TP1

1ª AULA “PRÁTICA” DE FÍSICA MÉDICA
Aplicação do formalismo de fluidos à circulação sanguínea
1. Considere o sangue como um fluido não viscoso para responder às seguintes
questões:
a) Qual será a velocidade do sangue na aorta durante a sístole, admitindo
que, nessa fase do ciclo cardíaco, o seu raio é 1 cm e que o caudal de
sangue que sai do coração é 5 l min-1.
b) Considerando a pressão sistólica aproximadamente 1.6 x 104 Pa e a
pressão diastólica aproximadamente 1.1 x 104 Pa, calcule a velocidade
durante a diástole (Admita que o caudal se mantém constante).
c) Que mecanismo é que permitiria, mantendo o caudal de sangue, alterar a
sua velocidade?
d) Quando o caudal de sangue na aorta é de 5 l min-1 a velocidade do sangue
nos capilares é cerca de 0.33 mm s-1 Se o diâmetro médio dos capilares
for 0.008 mm, calcule o número de capilares no sistema circulatório.
2. Considere duas artérias: uma ao nível do braço e outra ao nível da perna. Admita
que a artéria que se encontra no braço possui um raio de 0.20 cm e a que se
encontra ao nível da perna tem 0.15 cm de raio.
a) Indique qual a diferença de pressões existente entre as duas artérias.
(Sugestão: comece por dar valores razoáveis às variáveis que desconhece
e faça as aproximações que achar convenientes).
b) Admita que, para o raio considerado, a velocidade do sangue que passa
na artéria atinge 0.20 m s-1. Para que valores do raio o fluxo se torna
turbulento?
c) Considere que numa dessas artérias passa um caudal de sangue de
0.1 l min-1. Qual a velocidade do sangue se a sua viscosidade não for
considerada? E qual a velocidade máxima do sangue quando este é
considerado viscoso? Onde ocorre essa velocidade máxima?
d) Volte a considerar os dados da alínea anterior e considerando que a
artéria em causa mede 5 cm de comprimento, qual será a diferença de
pressões entre os seus extremos?
3. Responda às seguintes questões:
a) Mostre que se o raio de uma arteríola se reduzir de 0.1 mm para 0.08 mm
o caudal de sangue que a atravessa se reduz de um factor superior a 2.
b) Suponha que o decréscimo pretendido é de 90%. Para quanto é que o raio
deveria diminuir?
1
1. Aplicações da hidrodinâmica ao corpo humano
1.1 Movimento de fluidos não viscosos
A hidrodinâmica é a área da mecânica dos fluidos que estuda o seu movimento
e, neste contexto, existem essencialmente duas leis especialmente relevantes: a equação
de continuidade e a equação de Bernoulli. Ambas são baseadas em determinados
pressupostos: que o fluido é ideal, o que significa que não tem viscosidade1 e é
incompressível, que o escoamento é laminar (a velocidade de uma partícula do fluido
num determinado ponto é constante no tempo) e não rotacional (um objecto que se
coloque no interior do fluido não apresenta movimentos de rotação).
A equação de continuidade é baseada no facto de a quantidade de massa se
manter constante e é traduzida matematicamente através da expressão:
v1 A1  v 2 A2 ,
onde v1 representa a velocidade do fluido no troço 1 de um tubo através do qual se faz o
escoamento em estudo (ver figura 1.1), v2 a velocidade do fluido no troço 2, A1 a área da
secção recta do troço 1 e A2 a área da secção recta do troço 2.
Figura 1.1 - Representação da equação da continuidade associada a um fluxo de fluido que circula
num tubo cilíndrico com diferentes secções rectas. (Adapt. E.R. Jones e R.L. Childers, 1993).
Tendo em conta que ao produto da velocidade do fluido pela área da secção recta
se dá o nome de caudal:
Q  vA ,
equação 1.1
uma outra forma de enunciar a equação de continuidade é dizer que o caudal de um
escoamento laminar e não rotacional, de um fluido ideal é constante qualquer que seja a
secção que se considere.
Quanto à equação de Bernoulli, esta é consequência da conservação da energia e,
considerando, uma vez mais, dois troços de um tubo no qual circula um fluido é
representada através da igualdade:
P1  gh1 
1 2
1
v1  P2  gh2  v22  c te
2
2
equação 1.2
onde P1 e P2 são as pressões do fluido respectivamente nos troços 1 e 2, v1 e v2 as suas
velocidades nos mesmos troços, h1 e h2 a altura respectiva de cada troço, ρ a densidade
do fluido e g a aceleração da gravidade.
1
A viscosidade é a grandeza que mede a fricção existente entre camadas adjacentes de um fluido e, do
ponto de vista do escoamento de fluidos, um fluido ter viscosidade nula significa que qualquer que seja o
ponto considerado num determinado troço, caracterizado por um determinado diâmetro, a velocidade do
fluido é constante (ver figura 21).
2
Retome-se, agora, a discussão feita em torno da pressão sanguínea em diferentes
pontos do corpo. Para se ser completamente rigoroso, atendendo a que o sangue se
encontra em movimento, a equação explicativa das diferenças de pressão em diferentes
pontos do corpo humano deverá ser a equação de Bernoulli2 e não o Princípio de Pascal.
No entanto, se admitirmos que a medida de pressão é feita em artérias com um diâmetro
aproximado, então a velocidade em cada uma delas será aproximadamente igual e a
equação de Bernoulli reduz-se à equação 14, o que valida o raciocínio feito no capítulo
5 acerca das diferenças de pressão sanguínea medidas em diferentes partes do corpo.
1.2 Movimento de fluidos viscosos
Embora as equações referidas na secção anterior sejam aplicadas em muitas
situações práticas, há que ter em atenção que a maioria dos fluidos apresentam
viscosidade. Em particular, a grande parte dos fluidos biológicos, cujo exemplo
paradigmático é o sangue, são caracterizados por uma viscosidade não desprezável.
Comece-se, então, por definir matematicamente viscosidade. Considere-se duas
lâminas separadas por uma fina camada de fluido (ver figura 1.2) de espessura Δy.
Mantendo-se a lâmina de baixo fixa e aplicando-se uma força F na lâmina de cima,
verifica-se que se estabelece-se uma variação da velocidade do fluido, Δv, à medida que
se consideram camadas sucessivas do fluido. Se A for a área de cada uma das lâminas,
verifica-se a seguinte relação:
F  A
v
,
y
equação 1.3
onde a constante de proporcionalidade η é a viscosidade do fluido. Uma análise
dimensional desta grandeza revela que a sua unidade S.I. é o Pa s.
Figura 1.2 - Representação das varáveis envolvidas na definição de viscosidade de um líquido.
A consequência mais visível de se considerar a viscosidade de um fluido num
escoamento é o seu perfil de velocidade ao longo de uma secção. Como se verifica na
figura 1.3, mesmo em fluxos laminares, desde que o fluido tenha viscosidade a sua
velocidade varia com a distância ao centro do tubo, sendo válida a expressão3:
v


1
P1  P2  a 2  r 2 ,
4l
equação 1.4
onde as grandezas tomam os seguintes significados: v - velocidade do fluido a uma
distância r do centro do tubo, a - raio do tubo, η - viscosidade do fluido, l comprimento do tubo, (P1-P2) - diferença de pressões nas extremidades do tubo.
2
Repare-se que para que a equação de Bernoulli seja plenamente adequada a esta situação será necessário
considerar o sangue como um fluido não viscoso, o que, na prática, não se verifica. Por este motivo, em
secções posteriores, discutir-se-á a situação em que a viscosidade é considerada.
3
Considera-se que o tubo no interior do qual o líquido flui tem geometria cilíndrica.
3
Figura 1.3 - Representação do perfil de velocidades num fluido viscoso que circula num tubo
cilíndrico. (Adapt. de J.B. Marion e W.F. Hornyak, 1985).
Assim, segundo a equação 22 é evidente que, considerando a viscosidade, o
fluido que circula próximo das paredes do tubo possui uma velocidade praticamente
zero e a velocidade máxima ocorre no seu centro.
Da expressão anterior é, ainda, possível deduzir a Lei de Poiseuille, que é aquela
que fornece o caudal que atravessa uma secção recta do tubo em função das variáveis
anteriormente descritas:
Q
a 4
 P  P2 
8l 1
equação 1.5
Também relacionado com a viscosidade do fluido está o tipo de escoamento que
este apresenta. Na verdade, em fluidos reais, com viscosidade não nula, verifica-se que
para valores de velocidade do fluido abaixo de um certo valor, o escoamento é
considerado laminar. No entanto, quando esse valor é ultrapassado, o escoamento passa
a ser turbulento. Geralmente, prevê-se o tipo de escoamento de um determinado fluido
empiricamente através da análise de um parâmetro, ao qual se dá o nome de Número de
Reynolds. Este factor que, como se poderá verificar, é adimensional, é calculado, para o
caso de um tubo cilíndrico através da expressão:

2 av
,

equação 1.6
sendo v a velocidade média do fluido e tendo as restantes variáveis o significado
anteriormente referido.
Estabelece-se, então, que, quando o número de Reynolds tem um valor inferior a
2000 o escoamento é laminar, enquanto que quando o número de Reynolds for superior
a 3000 o escoamento é turbulento. A gama entre 2000 e 3000 corresponde a uma
situação intermédia, instável, em que o fluxo oscila entre o laminar e o turbulento.
1.3 Forças de atrito no interior de fluidos
Quando objectos se movem no interior de fluidos viscosos e para valores de
velocidade considerados baixos, ficam sujeitos a forças de atrito proporcionais à
viscosidade do fluido. Estabelece-se que para o caso de um objecto esférico que se
mova num fluido, a força de atrito é proporcional à sua velocidade quando o número de
Reynolds associado a esta geometria:
4

rv
,

equação 1.7
é menor do que 1. Nestas condições, cumpre-se a relação:
Fa  6rv ,
equação 1.8
onde r é o raio do objecto, v a sua velocidade, ρ a densidade do fluido e η a sua
viscosidade.
Assim, além das forças de impulsão, referidas a propósito da Lei de Arquimedes,
um objecto no interior de um fluido com viscosidade fica sujeito a uma outra força que
se opõe ao seu movimento, a qual, para valores adequados da velocidade do objecto, é
proporcional a essa velocidade (ver figura 1.4).
Figura 1.4 - Representação das forças aplicadas a um objecto imerso num fluido com viscosidade η
e densidade ρfluido. (Adapt. E.R. Jones e R.L. Childers, 1993).
Repare-se, a este respeito, que, o facto de a força de atrito sentida por objectos
que se deslocam em fluidos ser proporcional à velocidade, implica que, ao contrário do
que sucede nos sólidos4, a velocidade de objectos que caiem no interior de fluidos, não
aumente sempre ao longo da sua trajectória, mas que exista uma velocidade limite, a
partir da qual, todas as forças aplicadas se anulam. Determine-se, então essa velocidade
limite. A condição é que a soma da força de atrito, Fa, com o impulso, I, iguale a força
gravítica do objecto, Fgrav:
Fgrav  I  Fa .
Substituindo cada uma das forças pela sua expressão e considerando o objecto esférico,
obtém-se5:
4
Nos sólidos, numa primeira aproximação, assume-se que a força de atrito é constante e, portanto,
independente da velocidade com que os sólidos se deslocam uns relativamente aos outros.
5
Recorde-se que o volume de uma esfera é dado pela expressão 4/3 πr3.
5
4
4
 obj gV   fluidogV  6rv   obj g r 3   fluido g r 3  6rv 
3
3
,
2
2r g
v
 obj   fluido 
9
V é o volume do objecto, ρobj a sua densidade, r o seu raio, v a sua velocidade, ρfluido é a
densidade do fluido e η a sua viscosidade.
Para situações em que o número de Reynolds apresentado na equação 25 seja
maior do que 1, é válido assumir-se que as forças de atrito são, por um lado,
proporcionais ao quadrado da velocidade, por outro independentes da viscosidade do
fluido. Nesse caso, a expressão da força de atrito vem dada por:
Fa  C Dr 2
 fluido v 2
2
,
equação 1.9
sendo CD o coeficiente de atrito, obtido através de medidas experimentais e tendo as
restantes variáveis o mesmo significado do que o descrito anteriormente.
1.4 Aspectos da circulação sanguínea
Os princípios nos quais a circulação sanguínea se baseia são, na sua maioria,
relacionados com os aspectos de movimento de fluidos explicados nas secções
anteriores. Como é do conhecimento geral, a circulação sanguínea é responsável pelo
transporte de oxigénio, nutrientes e outros produtos essenciais à vida das células e retira
destas dióxido de carbono e diversos detritos resultantes do seu metabolismo.
A circulação sanguínea pode ser descrita de uma forma simples do seguinte
modo: o sangue, após ser oxigenado nos pulmões dirige-se para a aurícula esquerda do
coração passando pelas veias pulmonares. Em seguida, é transferido para o ventrículo
esquerdo através da válvula6 mitral e deste é bombeado para todo o corpo. À saída do
ventrículo esquerdo, passa pela válvula aórtica, que dá passagem para a artéria aorta e é
conduzido através de uma rede complexa de artérias cada vez mais pequenas7, indo
alimentar todas as células. Após as trocas gasosas, de nutrientes e de detritos existentes
ao nível celular, o sangue regressa ao coração através de veias cada vez de maior
dimensão8, até entrarem no coração através da veia cava em direcção à aurícula direita.
A passagem da aurícula direita para o ventrículo direito é feita através da válvula
tricúspide e, a partir do ventrículo direito, o sangue passa ainda na válvula pulmonar que
dá acesso à artéria pulmonar que o conduz no sentido dos pulmões onde será oxigenado
(ver figuras 1.5 e 1.6).
6
Repare-se que as válvulas cardíacas, tanto as que unem as aurículas aos ventrículos, como as que unem
os ventrículos às artérias, têm como função garantir a unidireccionalidade do fluxo sanguíneo. O mau
funcionamento das mesmas implica, invariavelmente, a existência de refluxos, com indesejáveis efeitos no
funcionamento cardíaco.
7
Às artérias mais pequenas dá-se o nome de arteríolas e estas desembocam em capilares com a
dimensão celular que permitem alimentar células individuais.
8
Similarmente ao que acontece com as artérias, às veias de menor dimensão dá-se o nome de vénulas.
6
Figura 1.5 -Esquema de um coração humano. (Adapt. Vander, Sherman e Luciano, 1998).
Figura 1.6 - Esquema do sistema circulatório. (Adapt. de
http://www.cancer.help.org.uk/help/default.asp?page=116).
Para aplicar à circulação sanguínea alguns dos resultados discutidos
anteriormente é necessário analisar-se as propriedades do sangue e assumir-se algumas
aproximações. Antes de mais, deve ter-se presente que o sangue, embora seja, em
muitas situações, considerado como um fluido homogéneo, na verdade, é constituído
por diversas partículas em suspensão, o que, do ponto de vista de análise do seu
escoamento, torna a sua descrição particularmente difícil, nomeadamente, quando os
vasos que o conduzem são muito estreitos. Um segundo ponto, prende-se com a
elasticidade dos vasos que conduzem o sangue. Apesar de se aceitar, nas abordagens
mais simples, que o sangue circula através de tubos rígidos, esta aproximação não é
verdadeira, uma vez que, como se sabe, as paredes dos vasos são extremamente
elásticas, sendo, inclusivamente, um factor importante de regulação do fluxo sanguíneo
como se discutirá adiante. Por fim, o sangue deverá ser considerado um fluido viscoso,
7
sendo caracterizado por uma viscosidade aproximada de η = 4 x 10-3 Pa s e uma
densidade ρ = 1.0595 x 103 Kg m-3.
Uma questão que se coloca é saber se o escoamento do sangue nos vasos
sanguíneos é laminar ou turbulento. Para responder a este ponto é necessário conhecer
qual a velocidade máxima do sangue circulante. Para um determinado caudal, quanto
maior for a área da secção dos vasos, menor será a velocidade do fluido. Como
facilmente se compreende, a área dos vasos através dos quais o sangue é conduzido
aumenta com a distância ao coração9. Ou seja, a velocidade do sangue é maior nas
grandes artérias. É, pois, útil analisar o que se passa ao nível da artéria aorta.
Tendo em atenção que o caudal habitual do sangue é 8 x 10-5 m3 s-1 e que o
diâmetro da artéria aorta é cerca de 2 cm, facilmente se calcula a velocidade média do
sangue que nela circula:
Q  Av  v 
Q
Q
8 10 5
v 2 v 
A
r
  1  10  2


2
 0.25 m s -1 .
Estamos, pois, em condições de calcular o número de Reynolds para esta
situação:

2  1.06 10 3  1 10 2  0.25
 1325 .
4  10 3
Ou seja, o número de Reynolds é, em situações normais, menor do que o valor
limite de 2000. De onde se pode concluir que o fluxo é laminar. Deve, no entanto,
realçar-se que, em situações de maior caudal que ocorrem, por exemplo, durante esforço
físico, o número de Reynolds pode exceder o valor 2000 e, nesse caso, o fluxo na aorta,
torna-se turbulento. Porém, cálculos realizados para outros vasos levam a concluir que,
em situações normais, apenas ao nível da aorta existe a possibilidade de ocorrência de
fluxos turbulentos e, geralmente, associados a situações afastadas do repouso.
Com os dados que se possui é ainda possível através da lei de Poiseuille
(equação 23), encontrar a diferença de pressão nos extremos da artéria aorta. Admitindo
que o seu comprimento é aproximadamente 40 cm a diferença de pressão vem dada por:
 P1  P2   Q 8l4
a
 P  8 10 5
8  4 10  3  0.4

 1.0  10 2

4
 P  32.6 Pa .
Em seguida, é ainda possível utilizar este resultado para, através da expressão
23, determinar o perfil da velocidade do sangue na artéria aorta. A velocidade do sangue
variará entre o valor zero junto às paredes da artéria e um valor máximo que
corresponde ao centro da artéria e que, em termos matemáticos, corresponde a
considerar r = 0:


1
1
2
P1  P2 a 2  v 
 32.6  1.0  10  2  0.5 m s -1 .
3
4l
4  4  10  0.4
Este resultado, em conjunto com a Lei de Bernoulli (equação 20), permite
concluir que a pressão junto das paredes da artéria é maior do que a pressão no seu
centro. É devido a este resultado que, em situações normais, as partículas que se
encontram em suspensão no sangue são conduzidas por este, maioritariamente na região
central dos vasos, em vez de serem depositadas nas suas paredes (ver figura 1.7). Esta
tendência, porém, não impede que, com o correr dos anos, as paredes dos vasos se
estreitem, devido a depósitos vários, e percam elasticidade, fenómeno ao qual se dá o
v
9
Repare-se que conforme nos afastamos do coração, o diâmetro dos vasos diminui, mas o seu número
aumenta, de modo que o balanço é no sentido de a área total também aumentar.
8
nome genérico de arteriosclerose. Uma vez formados esses depósitos a sua remoção é
muito difícil uma vez que, como observámos, a velocidade do sangue junto às paredes é
praticamente zero e, portanto, não tende a arrastá-los.
Figura 1.7 - Esquema do perfil das velocidades do sangue que circula numa artéria, representação
das forças a que as partículas constituintes do sangue são sujeitas e da variável r correspondente à
equação 22. (Adapt. de J.B. Marion e W.F. Hornyak, 1985).
Se analisarmos a equação 20, facilmente verificamos que a constrição de um
local no interior do vaso, implica um aumento de velocidade nessa região. Quando esse
aumento é significativo o fluxo pode tornar-se turbulento o que provoca graves
disfunções ao nível da circulação sanguínea.
A alteração do diâmetro dos vasos pode, no entanto, ser um importante factor de
regulação. De facto, como já se referiu, os vasos sanguíneos, particularmente as
arteríolas, não possuem uma forma rígida, sendo as suas paredes revestidas de músculos
que contraem ou distendem, modificando, assim, o seu diâmetro e controlando o caudal.
Utilizando a equação 23 pode estimar-se qual a alteração de caudal provocada numa
arteríola quando o seu diâmetro diminui, por exemplo, de 20%. Seja Q o caudal inicial,
Q’ o caudal após o estrangulamento da arteríola e a e a’ os seus raios em cada uma das
situações:
a 4
 P1  P2  4
Q
a
a4
8l



 2 .4
Q ' a '4
a' 4 0.8a 4
 P1  P2 
8l
conclui-se, então, que apenas com uma pequena variação no raio, o caudal altera-se para
menos de metade. Em situações de funcionamento normal, este mecanismo é, como se
observou, extremamente eficiente no sentido de canalizar o sangue para as regiões que
mais precisam dele.
9