super2_matematica3

Matemática 3
Aula 1
Geometria Plana
01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três
Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras
hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas
medidas de acordo com as normas oficiais.
a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um
terço da medida da base, qual é a sua área?
b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x,
obtenha uma expressão da área do retângulo em
função de x.
c) Calcule a maior área possível desses retângulos
inscritos.
a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da bandeira da
Praça dos Três Poderes mede 3,5 m, quanto mede
a área da região amarela visível dessa bandeira?
Sugestão: use p = 3,14 .
b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o
lado maior do retângulo medindo 2 m e nas mesmas
proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes.
Qual será a medida da região amarela visível dessa
outra bandeira?
04. Um canteiro de flores possui 25 m2 de área e tem
o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo
foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta
igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos,
conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do
trapézio hachurado indicado na figura?
02. A figura ao lado mostra um quadrado ABCD no
qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm,
respectivamente.
05. Um terreno possui o formato de um triângulo cujos
catetos medem 60 m e 30 m. O proprietário pretende
construir nesse terreno uma casa de planta retangular,
de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os
catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa,
como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha:
a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C.
b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo a.
03. Num triângulo ABC com 18 cm de base e 12 cm de
altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o
lado AB, conforme a figura ao lado.
A escolha de quem pensa!
a) A área do retângulo cuja base x mede 30 m.
b) A expressão que fornece a área do retângulo em
função da medida variável x.
c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior
área.
1
06. Considere a figura na qual a curva que contém os
pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e
a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de
circunferência de raio 2r. Obtenha a expressão da área
limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os
procedimentos usados.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja
inversamente proporcional à distância do irrigador
até a bomba, calcule o raio da região irrigada
quando o irrigador é colocado no centro da região
retangular R.
09. O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em
B. O segmento BD é a altura relativa a AC.
Os segmentos AD e DC medem 12 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC.
07. Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero
de lado e, sobre os lados desse triângulo, estão
construídos os quadrados ABQP e EFPR:
Determine o comprimento do segmento DE.
10. Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre
tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta
completa do disco ao longo dos quatro lados divide o
interior do quadrado em duas regiões: a região A dos
pontos que foram encobertos pela passagem do disco e
a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio
do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm.
Considerando essas informações,
a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF.
b) Determine a área do hexágono ABCDEF.
c) Determine o raio da circunferência que passa pelos
vértices do hexágono ABCDEF.
08. Para irrigar uma região retangular R de dimensões
l ×3 l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba
hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A
bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é
colocado no ponto C, a uma distância 3 l / 2 do ponto B,
ele irriga um círculo de centro C e raio 2 l (veja figura).
Determine a área da região B.
11. Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central è
é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no
extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento
do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o
irrigador está no ponto C.
2
Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = 2è,
calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do
triângulo OPQ.
A escolha de quem pensa!
12. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos,
o ângulo OAB mede 120°, AO = 3 e AB = 2. Sabendo-se
ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3 ,
Gabarito
1.
b) 0,49515 m2
2
7 2
2p = 2 (2 2 + 3) sen a =
e cos a =
10
10
2x 2
+ 12x
a) S = 48 cm2
b) S(x) = −
3
c) Smáx = 54 cm2
4.
S = 12 m2
5
a) S = 450 m2
6.
(
2.
3.
7
a) calcule a área do triângulo OAB.
b) determine OC e CD.
13. A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e
CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está
no interior do trapézio.
Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2 .
a) 49,515 m2
b) S(x) = 30x –
r2
S=
6 3−π
6
a) ED = 3a( 3 +1)
c) a
)
x2
2
c) x = 30 m
b) S = a2( 3 +3)
4+ 3
3
2
8.a) 2π + 3 3 6
9.2 3
(
)
b) r =
6
5
10. 4(5 – p)cm2
11.1/2
3 3
b) OC = 60
OD = 40
2
13. a) h = 3
b) 5
c) S = 5p – 9
12.a)
14. a) r = 2
b) AB = 12 AC = 5
15. a) DO = 5 cm
b) EF = 7 2
EO = 7 cm
c) S = 30 – 4p
FO = 7 cm
ED = 2 29 DF = 13
Aula 2
a) Determine a altura do trapézio.
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está
inscrito.
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e
delimitada pela circunferência.
14. Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos
um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90° e
que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P,
dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos
PB = 10 e PC = 3.
Geometria Espacial - 1
01. Uma calha será construída a partir de folhas metálicas
em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40
cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao
lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces
de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo,
interna ao triângulo e externa ao círculo.
15. Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que
AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC,
AB e BC também são lados de quadrados construídos
externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da
circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D,
E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e
AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO
e FO.
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de
vértices D, E e F.
A escolha de quem pensa!
a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco
retangular em termos de x.
b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular
será máximo?
3
02. Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está
sendo projetada de modo a ter altura e comprimento
de mesma medida e largura 3 cm maior que seu
comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para
que seu volume seja 200 cm3?
03. Considere um cubo no qual a aresta tem medida a
e cujos vértices são designados por letras, como
está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da
aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o
volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os
procedimentos usados.
c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
06. Num cubo de aresta a a inscreve-se um hexágono
regular, cujos vértices são pontos médios das arestas
do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em
função de a, explicando os procedimentos usados.
07. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD
são triângulos retângulos cujos catetos medem a.
Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD
tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra
a figura a seguir.
04. Na figura abaixo, está representada uma pirâmide de
base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo
comprimento.
Determine a medida da aresta desse cubo em função
de a.
08. Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares
e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de
10m3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um
dos lados da base deve ser o dobro do comprimento
do outro lado. O material para construir a base custa
R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material
para construir as laterais custa R$6,00 por metro
quadrado.
a) Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual
a (6 + 32), qual é a altura da pirâmide?
b) Qual é o volume e a área total da pirâmide?
05. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo
de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo.
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n?
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de
construção da caixa.
c) Encontre o custo de construção da caixa em função
de p.
09. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um
plano paralelo à sua base, distante 2 m dela. A área
total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à
metade da área total da pirâmide original.
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
4
a) Calcule a altura da pirâmide original.
b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela
secção para o caso em que a aresta da base da
pirâmide maior mede 3 m.
A escolha de quem pensa!
10. Prevenindo-se contra o período anual de seca, um
agricultor pretende construir uma cisterna fechada,
que acumule toda a água proveniente da chuva que cai
sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período
de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do
telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e
a quantidade média mensal de chuva na região onde o
agricultor possui sua casa.
Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser
construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse
trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão
basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de
largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de
caminhão serão necessárias para transportar toda
a brita?
13. Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta
a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma
pirâmide regular de base triangular equilateral (os três
lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x,
a
0 < x ≤ , a aresta lateral das pirâmides cortadas.
2
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana
horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o
volume de água da chuva armazenada durante um ano,
acrescido de 10% desse volume.
11. No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta AE
satisfazendo AP = 3PE . Sabendo que PG mede 33 cm,
calcule o volume do cubo.
12. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são
assentados sobre uma base composta basicamente por
brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal,
conforme representado na figura a seguir. A base menor
do trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior tem
2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento.
A escolha de quem pensa!
a) Dê o número de faces do poliedro construído.
a
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ , para o qual o volume
2
do poliedro construído fique igual a cinco sextos do
volume do cubo original. A altura de cada pirâmide
x
cortada, relativa a base equilateral, é
.
3
14. Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito
triângulos equiláteros, conforme indicado na figura.
Para um octaedro de aresta a:
a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
5
15. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal,
cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a
pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um
tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide.
Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 12,
calcule a altura do tronco.
a) Calcule o volume do cilindro.
b) Calcule a área total do cilindro.
03. A parte superior de uma taça tem o formato de um cone,
com as dimensões indicadas na figura.
Gabarito
1.
a) V = –2x2 + 0,4x
2
a) 5 x 5 x 8cm
a3
V=
8
3 2
9 2
a) h =
b) V =
e St = 9 ( 3 + 1)
2
2
a) S = 50 3 cm2 b) ST = 50( 3 + 3)cm2
500
c) V =
cm3
3
3a2 3
4
a
3
180
a) 1,25 m
b) R$ 170,00 c) 20p2 +
p
a) (4 + 2 2)m
b) V = (9 + 3 2)m3
3
4
5.
6.
7.
8.
9.
b) x = 10 cm
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta
quando está completamente cheia?
b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido
nessa taça, em função da altura x indicada na figura.
10. 7,7 m
11.
V = 64 m3
12. a) 7200 m3 13. a) 14
14. a) 2a2 3 15.
(
b) 800
a
b) x =
2
3 3− 2
21
) cm
b) V=
a3 2
3
c)
a 6
3
04. Considere um trapézio ABCD no qual os ângulos com
vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que
é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD.
Determine, em função de x, a expressão do volume
do sólido de revolução obtido quando a região plana
limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC.
05. Seja um cilindro circular reto de altura h e base de raio r.
Considere as duas hipóteses seguintes:
1. O raio r é aumentado de 20 metros e a altura é
mantida.
2. O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4.
Aula 3
Geometria Espacial - 2
01. Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de
altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até
quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar
totalmente cheia.
a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for
colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que
volume de água?
b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro serão
necessárias para fazer com que a água se desloque
até a borda superior da jarra?
02. Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere
a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 256 cm3.
Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume
do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais,
ache o raio r em metros.
06. Um cone circular reto cuja altura forma um ângulo de
30° com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R.
Ache a expressão do volume do cone em função de R,
detalhando os procedimentos usados.
07. Considerando que um cilindro circular reto de altura
x seja inscrito em uma esfera oca de 20 cm de raio,
obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x.
08. O volume de um cone reto é 1024pcm3. Se a altura, o
raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa
ordem, uma progressão aritmética, então calcule a
medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor
obtido no cartão-resposta.
09. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada,
adquirindo o formato de anel, como mostra a figura
a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um
cilindro de madeira com duas tampas em formato de
calota esférica.
6
A escolha de quem pensa!
Sabe-se que uma calota esférica tem volume
πh2
Vcal =
(3R – h), em que h é a altura da calota e R
3
é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é
dada por Acal =2 p Rh.
Atenção: não use um valor aproximado para π.
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há
uma torneira com um gotejamento que provoca um
desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação p = 3, determine quantos dias de
gotejamento são necessários para que a quantidade de
água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos,
ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro
manual.
Dado: 1.000 cm3 = 1 litro.
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel
de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá
uma camada de verniz, tanto na parte externa,
como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2,
determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
12. Na construção de uma estrada retilínea foi necessário
escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro.
Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo
de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h,
relativa à corda, conforme figura.
10. Um cilíndro circular reto é inscrito em um cone, de modo
que os eixos desses dois sólidos sejam colineares,
conforme representado na ilustração a seguir.
A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada
um, 12 cm.
Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do
raio do cilíndro variem no intervalo ]0;12[ de modo que
ele permaneça inscrito nesse cone.
Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para
que sua área lateral seja máxima.
11. Numa região muito pobre e com escassez de água,
uma família usa para tomar banho um chuveiro manual,
cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro
circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de
raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases
sao círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6
cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado
na figura.
A escolha de quem pensa!
Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que
AB = 4 3m e que 3R = 6m , determine o volume apro2
ximado de terra, em m3, que foi retirado na construção
do túnel.
π
Dados: ≈ 1,05 e 3 ≈ 1,7.
3
13. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com
lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma
esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo.
Determine a distância do centro da esfera aos vértices
do triângulo.
14. Num cilíndro circular reto sabe-se que a altura h e o
raio da base r são tais que os números p, h e r formam,
nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6p.
Calcule a área total do cilíndro.
15. Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a
3 cm do centro. Calcule:
a) a área da calota esférica obtida na esfera;
b) a área do fuso esférico de 30°, contido na esfera;
c) o volume da cunha esférica de 45°, contida na esfera.
7
c) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da
distância de P até N.
Gabarito
1.a)
4π
cm3
3
b) 12
2.
a) V = 64p cm b) St = 48p 3 2 cm2
3.
a) 16pm3
b)
4.
V=
5.
6.
7.
3
5πx 3
9
r = 20 cm
3πr 3
V=
8
V=
(
πx 1600 − x 2
4
x3π
8
)
03. A projeção esfereográfica é um método de projetar
pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser
utilizado na confecção de mapas (situação em que os
círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha
que y é o círculo de raio 1 centrado na origem do
plano xy, N = (0,1) é um ponto fixado e P = (a,b) é um
ponto qualquer do círculo y distinto de N. A projeção
esfereográfica do ponto P é a interseção da reta r
determinada por N e P com o eixo x, representada pelo
ponto Q na figura abaixo.
8.20
9.a)
πR3
6
b) S = (2 +
3 )pR2
10.6
11. 2 dias
12. 80800 m3
13. 5 cm
14.30p3
15. a) Sc = 20p cm2
b) S =
125π
c) Vc =
cm3
6
25π
cm2
3
Aula 4
Geometria Analítica - 1
 2 2
a) Encontre a projeção Q do ponto P 
;

 2 2 
b) Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente
ao círculo, cuja projeção é o ponto Q = (3,0).
01. Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices
A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a diagonal
AC.
b) Determine a equação da reta que contém a diagonal
BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção
das diagonais AC e BD.
02. Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto
médio do segmento OC, sendo B = (0, 2) e C = (2, 0),
conforme figura abaixo.
04. Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir
da rotação de uma figura plana em torno de um dos
eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um
retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro,
como na figura abaixo.
a) Encontre a equação da reta r determinada pelos
pontos B e N e a equação da reta s determinada
pelos pontos C e M.
b) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção
das retas r e s.
8
Nessas condições:
Considere agora a região R do primeiro quadrante do
plano xy delimitada pelas retas r1: y = x, r2 : x = 0 e r3: x = 1
e pela circunferência Y: x2 + (y – 4)2 = 1.
a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um
esboço da região R e do sólido de revolução obtido
pela rotação dessa região em torno do eixo y.
A escolha de quem pensa!
10. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas
na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual
à média aritmética dos coeficientes a e c,
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em
termos dos coeficientes a e b;
b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo
OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o
triângulo OPQ tem área 1.
b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido
no item acima.
05. No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a
circunferência de centro C = (4, 3) e raio r = 5.
a) Encontre a equação cartesiana da circunferência .
b) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção
da circunferência com o eixo Oy.
c) Seja P o ponto de interseção da circunferência
com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a
equação da reta que tangencia a circunferência
nesse ponto P.
06. Em uma folha de fórmica retangular ABCD com 15
cm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um
marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No
ponto F onde o marceneiro pretende fixar um prego,
ocorre a interseção desses segmentos.
A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
11. Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas
retas do plano passam por P e formam um ângulo
de 45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine
as equações das retas mencionadas no item (a).
12. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado
pelas retas 2x = y, x = 2y e x = – 2y + 10. A área desse
triângulo mede:
13. Seja o ponto A (–2; 3) um dos vértices de um triângulo.
Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado
sobre a reta que contém o ponto P (–3; –4) e é paralelo
à reta determinada pelos pontos M (2; –2) e N (6; 1),
calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir
de A.
14. Calcule e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = 3t
x y
e y = 4t e (s) +
= 1.
5 11
Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm
determine as coordenadas do ponto F.
07. Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R = (–1, –1) pontos do
plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e
R sejam colineares.
08. Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, determine
a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de
r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto
quadrante do plano cartesiano.
09. Considerando que os pontos A (1; 1), B (3; 5) e C (2; 8)
são vértices de um triângulo ABC. Com relação a esse
triângulo, determine:
a) A equação da reta suporte da mediana relativa ao
lado AB.
b) A equação da mediatriz do lado AB.
A escolha de quem pensa!
15. A secção meridiana de um cone circular reto está
representada em um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais no plano; nessa representação,
o vértice do cone é o ponto P (3, –1), a reta suporte do
diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte
de uma das geratrizes tem equação 3x + 4y – 5 = 0.
3V
Calcule o valor do quociente
, sendo V o volume do
π
cone.
Gabarito
5.
3
9
3
3
b) y = − x + c) P (2; )
x
2
2
2
4
a) (r): 2x + y – 2 = 0 (s): x + 2y – 2 = 0
2 2
b) P  ; 
 3 3
 3 4
a) Q ( 2 + 1; 0)
b) P  ; 
 5 5
8π
a) --
b) V =
3
2
a) (x – 4) + (y – 3)2 = 25 b) (0; 0) e (0; 6)
c) (t): 4x – 3y + 18 = 0
1.
2.
3.
4.
a) y =
9
6.
F (6; 6)
7.
P (2;5)
8.
s: y = 2x + 5
9.
a) x + 6y – 20 = 0
 b 
10. a) P  − ;0 , Q (0; b) e R
 a 
b) a = –8, b = 4 e c = 16
11. a) duas retas
15
12. S =
ua
2
13.5
53
14. q = arctg
29
15.36
b) x + 2y – 8 = 0
b
b(2b − a) 

;


2b – 2a 2b − 2a 
b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0
uma circunferência de perímetro P2 e de equação
x2 + y2 – 16x – 12y + 36 = 0.
P
Se P2 > P1, calcular o valor de 2
P1
06. Determinar o maior valor inteiro de k a fim de que
x2 + y2 – 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma
circunferência de raio não nulo.
07. Os vértices de um triângulo são: o centro da circunferência
de equação x2 + y2 – 6x – 8y = 0 e os pontos de
intersecção dessa circunferência com a reta que passa
pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule:
a) a área do triângulo;
b) o perímetro do triângulo;
c) classifique o triângulo quanto aos lados.
Aula 5
Geometria Analítica - 2
01. A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao
eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10
unidades.
08. No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela
equação cartesiana x2 + y2 = 5 e a reta r descrita pela
equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos
pontos A e B.
Considerando uma nova reta h, descrita pela equação
cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos
A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.
09. Os pontos (–6, 2), ( 3, –1), e (–5, –5) pertencem a uma
circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
10. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro
no ponto A = (–5, 1) e é tangente à reta t de equação
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto
de intersecção da reta t com o eixo Ox.
a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a reta
que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado
na figura acima, no qual a reta r intercepta a
circunferência.
02. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) no plano
cartesiano Oxy.
a) Escreva a equação reduzida da circunferência a
que tem centro no ponto médio do segmento AB e
contém os pontos A e B.
b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A,
no qual a circunferência a intercepta o eixo y.
03. Ache a equação da circunferência que passa pelos
pontos A (3, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de
equação x + y + 1 = 0
04. No plano cartesiano, ache a equação da circunferência
que tem centro no ponto médio do segmento de
extremidades A (6; –4) e B (–2; 2) e é tangente à reta
que contém os pontos C (2; –6) e D (–1; –2).
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ.
11. No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro
C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = –x + 6.
a) Determine todos os valores de x para os quais o
ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior
da circunferência λ.
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência
λ1 oncêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
12. C o n s i d e r a n d o , n o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s
cartesianas ortogonais, a circunferência de equação
x2 + y2 + 6x – 12y + 25 = 0 e a reta de equação
2x + y + 8 = 0,
a) obtenha a equação da reta que contém o centro da
circunferência e é paralela à reta dada;
b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da
reta dada com a reta tangente à circunferência no
ponto P (1, 4).
05. Uma circunferência de perímetro P 1 e centro na
origem do sistema de coordenadas, é tangente a
10
A escolha de quem pensa!
13. Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) do
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e
passa pelo ponto de intersecção das retas x + y – 7 = 0
e 2x – y – 2 = 0. Obtenha a equação da circunferência,
explicando os procedimentos usados.
14. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
a equação de uma circunferência é: x2 + y2 – 6x + 2y = 0.
Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro
da circunferência e os pontos de intersecção da reta de
equação 2x + y – 10 = 0 com a circunferência. Explique
os procedimentos usados.
15. São dados os pontos A = (1, 3), B = (4, 1) e C = (6, 4)
no plano cartesiano Oxy.
a) Usando coeficientes angulares, mostre que a reta r,
que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta
s, que contém os pontos B e C.
b) Sabendo que A, B, C e D são vértices de um
quadrado, encontre as coordenadas do ponto D.
c) Escreva a equação da circunferência que contém
os pontos A, B, C e D.
Gabarito
1.
a) S = 30
b) A (8; 4) 2.
a) (x – 3) + (y – 4) = 25
3.
(x + 2) + (y – 1) = 25
2
2
2
D (5; 5)
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
P2
5.
=4
P1
6.33
25
7. a) S =
ua
b) 2p = (10 – 5 2 ) uc
2
c) isosceles
b) S = 3 ua
9.5
10. a) P (–1; 2)
b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
25
c) S =
ua
4
4
11. a) 2 - 7 < x <2 + 7 b) y = x
3
 5

12. a) 2x + y = 0
b)  − ; −3
 2

13.x2 + y2 – 12x + 11 = 0
15. a)--
b) D (3; 6)
2
7
7


c)  x −  +  y − 


2
2
2
=
26
4
Aula 6
Números Complexos
01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 – i e
sendo i = −1 a unidade imaginária.
A escolha de quem pensa!
π
π

03. Sejam os números complexos z = 2  cos + isen  e

3
3
w = i3 + i2 + i. Achar y = z6 + w6.
04. Considerando o número complexo z = 1 + i:
a) obtenha uma equação polinomial do 2° grau com
coeficientes reais da qual z seja uma das raízes;
b) calcule o menor número inteiro positivo n para o qual
zn é número real;
x + 2i
c) calcule o valor de x para que o número
seja
z
imaginário puro.
05. Considere o número complexo z = 5 + 12i onde i =
−1. Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de
z calcule x4 + y2, explicando os procedimentos usados.
08. Em 1545, o italiano Girolamo Cardano (1501-1576)
publicou o seu mais importante livro A grande arte,
e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase:
“Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares”. No
livro, um problema aparentemente simples começou a
aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número,
ainda desconhecido na Matemática:
“Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40”.
C) (–2; –1)
14. S = 5 ua
b) Mostre que z18 é igual a –1.
07. Calcule as raízes cúbicas de um número complexo z,
cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale
π
rad.
2
b) P (0;8 )
4.
a) A (1; 2) B (1; –2) π
π
+ isen
18
18
a) Mostre que o produto z . w é igual a 3 + i
02. Considere os números complexos z = cos
06. Calcule as raízes quadradas do número complexo 1
+ 3.i
2
8.
a) Escreva os números z3 e z–4 na forma x + iy.
b) Sabendo que z, z e 2 são raízes do polinômio
P(x) = x3 + ax2 + bx + c, calcule os valores de a, b e c.
a) Determine as duas parcelas e expresse-as na forma
a + bi, em que a,b são números reais e i2 = –1.
b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de
pares ordenados (a,b) e represente-os graficamente
no plano cartesiano.
c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do
triângulo cujos vértices são os dois pares ordenados
do item B e a origem.
Se precisar, use as aproximações: 3 = 1,7;
5 = 2,2.
d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes
inteiros com o menor grau possível, sendo dadas
três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o
numero complexo −i.
09. Os números complexos distintos z e w são tais que
z + w = 1 e z . w = 1.
a) Calcule |z|
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está no
primeiro quadrante do plano complexo.
11
10. No jogo Batalha Complexa são dados números
complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.
14. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo
equilátero, como mostra a figura.
O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que
tz = w.
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.
11. Determine o módulo, o argumento e represente
graficamente o número complexo z = 2 + 2( 3 ) i.
Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 ,
determine z2.
15. Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai,
onde a é um número real positivo e i indica a unidade
imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo
é | z | e a base é a parte real de z. w, determine a de
modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
Gabarito
12. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é
chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo
módulo (indicado por |z|) é a medida do segmento OA
e cujo argumento (indicado por q) é o menor ângulo
formado com OA no sentido anti-horário, a partir do eixo
Re(z). O número complexo z = i é chamado “unidade
imaginária”.
z = −4
1.
a) z3 = –2 + 2i
2.
a) --
3.
y = 65
4.
a) x2 – 2x + 2 = 0
b) a = –4; b = 6 e c = –4
b) --
b) n = –4
c) x = –2
5.85
6
2
6
2
−
i
+
i e R2 = −
2
2
2
2
7.R1 = 3 + i
R2 = – 3 + i
6.
R1 =
R3 = –2i
8.
a) x = 5 + 15i e y = 5 – 15i ou x = 5 – 15i e y = 5 + 15i
b) (5; 15i ) e (5; – 15i )
9.
a) 1
10.
t=– 3–i
c) S = 18,7
d) 4
b) –1
11. |z| = 4; q = p/3 rad
12. x = 0, x= –2 e x = 2
13. a) S = 36 ua
c) i
b) a4
b) A’ (0; 3), B’ (–6; 0), C’ (0; –3) e D’ (6; 0)
14.z2 = –72 + 72 3i
15. a = 3 cm
a) Determinar os números reais x tais que z = (x + 2i)4
é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número complexo
z é o complexo z0 cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0
determine |z|.
13. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices
são os afixos dos números complexos: 3, 6i e –6i,
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango
A’ B’ C’ D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD
em torno da origem do plano cartesiano, no sentido
anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número
complexo cujo afixo é o ponto B’?
12
A escolha de quem pensa!