VETORES: O TRATAMENTO ALGÉBRICO

VETORES: O TRATAMENTO
ALGÉBRICO
Observe que:
Dados dois vetores v1 e
v2 não-paralelos,
para cada vetor
v representado no
mesmo plano de v1 e v 2 , existe uma só
dupla de números reais a1 e a2 tal que
v  a1 v1  a2 v2
v é combinação
linear de v1 e v2
O conjunto B = {v1 , v2} é chamado base.
Trataremos apenas da base ortonormal (seus
vetores são unitários e ortogonais) que
determina o sistema cartesiano xoy.
Os vetores ortogonais e unitários são
simbolizados por i e j, ambos com oriem em O
e extremidades em (1, 0) e (0, 1).
Então, dado um vetor v do plano, existe uma
só dupla de números reais x e y tal que
v  xi  y j
O vetor v também será representado por v = (x, y)
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de
números reais.
Exemplos:
3 i  5 j  (3,5)
i  j  (1,1)
 4i  (4,0)
0  (0,0)
De forma análoga, no espaço temos a base
canônica { i, j, k } como aquela que irá
determinar o sistema cartesiano ortogonal
Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a
dois ortogonais, estão representados com
origem no ponto O.
Então, dado um vetor v do espaço, existe uma
só tripla de números reais x, y e z tal que
v  xi  y j  z k
O vetor v também será representado por
v = (x, y, z)
Exemplos:
2 i  3 j  k  (2,3,1)
i  j  (1,1,0)
4k  (0,0,4)
Igualdade de vetores
Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2)
u=v
x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2
Operações com vetores
Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) e αЄ R
1) u  v  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 )
2)  u  (x1 , y1 , z1 )
1) Dados v   2, 0,1 e w   3,5, 4  , obtenha
vw
3v
w
w  2v .
2) Encontrar os números a1 e a2 tais que v  a1 v1  a 2 v 2 ,
sendo v  (10,2) , v1  (3,5) e v 2  (1,2) .
Vetor definido por dois pontos
Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são dois pontos
quaisquer do espaço, então
AB  B  A  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
3) Obtenha as coordenadas do vetor P1 P2 no plano e AB no espaço
sendo P1  1,3 , P2   4, 2  , A   0, 2,5  e B   3, 4, 1 .
4) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0),
determinar o ponto D de modo que
1
CD  AB
2
Se v  B  A, então B  A  v.
5) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um
segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB
em três segmentos de mesmo comprimento.
Propriedades: Para quaisquer vetores u, v e w e quaisquer escalares a e b,
as seguintes relações são válidas:
 u  v  v  u (comutativa)

u  v   w  u  v  w (associativa)
 u  0  0  u  u (elemento neutro)

 
a  b.u    ab  .u
a  u  v   av  au

 a  b  u  au  bu
 u  u  0 (elemento oposto)

 1.u  u
6) Dados os vetores u  (3, 1) e v  (1, 2) ,
1
determine o vetor x tal que: 4(u  v)  x  2u  x
3
Exemplo:
7) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo
ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).
Paralelismo de dois vetores
Dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) são
paralelos se existe um número real αtal que
u = αv, ou seja,
(x1, y1, z1) = α(x2, y2 , z2)
ou
(x1, y1, z1) = ( αx2, αy2 , αz2)
Pela igualdade, temos
x1 = αx2, y1 = αy2
e z1 = αz2
o que resulta em
x1 y1 z1

 
x2 y 2 z 2
O vetor 0 = (0, 0, 0) é paralelo a qualquer vetor.
8) Os vetores u = (-3, 2) e v = (6,-4) são paralelos?
Módulo de um vetor
Considere o vetor v = (x, y, z).
O módulo de v é dado por
2
2
2
|v| x  y  z
Analogamente para o plano, considere
o vetor v = (x, y).
O módulo de v é dado por
|v| x  y
2
2
9) Determine o módulo de:

a) v  (2,3,6)

b)  2v
Observação
Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u = (-1, 3)
e v = (-2, -1), determinar:
| u + v|
e
|AB|
Vetor unitário e versor
A cada vetor v ≠0, é possível associar dois
vetores unitários paralelos a v:
v
( versor de v)
|v|

v
|v|
( oposto ao versor de v)
10) Encontrar o versor de v = (3, -4).
11. Dado o vetor v = (-2, 1), achar o vetor paralelo a v que
tenha:
a) O mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v;
b) Sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v;
c) O mesmo sentido de v e módulo 4.
R. a)  6, 3
 1
b) 1, - 
 2
 8 4   8 5 4 5 
c)  
,
,
  
5 
5 5  5

Relembrando: Ponto Médio
Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são pontos extremos
de um segmento, o ponto médio M de AB é:
 x1  x2 y1  y2 z1  z2 
M
,
,

2
2 
 2
 x1  x2 y1  y2 
no plano, M 
,

2 
 2
12. Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e
C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo
relativa ao lado AB.
R.
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