Lista de exercícios: Equações Algébricas – Problemas Gerais – Prof

 Lista de exercícios: Equações Algébricas – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho Questões: 01.(IBMEC) Considere o polinômio P (x) =− x3 − 4x + 5x2 + 20 . Determine as três raízes, reais ou complexas, da equação P (x) = 0 . 02.(IBMEC) Resolva a equação: 3x3 − x2 − 18x + 6 = 0 , em R . 03.(UNICAMP) Ache todas as raízes complexas da equação: x5 − x4 + x3 − x2 − 2x + 2 = 0 . 04.(GV) A equação polinomial x3 − 7x − 6 = 0 tem como uma das raiz o valor – 1. Quais são as outras duas raízes? 05.(UNESP) A equação polinomial x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0 admite 1 como raiz. Quais são as outras duas raízes? 06.(GV) O polinômio P (x) = 3x4 − 22x3 + 64x2 − 58x + 13 tem x = 13 como uma de suas raízes. Encontre todas as raízes da equação P (x) = 0 no conjunto dos números complexos. 07.(GV) Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômio P (x) = x4 − 3x3 − 7x2 + 15x + 18 , determine as outras raízes. 08.(GV) O polinômio P (x) = x4 − 5x3 + 3x2 + 5x − 4 tem o número 1 como raiz dupla. Qual é o valor das outras duas raízes de P(x). 09.(PUC) Sabe­se que a equação x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0 admite raízes inteiras. Se “m” é a maior das raízes não inteiras dessa equação, calcule o valor de “m”. 10.(UNESP) A altura h de um balão em relação ao solo foi observada durante um certo tempo e modelada pela função h(t) = t3 − 30t2 + 243t + 24 , com h(t) em metros e t em minutos. No instante t = 3 minutos, o balão estava a 510 metros de altura. Determine em que outros instantes t a altura foi também de 510 metros. 11.(UNESP) Uma raiz da equação x3 − (2a − 1).x2 − a.(a + 1).x + 2.a2.(a − 1) = 0 é x = (a − 1) . Quais são as outras duas raízes dessa equação? 12.(UNESP) Duas raízes r1 e r2 de um polinômio P (x) de grau 3, cujo coeficiente do termo de maior grau é 1, são tais que r1 + r2 = 3 e r1.r2 = 2 . a) Dê as raízes r1 e r2 de P (x) . b) Sabendo­se que r3 = 0 é a terceira raiz de P (x) , dê o polinômio P (x) . 13.(FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n)x2 − 5nx + (m − 2) = 0 valem, respectivamente, 58 e 323 . Calcule o valor de m + n . 14.(MACK) Se a, b e c são as raízes da equação x3 − 2x2 + 3x − 4 = 0 , determine o valor de S = 1a + 1b + 1c . 15.(GV) Responda os dois itens abaixo: 1
1
1
a) Sejam a, b e c as raízes da equação x3 − 4x2 + 6x − 1 = 0 . Calcule o valor de E = a.b
+ a.c
+ b.c
. b) Resolva a equação x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 , sabendo que a soma de duas raízes vale 4. 16.(FUVEST) Sabe­se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 − x2 + k.x + 4 = 0 é igual a 1. Calcule o valor de k. 17.(FUVEST) As três raízes de 9x3 − 31x − 10 = 0 são p, q e 2 . Qual é o valor de p2 + q2 ? 18.(GV) O polinômio P (x) = x3 − 5x2 − 52x + 224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é 1, calcule o produto da primeira e a segunda. 19.(MACK) Se P (x) = 4x3 − 16x2 − x + m , com m real, admite duas raízes opostas, calcule o valor de m . 20.(MACK) Se a equação x3 + mx2 + nx − 8 = 0 , com m e n números reais não nulos, tem uma raiz real de multiplicidade 3, calcule o valor de m − n . 21.(IBMEC) Uma das raízes do polinômio P (x) = 16x3 − 64x2 + 79x − 30 é igual à soma das outras duas raízes. Determine as três raízes da equação P (x) = 0. 22.(MACK) Se a, b e c são raízes do polinômio P (x) = x3 − 5x2 + 2x + 8 , tais que a =− 2bc , calcule o valor da expressão E = ab + ac . 23.(FUVEST) O produto de duas das raízes do polinômio P (x) = 2x3 − m.x2 + 4x + 3 é igual a – 1. Determinar: a) o valor de m. b) as raízes de P (x). 24.(ITA) Se a, b e c são raízes da equação x3 − r.x + 20 = 0 , onde r é real, determine o valor de a3 + b3 + c3 . 25.(MACK) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio P (x) = x3 − a3.x2 + a.x − 1 , com a real, formam uma progressão geométrica, calcule o valor de a − a3. 26.(UNESP) Dado que as raízes da equação x3 − 3x2 − x + k = 0 , onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, qual é o valor de k? 27.(UNICAMP) Considere o polinômio P (x) = x2 − 11x + k + 2 , em que x é uma variável real e k um parâmetro fixo, também real. a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de P (x) por x − 1 é igual a 3? b) Supondo, agora, k = 4 , e sabendo que a e b são raízes de P (x) , calcule o valor de sen( πa + πb ) . 28.(GV) Considere a equação x3 − 6x2 + m.x + 10 = 0 de incógnita x e sendo m um coeficiente real. Sabendo que as raízes da equação formam uma progressão aritmética, qual é o valor de m ? 29.(UNICAMP) As três raízes da equação x3 − 3x2 + 12x − q = 0 , onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética. a) Determine q. b) Utilizando o valor de q determinado no item anterior, encontre as raízes (reais e complexas) da equação. 30.(FUVEST) As raízes da equação do terceiro grau x3 − 14x2 + k.x − 64 = 0 são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine: a) o valor de k b) as raízes da equação. 31.(FUVEST) Sejam a e b as raízes da equação 10x2 + 33x − 7 = 0 . Qual é o número inteiro mais próximo do número 5ab + 2.(a + b)? 32.(ITA) Quais são os valores de m de modo que a equação x3 − 6x2 − m2x + 30 = 0 tenha duas de suas raízes somando 1? 33.(GV) Qual é a soma das raízes da equação x3 − 2x + 5 =− 3x2 + 2x + 17? 34.(FUVEST) As raízes do polinômio P (x) = x3 − 3x2 + m , onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine: a) o valor de m . b) as raízes desse polinômio. 35.(GV) A equação polinomial x3 − x2 − 7x + 15 = 0 , apresenta uma raiz igual a 2 + i . Obtenha as outras raízes. 36.(MACK) O polinômio P (x) = x3 + a.x2 + b.x + c , com a, b e c reais, admite as raízes 1 e i . Determine o valor da expressão E = a − b + c . 37.(UNESP) Seja a função polinomial P (x) = x3 + 2x2 + kx + θ , sendo k e θ constantes reais. Sabendo que 1 + i é raiz da função polinomial, calcule os valores de k e θ. 38.(UNICAMP) Dada a equação polinomial com coeficientes reais x3 − 5x2 + 9x − a = 0. a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. 39.(FUVEST) A equação x3 + m.x2 + 2x + n = 0 , onde m e n são números reais, admite o número complexo 1 + i como raiz. Nessas condições, calcule o valor de m e n. 40.(FUVEST) Resolva a equação x4 − 5x3 + 13x2 − 19x + 10 = 0 , sabendo que o número complexo 1 + 2i é uma das suas raízes. 41.(UNICAMP) Uma das raízes do polinômio 2x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 é o número complexo i . Qual é o resultado da soma dos quadrados de todas as raízes desse polinômio? 42.(FUVEST) O polinômio P (x) = x4 + x2 − 2x + 6 admite 1 + i como raiz. Qual é o número de raízes reais deste polinômio P (x)? 43.(ITA) Seja P um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − i como raiz de multiplicidade 2. Sabe­se que a soma e o produto de todas as raízes de P são, respectivamente, 10 e – 40. Sendo afirmado que três raízes de P são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, calcule essas três raízes. 44.(FUVEST) 1
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo Z = 1+i
− 2i1 + i . b) Determine o polinômio de grau 2, com coeficientes reais, que tenha Z como raiz e que possua coeficiente dominante igual a 8. 45.(ITA) Sobre a equação polinomial 2x4 − 2x3 + bx2 + cx − 1 = 0 , sabemos que os coeficientes b e c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 12 − 2i também é sua raiz. Determine os valores de b e c . 46.(FUVEST) O polinômio P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx − 8 , em que a, b e c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de P (x) = 0. b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de P (x) e determine o polinômio com coeficientes reais, de menor grau, que tenha coeficiente dominante igual a 1 e possua esses novos valores como raízes. 47.(MP) A equação x3 − 15x2 + 36x − 130 = 0 admite uma raiz r , tal que 10 < r < 20 . Encontre todas as raízes (reais ou complexas) dessa equação. 48.(MP) Resolver a equação 2x3 − 3x2 − 18x + 5 = 0 em R , sabendo que a equação admite uma raiz fracionária negativa. 49.(MP) Resolver a equação 2x3 + x2 − 24x − 14 = 0 sabendo que a equação admite uma raiz fracionária positiva. 50.(MP) Resolver a equação 2x4 − 17x3 + 23x2 − 17x + 21 = 0 sabendo que a equação admite uma raiz inteira maior que 5 e uma raiz fracionária positiva. Gabarito: 01. {5, 2i, − 2i} 02. { 13 , √6, − √6} 05. {1 + i, 1 − i} 06. { 13 , 1, 3 + 2i, 3 − 2i} 09. m =
17. p2 + q2
19. m = 4 =
26
9
−3+√5
2
12. a) r1 = 1 e r2 = 2 b) P (x) = x3 − 3x2 + 2x 11. {− a, 2a} 13. m + n = 9 15. a) E = 4 b) {− 2, 1, 3} 18. r1.r2 =− 56 16. k =− 8 22. E =− 2 25. a − a3 = 0 27. a) k =
26. k = 3 11 b) − 12 29. a) q = 10 b) {1, 1 + 3i, 1 − 3i} 30. a) k = 56 b) {2, 4, 8} 31. – 10 32. m = 1 m = − 1 36. E =− 3 08. {− 1, 4} 20. m − n =− 18 21. { 34 , 54 , 2} 3
23. a) m = 7 b) { 2 , 1 + √2, 1 − √2} 24. a3 + b3 + c3 =− 60 28. m = 3 04. {− 2, 3} 07. {− 1, − 2} 10. t = 09 minutos t = 18 minutos 14. S = 34 03. {i√2, − i√2} 33. Soma = − 3 35. {2 − i, − 3} 37. k = − 6 θ = 8 39. m = − 2 n = 0 34. a) m = 2 b) {1, 1 + √3, 1 − √3} 38. a) a = 5 b) {2 − i, 1} 40. {1 + 2i, 1 − 2i, 1, 2} 41. Soma = − 34 42. Zero 43. {− 1, 2, 5} 1
2
a) Re(Z) = 2 e Im(Z) = 1 b) P (x) = 8x − 8x + 10 45. b = − 1 c = 2 46. a) a =− 2, b = − 2, c = 8 e {1 + i, 1 − i, 2, − 2} b) P (x) = (x − 1).(x + 3).(x2 + 1) 47. {1 + 3i, 1 − 3i, 13} 48. {− 52 , 2 + √3, 2 − √3} 49. { 72 , − 2 + √2, − 2 − √2} 50. { 32 , 7, i, − i } 44.