Res QA1.1

Nome _________________________________
Nº ____
Data: ___ / ___ / ___
Nome _________________________________
Nº ____
11.º Ano Turma: ___
Professor ____________________________ __
Classificação ________________
Questão Aula – RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
Apresente todas as explicações de forma clara e organizada,
indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
(45)
1.
Na figura seguinte está representado um cubo de aresta a.
Estão também desenhadas duas das diagonais espaciais (e) desse cubo.
Determine a amplitude do menor ângulo formado pelas diagonais espaciais do cubo.
Apresente o resultado em graus, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades).
Como as diagonais se cruzam no centro do cubo e formam dois triângulos isósceles, traçando a
altura de um desses triângulos em relação à base a obtemos triângulos retângulos, sendo 2 o
ângulo das duas diagonais, conforme ilustra a figura da direita.
Conhecendo o cateto
a
2
e a hipotenusa
e
2
, pela razão seno podemos
descobrir a amplitude de .
Calculemos a medida da diagonal espacial do cubo.
Temos e2  a2  a2  a 2  e2  3a 2  e   3a 2  e   3a
Outro processo: aplicar duas vezes o teorema de Pitágoras.
Sendo e  0 , temos e  3a
Temos se n  
a
2
e
2
Assim,   sen1

2a a
a
1
 

2e e
3a
3
1
 35, 2643...
3
Portanto, 2  70,5287...
2  70º 0,5287... 60' = 70º 31,7267...' = 70º 31'  0,7267... 60'' = 70º 31' 43,6057...''
Logo, o ângulo das diagonais espaciais do cubo é 70º 31' 44''
Matemática A – 11º Ano
Questões Aula
2.
Para maior segurança, a distância da base de uma escada de pedreiro até à parede deve ser
igual a um quarto do comprimento dessa escada.
(30)
2.1. Determine a amplitude do angulo  (inclinação da escada), com uma
casa decimal, que uma escada nesta posição faz com o chão.
Como temos a hipotenusa (e) e sabemos que o cateto adjacente a  mede
1
4
e , podemos aplicar a razão cosseno para descobrir a amplitude de .
Temos cos  
1
4
e e 1


e 4e 4
Assim,   cos1
1
 75,5224...
4
Portanto,   75,5º (1 c.d.)
(30)
2.2. Será que esse ângulo depende do comprimento da escada? Justifique adequadamente.
O ângulo não depende do comprimento da escada porque independentemente do comprimento da
escada, o cateto adjacente mede
1
4
e.
Desta forma, mantendo a razão de
1
4
entre o cateto adjacente e a hipotenusa (escada) obtemos
sempre triângulos semelhantes (lados proporcionais e ângulos iguais).
Assim, os ângulos agudos dos triângulos retângulos que se formam têm sempre a mesma
amplitude.
Matemática A – 11º Ano
Questões Aula
(45)
3.
No cimo de dois postes encontram-se duas gaivotas, A e B, que avistam um caranguejo C a
rastejar no chão. No mesmo instante, as duas gaivotas voam em linha reta para apanhar o
caranguejo, tal como sugere a imagem seguinte.
Ambas as gaivotas voam à mesma velocidade e chegam ao caranguejo ao mesmo tempo.
Determine a distância inicial entre as gaivotas, com aproximação ao decímetro.
Nota: Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios mantenha, pelo menos, 3 casas decimais.
A distância inicial entre as duas gaivotas corresponde ao comprimento do segmento AB.
Como as duas gaivotas partiram ao mesmo tempo, voaram à mesma velocidade e chegaram
ao mesmo tempo, então percorreram a mesma distância. Isto significa que as hipotenusas
dos dois triângulos são iguais, isto é, AC  BC .
Assim, ABC é um triângulo isósceles, cujo
ângulo
oposto
à
base
AB
mede

C  180º 40º 50º  90º .
Traçando a altura do triângulo ABC em relação
ao vértice C ficamos com dois triângulos retângulos cujos ângulos agudos medem 45º.
Como temos um ângulo agudo e um cateto do triângulo da esquerda podemos descobrir a
medida da hipotenusa BC.
Temos: sen 40º 
20
20
 BC 
 BC  31,1144...
sen 40º
BC
20
BC
ou cos 50º 
Agora podemos descobrir a medida do cateto BE
Temos: cos 45º 
BE
BC
 BE  BC  cos 45º  BE 
ou s en 45º 
BE
BC
20
20 cos 45º
 cos 45º  BE 
sen 40º
sen 40º
Portanto, a distância inicial entre as gaivotas é AB  2 
20 cos 45º
= 44,0025...
sen 40º
Quer dizer, as duas gaivotas estavam a uma distância aproximada de 44,0 metros.
Nota: Neste caso, ABC é um triângulo retângulo isósceles (agudos agudos de 45º). Assim,
a hipotenusa AB obtém-se diretamente de cos 45º ou pelo Teorema de Pitágoras.
Matemática A – 11º Ano
Questões Aula
(50)
4.
Um barco B aproxima-se da costa.
A uma determinada distância da costa observou um farol F através de um ângulo de
elevação de 25º. Depois de andar 150 metros em direção ao farol, o ângulo de elevação
aumentou para 42º, tal como sugere a figura abaixo.
Determine a que distância estava o barco da base do farol quando o avistou pela primeira
vez. Apresente o resultado com aproximação ao decímetro.
Nota: Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios mantenha, pelo menos, 3 casas decimais.
Pretendemos determinar BA . Já sabemos que BA  150  CA .
Como já temos dois triângulos retângulos, podemos aplicar as razões trigonométricas de moda a
aproveitar os ângulos agudos.
Como há duas medidas desconhecidas, CA  x e AF  y (para simplificar a escrita), vamos
escrever um sistema de duas equações nestas duas incógnitas:
y

tan 25º  150  x

tan 42º  y

x
Resolvendo o sistema vem, sucessivamente,
150  x  tan 25º  y

 y  x  tan 42º
150 tan 25º  x tan 25º  x tan 42º
 
 y  x  tan 42º
 x tan 25º  x tan 42º  150 tan 25º
 
 y  x  tan 42º
150 tan 25º

x 
 
tan 25º  tan 42º
 y  x  tan 42º
Portanto, BA  150 

 x  tan 25º  tan 42º   150 tan 25º
 

 y  x  tan 42º
150 tan 25º

 x  tan 25º  tan 42º
 
 y  150 tan 25º  tan 42º
tan 25º  tan 42º

150 tan 25º
= 311,1304…
tan 25º  tan 42º
O barco estava 311,1 metros do farol quando o avistou pela primeira vez.
Matemática A – 11º Ano
Questões Aula