Órbitas e Navegação - DCA-UFCG

UNIVESIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE TECNOLGIA E RECURSOS NATURAIS
UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS ATMOSFÉRICAS
CURSO DE METEOROLOGA
Disciplina: Introdução ao sensoriamento remoto por satélite
Professor: Bernardo Barbosa da Silva
2. Órbitas e Navegação de Satélites
Para entender e usar apropriadamente dados de satélites é necessário conhecer as
órbitas nas quais os satélites são desenhados e a geometria com a qual eles vêem a Terra.
Este capítulo começa com uma revisão dos princípios básicos que definem a forma da
órbita e como orientar o plano da órbita no espaço. Este conhecimento possibilita conhecer
a posição dos satélites a qualquer tempo. Também são discutidos as perturbações e os seus
efeitos sobre os satélites meteorológicos. Em seguida, são exploradas a geometria do trajeto
e a localização das medições à superfície, obtidas com satélites. Isto conduz a discussão
acerca da amostragem espaço-tempo. O capítulo termina com uma breve exploração dos
veículos lançadores e opções de inserção de órbitas.
2.1- Leis de Newton
Isaac Newton descobriu os princípios básicos que governam os movimentos dos
satélites e outros corpos celestes.
Leis do movimento de Newton:
1- Todo corpo continuará em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, exceto se
uma força externa modificar tal condição;
2- A taxa de variação do momentum é proporcional à força aplicada e é dirigida na direção
desta;
3- Ação e reação são forças iguais e opostas;
Uma vez que o momentum é o produto m  v , a 2a Lei de Newton na sua forma mais
conhecida, é dada por:
dv
F  ma  m
(2.1)
dt
onde F é a força, m a massa, a a aceleração, v a velocidade e t o tempo. Adicionalmente,
Newton nos oferece a forma funcional da força que determina o movimento dos satélites: a
Lei da Gravitação Universal. Esta lei estabelece que a força de atração entre duas massas
pontuais m1 e m2 , separados de uma distância r, é dada por:
F  G
m1  m2
r2
(2.2)
onde G é a constante de atração gravitacional de Newton (ou constante universal de
gravitação e vale 6,67259x10-11 N.m2.kg-2).
Consideremos uma órbita circular como a da Figura 2.1. Assumindo que a Terra é
uma esfera, podemos tratá-la como uma massa pontual. A força centrípeta requerida para
manter o satélite em órbita circular é igual a mv 2 r , onde v é a velocidade orbital do
satélite. A força da gravidade que mantém tal força centrípeta é G  me  m r 2 , onde me é a
massa da Terra (me = 5,97370x1024 ) e m a massa do satélite. Igualando essas forças, tem-se
que:
m
m m
v2
 G e 2
r
r
(2.3)
Dividindo por m, possibilita concluirmos que a órbita de um satélite independe de sua
massa. O período da órbita do satélite é igual à órbita da circunferência descrita pelo
mesmo, dividida pela sua velocidade: T  2 r v . Substituindo na equação 2.3, tem-se:
T2 
4 2 3
r
G  me
(2.4)
Figura 2.1 – Satélite de órbita circular.
Os satélites da série NOAA orbitam a cerca de 850 Km acima da superfície da
Terra. Uma vez que o raio equatorial terrestre é cerca de 6.378 km, o raio da órbita é
aproximadamente igual a 7.228 km. Substituindo esse valor na Equação 2.4 conclui-se que
o período de tais satélites é de cerca de 102 min.
Como um segundo exemplo, calculemos o raio da órbita de um satélite
geoestacionário (Geossíncrono), que corresponde a um tipo de órbita na qual o satélite
possui a mesma velocidade angular da Terra. A velocidade angular de um satélite é dada
por:

2
T
(2.5)
Ao substituirmos a Equação 2.5 na Equação 2.4, teremos:
r3 
G  me
2
(2.6)
Inserindo na equação acima a velocidade angular da Terra ( = 7,292115 x 10 -5 rad.s -1 )
conclui-se que o raio da órbita de um satélite geoestacionário é de 42.164 km, ou cerca de
35.786 km acima da superfície da Terra.
2.2 – Órbitas Keplerianas
Satélites, entretanto, não navegam em círculo perfeito, muito embora a órbita
circular tenha sido o objetivo de muitos satélites meteorológicos. É possível se deduzir a
forma exata da órbita de um satélite com base nas leis do movimento de Newton e na lei da
gravitação universal. Os resultados desta dedução estão praticamente sumarizadas nas leis
de Kepler e nas suas equações.
2.2.1 – Leis de Kepler
Johannes Kepler morreu 12 anos antes do nascimento de Newton e, portanto, não
teve como se utilizar das vantagens dos trabalhos de Newton. Kepler formulou suas leis ao
analisar massa de dados acerca da posição das planetas. Esta atividade foi dificultada em
virtude da rotação terrestre e do seu movimento em torno do Sol, o que faz com que os
movimentos dos planetas pareçam muito complexos. Na sua forma moderna, as leis de
Kepler podem ser escritas como:
1. Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, estando o Sol num dos focos;
2. O vetor posição de um planeta, com origem no Sol, varre áreas iguais em tempos
iguais;
3. A razão entre o quadrado do período de revolução pelo cubo do semi-eixo maior da
órbita de um planeta é a mesma para todos os planetas que orbitam em torno do Sol.
Estas mesmas leis se aplicam, se substituirmos planeta por satélite, e o Sol por
Terra. A Equação 2.4 é um caso típico da 3ª Lei de Kepler para o caso especial de órbita
circular.
2.2.2 – Geometria da Elipse
Os parâmetros que são usados para especificar as órbitas dos satélites são baseadas
em parte na terminologia geométrica. A Figura 2.2 ilustra a geometria da órbita elíptica. O
ponto de maior proximidade da Terra é chamado de Perigeu, ou mais genericamente, de
Perijóco. O ponto onde o satélite se encontra à distância máxima da Terra, é denominado de
Apogeu (ou Apojóco). A distância do centro da elipse ao Perigeu compreende o semi-eixo
maior e será representado por a . A distância do centro da elipse ao foco ocupado pela
Terra, dividido pelo semi-eixo maior, define a excentricidade da órbita (). para uma elipse
a excentricidade varia de zero a um  0    1 . Note-se que uma circunferência é uma
elipse com  = 0. A equação da elipse, isto é, o caminho que um satélite percorre, é dada
em coordenadas polares, tendo a terra como origem, através de:
r
a 1   2 
1    cos 
(2.7)
O ângulo  é denominado de anomalia verdadeira (true anomaly) e é sempre medido a
partir do perigeu e em sentido anti-horário.
Figura 2.2 – Geometria da elipse.
2.2.3 – Equação de Kepler
Numa órbita circular a velocidade angular de um satélite é constante. De acordo
com a 2ª Lei de Kepler, no entanto, um satélite que orbita em trajetória elíptica não possui
velocidade angular constante. Ele tem sua velocidade aumentada na medida que se
aproxima da Terra. Assim, a posição de um satélite em função do tempo pode ser obtida
através da equação de Kepler, qual seja:
M  n  t  t p   e    sen  e 
(2.8)
onde M é a anomalia média (mean anomaly); M aumenta linearmente com o tempo a uma
taxa n, chamada de constante do movimento médio (mean motion constant), e é dada por:
n
G  me
2

T
a3
(2.9)
Por definição M é zero quando o satélite se encontra no perigeu; portanto, tp é o tempo da
passagem no perigeu. O ângulo e é a anomalia excêntrica (excentric anomaly), e está
relacionada com a anomalia verdadeira, segundo: (Ver Figura 2.3)
cos 
cos e  
1    cos e
(2.10a)
cos e 
cos  
1    cos
(2.10b)
Figura 2.3 – Relação geométrica da anomalia verdadeira (θ) e excêntrica (e)
2.2.4 – Orientação no Espaço
Ao se calcular r e  no tempo t, estaremos posicionando o satélite no ano de sua
órbita. Agora, precisamos posicionar o seu plano orbital no espaço. Para tanto, precisamos
definir um sistema de coordenadas apropriado. Este sistema deve constituir um sistema de
coordenadas inercial; isto é, que não seja um sistema acelerado, no qual são válidas as leis
de Newton. Um sistema de coordenadas fixo com a Terra não constitui tal sistema. assim,
adotaremos um sistema astronômico de coordenadas, denominado de sistema de
coordenadas ascensão reta-declinação. Neste sistema (Figura 2.4). o eixo Z está alinhado
com o eixo de rotação da Terra. O eixo X é escolhido de forma que contenha o centro da
Terra e se dirija para o Sol durante sua passagem no Ponto Vernal, isto é, quando o Sol está
cruzando o Plano do Equador à partir do Hemisfério Sul para o Hemisfério Norte. O eixo Y
é escolhido de forma a torná-lo (o sistema de coordenadas) um sistema de coordenadas que
obedece à regra da mão direita. Neste sistema, a declinação de um ponto no espaço
corresponde ao seu deslocamento angular ao Norte do Plano do Equador e a ascensão reta é
o deslocamento angular, medido no sentido anti-horário, à partir do eixo dos X, da projeção
do ponto no Plano do Equador.
São usados três ângulos, no sistema de coordenadas ascensão reta-declinação, a fim
de posicionar uma órbita elíptica: a inclinação, a ascensão reta do modo ascensional e o
argumento do perigeu.
A inclinação (i) corresponde ao ângulo formado entre o plano do equador e o plano
orbital. Por convenção, se o plano do equador coincide com o plano da órbita, e o satélite
gira na mesma direção da terra, então i=0º. Se os dois planos coincidem, mas o satélite gira
em sentido oposto à Terra, i=180º. Órbitas progressivas (prograde orbits) são aquelas nas
quais a inclinação é menor que 90º (i<90º). Órbitas retrógradas, por sua vez, são aquelas em
que a inclinação é maior que 90º (i>90º).
O modo ascendente (ascending mode) é o ponto no qual o satélite cruza o plano
equatorial quando se dirigindo para o Norte. A ascensão reta desse ponto é a ascensão reta
do modo ascendente (Ω). Ele é medido no plano equatorial à partir de X (vernal equinox) e
dirigindo-se para o modo ascendente. Na prática, a ascensão reta no modo ascendente tem
um significado mais geral. Ele é a ascensão reta da interseção do plano da órbita com o
plano equatorial. Assim, ele é sempre definido, e não apenas quando o satélite se encontra
no modo ascendente.
Finalmente, o argumento do perigeu (ω) é definido como o ângulo medido no plano
orbital e formado entre o modo ascendente (equatorial plane) e o perigeu.
2.2.5 – Elementos orbitais
Os parâmetros de localização de um satélite no espaço, que foram discutidos
anteriormente, são coletivamente conhecidos como elementos orbitais clássicos (classical
orbital elements). Estes parâmetros podem ser determinados através de observações óticas,
de radar ou de rádio ou ao serem associados a observações feitas através de sensores a
bordo dos satélites. Os elementos orbitais de um satélite particular estão disponíveis a partir
das agências que os operam: NOAA, NASA ou ESAC (Europeau Space Agency) etc. Um
parâmetro final, incluído na Tabela 2.1, é o tempo em que esses elementos são válidos. Este
tempo é denominado de epoch time (t0). Alguns elementos orbitais mudam com o tempo,
como será visto abaixo. O subscrito “o” de um elemento orbital indica um dado valor
associado ao epoch time .
Existe alguma diferenciação na forma como os elementos orbitais são especificados
e também, na descrição menos formal da órbita dos satélites, alguém usualmente vê a altura
do satélite acima da superfície terrestre, sendo substituída pelo semi-eixo principal. Uma
vez que a Terra não é perfeitamente esférica, a distância de um satélite à superfície varia
em função de sua posição orbital. Assim, ao se descrever a órbita de um satélite é preferível
especificar o seu semi-eixo principal.
Aquelas órbitas nas quais os elementos orbitais clássicos (exceto M) são constantes,
são denominadas de órbitas Keplerianas. Vistas do espaço, as órbitas Keplerianas são
simples. O satélite se move num traçado elíptico, estando o centro da Terra a ocupar um
dos seus focos. Esta elipse mantém constantes seu tamanho, forma, e orientação em relação
às estrelas (Figura 2.7.a). O único efeito provocado pela gravidade solar sobre o satélite é o
de mover o foco da elipse (a Terra) numa trajetória elíptica em torno do Sol (órbita
terrestre).
Vista à partir da Terra, a órbita Kepleriana aparece complicada em virtude da Terra
girar em torno do seu eixo na medida que o satélite se move em sua órbita (Figura 2.8).
A rotação da Terra resulta em duas passagens diárias do satélite próximo a um
mesmo ponto à superfície (isto se assumirmos que o seu período é substancialmente menor
que um dia e que o seu ângulo de inclinação é maior que a latitude do ponto). Uma
passagem ocorre durante a porção ascendente da órbita; a outra ocorre durante a porção
descendente da órbita. Isto usualmente resulta em se ter uma passagem durante o período
diurno e outra durante o período noturno.
Elemento
Símbolo
Semi-eixo principal
a
Excentricidade

Inclinação
i
Argumento do perigeu
0
Ascensão reta do modo ascendente
0
Anomalia média
0
Epoch time
t0