen0  =
2 
2
2
 2
 2
44
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
47
3. Combinações
trigonométricas
Exemplo 13: Calcule a integral
de
funções
Isso resulta em:
1 
1

∫ sen x dx = 4 ∫ 1 − 2cos2x + 2 (1 + cos 4 x ) dx
∫ sen x dx
4
4
45
=
1 3
1

− 2cos 2x + cos 4 x  dx

∫
4 2
2

=
13
1

x − sen2x + sen 4 x  + C

42
8

48
8
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Para resumir, listamos as regras a seguir
quando avaliamos as integrais da forma:
∫ sen
m
de
funções
c) Se as potências de seno e cosseno são pares,
utilizamos as identidades dos ângulos-metade.
x cosn x dx
sen2 x =
onde m ≥ 0 e n ≥ 0 são inteiros.
1
(1 − cos 2 x )
2
cos2 x =
1
(1 + cos 2x )
2
Algumas vezes é útil usar a identidade
sen x cos x =
1
sen2 x
2
49
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Estratégia para avaliar
∫ sen
m
x cosn x dx
a) Se a potência do cosseno é ímpar (n = 2k + 1), guarde
um fator cosseno e use cos2x = 1 – sen2x para
expressar os fatores remanescentes em termos de
seno:
(
)
(
)
k
= ∫ senm x 1 − sen2 x cos x dx
Nesse caso, substitua u = sen x.
de
funções
(
x cosn x dx = ∫ sen2 x
(
Podemos utilizar uma estratégia semelhante
para avaliar as integrais da forma
∫ tg
m
)
)
x sec n x dx
53
3. Combinações
trigonométricas
2 k +1
funções
50
b) Se a potência de seno é ímpar (m = 2k + 1), guarde um
fator seno e use sen2x = 1 – cos2x para expressar os
fatores remanescentes em termos de cosseno:
∫ sen
de
Como (d/dx) tg x = sec2x, podemos separar
um fator sec2x e converter a potência (par) de
secante remanescente para uma expressão
envolvendo a tangente utilizando a identidade
sec2x = 1 + tg2x.
k
m
m
2 k +1
2
∫ sen x cos x dx = ∫ sen x cos x cos x dx
3. Combinações
trigonométricas
52
k
de
funções
Ou, como (d/dx) sec x = sec x tg x, podemos
separar um fator sec x tg x e converter a potência
(par) da tangente remanescente para secante.
cosn x senx dx
k
= ∫ 1 − cos2 x cosn x senx dx
Então substitua u = cos x. [Note que se ambos os
fatores de seno e cosseno são ímpares, podemos usar
(a) ou (b).
51
54
9
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
6
4
funções
Solução: Se separarmos um fator sec2θ como no
exemplo anterior, ficaremos com um fator sec2θ, que
não é facilmente convertido para tangente. Contudo, se
separarmos um fator sec θ tg θ, poderemos converter a
potência remanescente de tangente para uma
expressão envolvendo apenas a secante usando a
identidade tg2θ = sec2θ - 1. Poderemos então avaliar a
integral substituindo u = sec θ, assim du = sec θ tg θ d θ.
Exemplo 14: Calcule a integral
∫ tg x sec
de
x dx
55
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
(
(
)
3. Combinações
trigonométricas
de
7
(
)
6
2
(
)
(
2
)
= ∫ u 2 − 1 u 6du = ∫ u 4 − 2u 2 + 1 u 6du
(
)
)
u11
u9 u7
−2 +
+C
11
9
7
1
2
1
= sec11 θ − sec 9 θ + sec 7 θ + C
59
11
9
7
= ∫ u10 − 2u 8 + u 6 du =
u7 u9
1
1
+
+ C = tg7 x + tg9 x + C
7
9
7
9
56
funções
3. Combinações
trigonométricas
Exemplo 15: Calcule a integral
de
funções
Os exemplos anteriores mostram
estratégias para avaliar as integrais da forma
∫ tg θ sec θ dθ
5
4
= ∫ sec 2 θ − 1 sec 6θ sec θ tgθdθ
= ∫ tg6 x 1 + tg2 x sec 2 x dx = ∫ u 6 1 + u 2 du
= ∫ u 6 + u 8 du =
funções
5
6
4
6
2
2
∫ tg x sec x dx = ∫ tg x sec x sec x dx
)
de
∫ tg θ sec θ dθ = ∫ tg θ sec θ sec θ tgθdθ
Solução: Se separarmos um fator sec2x, poderemos
expressar o fator remanescente em termos de
tangente usando a identidade sec2x = 1 + tg2x. Podemos
então avaliar a integral substituindo u = tg x com
du = sec2xdx.
(
58
7
∫ tg
m
as
x sec n x dx
para dois casos, resumidos aqui.
57
60
10
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Estratégia para avaliar
∫ tg
m
x sec n x dx
a) Se a potência da secante é par (n = 2k, k ≥ 2), guarde um
fator de sec2x e use sec2x = 1 + tg2x para expressar os
fatores remanescentes em termos de tg x.
∫ tg
(
)
)
sec 2 x dx
x sec 2k x dx = ∫ tgm x sec 2 x
m
(
= ∫ tgm x 1 + tg2 x
k −1
k −1
de
funções
Também precisaremos da integral indefinida
da secante:
∫ sec x dx = ln sec x + tg x + C
sec 2 x dx
Assim, substitua u = tg x.
61
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
b) Se a potência da tangente é ímpar (m = 2k + 1), guarde
um fator de sec x tg x e use tg2x = sec2x - 1 para
expressar os fatores remanescentes em termos de
sec x.
(
2 k +1
∫ tg
x sec n x dx = ∫ tg2 x
(
64
)
)
k
de
funções
Exemplo 16: Calcule a integral
∫ tg x dx
3
sec n −1x sec x tg x dx
k
= ∫ sec 2 x − 1 sec n −1x sec x tg x dx
Então substitua u = sec x.
62
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
65
3. Combinações
trigonométricas
funções
Solução: Aqui apenas tg x ocorre; então usamos
tg2x = sec2x – 1 para reescrever um fator tg2x em
termos de sec2x.
Para outros casos as regras não são tão
simples. Talvez seja necessário usar as
identidades, a integração por partes e,
ocasionalmente, um pouco de engenhosidade.
Algumas vezes precisaremos integrar tg x utilizando a expressão
∫ tg x dx = ∫ tg x tg x dx = ∫ tg x ( sec x − 1) dx
= ∫ ( tg x sec x − tg x ) dx = ∫ tg x sec x dx − ∫ tg x dx
3
2
2
∫ tg x dx = − ln cos x + C
63
2
2
= ∫ u du − ∫ tg u du =
−1
∫ tg x du = ln cos x + C
∫ tg x du = ln sec x + C
de
=
u2
− ln sec u + C
2
tg2 x
− ln sec x + C
2
66
11
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Se uma potência par de tangente aparece
com uma potência ímpar de secante, é útil
expressar o integrando completamente em termos
de sec x. As potências de sec x podem requerer a
integração por partes, como mostrado no exemplo
a seguir.
de
funções
Então
∫ sec x dx = sec x tg x − ∫ sec x dx + ∫ sec x dx
∫ sec x dx + ∫ sec x dx = sec x tg x + ∫ sec x dx
2∫ sec x dx = sec x tg x + ∫ sec x dx
3
3
3
3
3
∫ sec x dx = 2 ( sec x tg x + ln sec x tg x ) + C
1
3
67
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
70
3. Combinações
trigonométricas
Exemplo 17: Calcule a integral
∫ sec
3
de
funções
As integrais da forma
∫ cotg
m
x dx
x cos sec n xdx
podem ser encontradas por métodos similares por
causa da identidade 1 + cotg2x = cosssec2x.
68
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Solução: Aqui integramos por partes com
u = sec x
dv = sec 2 x dx
du = sec x tg x dx
v = tg x
3
de
funções
Finalmente, podemos usar outras identidades trigonométricas
∫ sec x dx = sec x tg x − ∫ sec x tg x dx
= sec x tg x − ∫ sec x ( sec x − 1) dx
= sec x tg x − ∫ sec x dx + ∫ sec x dx
Então
71
2
2
3
69
72
12
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
3. Combinações
trigonométricas
Para avaliar as integrais
1
∫ sen 4x cos5 x dx = ∫ 2 sen ( − x ) + sen9 x  dx
(b)∫ sen mx sennx dx
(c)∫ cos mx cosnx dx
=
use a identidade correspondente:
73
de
funções
Solução: Essa integral pode ser avaliada
utilizando-se integração por partes, mas é mais
fácil usar a identidade anterior, como a seguir:
(a)∫ sen mx cos nx dx
3. Combinações
trigonométricas
de
1
1

cos x − cos9 x  + C

2
9

76
funções
(a) sen A cos B =
1
 sen ( A − B ) + sen ( A + B ) 
2
(b) sen A sen B =
1
cos ( A − B ) − cos ( A + B ) 
2
(c) cos A cos B =
1
cos ( A − B ) + cos ( A + B ) 
2
74
3. Combinações
trigonométricas
de
funções
Exemplo 18: Calcule a integral
∫ sen 4x cos 5 x dx
75
13