Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 17
2 de julho de 2011
Aula 17
Pré-Cálculo
1
Trigonometria
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Pré-Cálculo
2
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo
funções trigonométricas
(seno de um ângulo)
(seno de um número real)
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3
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo
funções trigonométricas
(seno de um ângulo)
(seno de um número real)
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4
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo
funções trigonométricas
(seno de um ângulo)
(seno de um número real)
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5
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo
funções trigonométricas
(seno de um ângulo)
(seno de um número real)
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6
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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7
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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8
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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9
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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10
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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11
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
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14
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
C
a
b
B
b =
sen(B)
cateto oposto
hipotenusa
b =
tg(B)
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A
c
=
b
,
a
b =
cos(B)
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b
b0
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
e
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
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22
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b
b0
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b0
b
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b0
b
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b0
b
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b0
b
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
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Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
b e sen(B)
b dependem apenas do ângulo B
b mas não do
Importante: cos(B)
b
tamanho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0
⇒
b0
b
=
0
a
a
⇒
b 0 ) = sen(B)
b
sen(B
e
c0
c
=
0
a
a
b 0 ) = cos(B).
b
cos(B
e
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
C
a
b
a
B
b
c
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A
B
c
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A
28
Identidade trigonométrica fundamental
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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29
Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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30
Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
= 2 =1
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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Identidade trigonométrica fundamental
C
a
b
B
c
A
2 2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
b
b
= 2 =1
cos(B)
+ sen(B)
= 2+ 2 =
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
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36
Notações
b significa
cos2 (B)
2
b
cos(B)
e
b significa
sen2 (B)
2
b
.
sen(B)
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
b + sen2 (B)
b = 1.
cos2 (B)
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37
Notações
b significa
cos2 (B)
2
b
cos(B)
e
b significa
sen2 (B)
2
b
.
sen(B)
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
b + sen2 (B)
b = 1.
cos2 (B)
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38
Notações
b significa
cos2 (B)
2
b
cos(B)
e
b significa
sen2 (B)
2
b
.
sen(B)
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
b + sen2 (B)
b = 1.
cos2 (B)
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39
Notações
b significa
cos2 (B)
2
b
cos(B)
e
b significa
sen2 (B)
2
b
.
sen(B)
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
b + sen2 (B)
b = 1.
cos2 (B)
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40
Notações
b significa
cos2 (B)
2
b
cos(B)
e
b significa
sen2 (B)
2
b
.
sen(B)
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
b + sen2 (B)
b = 1.
cos2 (B)
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Funções Trigonométricas
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17
Pré-Cálculo
49
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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50
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R → C pondo
2 πs
G(s) = E
,
para todo s real.
360
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede s graus.
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51
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R → C pondo
2 πs
G(s) = E
,
para todo s real.
360
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede s graus.
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Pré-Cálculo
52
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
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53
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que
2πrad = 360◦ , ou seja,
360 ◦
1rad =
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
2π
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54
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que
2πrad = 360◦ , ou seja,
360 ◦
1rad =
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
2π
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55
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que
2πrad = 360◦ , ou seja,
360 ◦
1rad =
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
2π
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56
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que
2πrad = 360◦ , ou seja,
360 ◦
1rad =
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
2π
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57
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
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Pré-Cálculo
58
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
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59
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
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60
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
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61
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
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62
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real t
dá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,
usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,
também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cada
s em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa e
a ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
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Pré-Cálculo
63
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 17
Pré-Cálculo
64
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
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Pré-Cálculo
65
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
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Pré-Cálculo
66
O gráfico da função seno
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html)
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67
O gráfico da função cosseno
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html)
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68