Componentes Base

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COMPONENTES E MUDANÇA DE BASE
Ao representarmos um vetor no
v  61,0  20,1 .
R2
v  6,2 ,
, digamos
Está pois evidente que o sistema adotado é o habitual
pelos vetores unitários
De forma análoga, no
fica subentendido ser esta uma representação de
xOy , onde os eixos Ox
e1  1,0 e e2  0,1 da base canônica.
e
Oy
estão definidos, respectivamente,
R 3 , o vetor v  a1 ,a 2 , a3  significa
v  a1 1,0,0  a2 0,1,0  a3 0,0,1
E, portanto, na generalização, se os vetores
e1 , e2 , ..., en
constituem a base canônica do
R n , é indiferente escrever
v  a1e1  a2 e2  ...  an en
ou simplesmente a forma usual
v  a1 ,a 2 ,..., an .
Os números
a1 , a 2 , ..., a n
são chamados de componentes (ou coordenadas) de



v
ou componentes canônicas de
 
Voltando ao R , tomemos a base A  v1  1,1 , v2  1,1 e calculemos as componentes
relação a esta base. Neste caso, teremos que resolver a equação
2
a1
e
a2
de
v.
v  6,2
em
6,2  a1 1,1  a2 1,1
ou o sistema
 a1  a2  6

 a1  a2  2
cuja solução é
a1  2
e
a2  4 .
Quer dizer, em relação a esta base
A , o mesmo vetor v  6,2
tem componentes 2 e 4 pois
6,2  21,1  41,1
ou
que simbolicamente será representado por
v  2v1  4v2
v A  2,4
sendo este par denominado de vetor das componentes de
v
em relação à base
A.
A . A figura
apresenta o vetor v  6,2 de componentes canônicas 6 e 2 (é o mesmo que falar das coordenadas no sistema xOy ) e
este mesmo vetor com componentes 2 e 4 na base A (é como falar das coordenadas de v no sistema x 'Oy ' ).
Como a cada base corresponde um sistema de coordenadas, chamemos de
x 'Oy '
aquele definido pela base
2
y’
y
4
2
v
1
1
x
0
6
1
-1
1
2
x’
Observemos que a igualdade vetorial
v  21,1  41,1
pode ser expressa matricialmente por
 1 1 2
v
 
 1 1 4
e simbolicamente diríamos
v  A.v A
onde identificamos a base
(1)
 1 1
A  1,1, 1,1 com a matriz A  
 , sendo os vetores as colunas desta.
 1 1
De igual modo, para a base
B  w1  2,1, w2  0,1 e o mesmo vetor v  6,2 , teríamos
v  32,1  50,1
(verifique)
ou
 2 0 3
v
 
 1 1 5
e
v  B.vB
(2)
MUDANÇA DE BASE
No problema da mudança de base pretendemos relacionar o vetor das componentes numa base com as de outra base.
Em outras palavras, sendo
A
e
B
bases conhecidas, quer-se calcular
Ainda, aproveitando o que foi dito para o vetor
A.v A  B.vB
v  6,2
vA
quando conhecido
v B , ou vice-versa.
e comparando (1) e (2) conclui-se que
(3)
3
sendo esta a relação básica para a mudança de componentes.
Obviamente a relação (3) é válida também em
R n . Desta igualdade obtém-se


v A  A1.B vB
v A quando é conhecido v B . A matriz A1 B é chamada matriz mudança de base
B para A . O seguinte exemplo esclarece o problema de mudança de base.
que permite calcular
transição) de
Exemplo – Sendo
Solução:
Como
A  1,1, 1,1 e B  2,1, 0,1 bases do R 2


v A  A1.B vB
e
(ou matriz de
vB  3,5 , calcular v A .
tem-se
ou
  1 1 1  2 0  3

vA   
  1 1  1 1  5


ou
 1

vA    2
 1

2

1
   2 0  3
2 
  

  
1 
 1 1  5

2

3

vA    2
 1

2
1
   3
2  

1   
 5
2  
 2
vA   
 4
ou
ou
ou
v A  2,4
Para este problema, talvez fique mais fácil utilizar a relação (3) e resolver um sistema. Assim, fazendo
relação
A.v A  B.vB
equivale a
 1 1 a   2 0 3

   
 
 1 1 b   1 1 5
ou ainda
 a  b  6 

 
  a  b   2
donde
 ab  6

 a  b  2
Portanto,
a2
e
b  4 , ou seja, v A  2,4 .
v A  a, b,
a
4
Este método de resolução é, certamente, menos trabalhoso do que o da matriz mudança de base que envolve inversão de
matriz, mormente quando se trata de espaços
relações

1

v A  A B vB
e

1

vB  B A v A
Rn
com dimensão
n2.
No entanto, do ponto de vista teórico, as
extraídas de (3) serão importantes.