Espaço Euclidiano

a Lista de Álgebra Linear Aplicada - MAN
8¯
1) Verifique em cada um dos itens abaixo se a função h, i é um produto interno no espaço
vetorial V :
a) V = R2 , u = (x1 , y1 ), w = (x2 , y2 ) e hu, vi = 2x1 y1 + 4x2 y2 .
b) V = R2 , u = (x1 , y1 ), w = (x2 , y2 ) e hu, vi = 2x1 x2 − x1 y2 − x2 y1 + 2y1 y2
c) V = P3 (R), p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 , q(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 e
hp, qi = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
d) V = M2 (R), A, B ∈ M2 (R) e hA, B.i = tr(At B), onde tr(A) é o traço de A.
e) V = R3 , u = (x1 , y1 , z1 ), w = (x2 , y2 , z2 ) e hu, vi = x1 x2 + y1 y2 .
f) V = R4 , u = (x1 , y1 , z1 , t1 ), w = (x2 , y2 , z2 , t2 ) e hu, vi = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 − t1 t2 .
2) Para cada um dos itens abaixo determinar: (i) hu, vi
entre u e v.
(ii) kuk, kvk
(iii) o ângulo
a) V = R3 , com o produto interno usual, u = (1, 2, 1) e v = (3, 4, 2)
b) V = P2 (R), com o produto interno usual, u = p(t) = 1 + t + 4t2 e v = q(t) = 2 + 5t2
c) V = M2 (R), com o produto interno dado no exercı́cio 1.
8 −1
1 2
.
ev=B=
d) u = A =
4 3
4 12
3) Determine d(u, v) nos seguintes casos:
a) V = R4 , com o produto interno usual, u = (1, 1, 1, 1) e v = (0, 0, 1, 1).
R1
b) V = P2 (R), com o produto interno hp, qi = 0 p(t)q(t) dt, u = 1 + t, v = 34 t + 3t2 .
c) V = M3 (R), com produto interno dado no exercı́cio 1) d),




1 2 1
1 2 3
v = 0 0 1
u = 4 5 6
2 2 2
1 1 1
R1
4) Seja V = P2 (R) e defina hp, qi = 0 p(t)q(t) dt. Dados os polinômios p(t) = t + 2,
q(t) = 3t − 2 e r(t) = t2 − 2t − 3, determine: a) hp, qi e hp, ri; b) kpk e kqk; c) Normalize
p e q.
1
5) Seja V = M2×3 (R) com o produto interno dado por hA, B.i = tr(At B), e considere as
matrizes
3 −5 2
1 2 3
9 8 7
, C=
, B=
A=
1 0 −4
4 5 6
6 5 4
Ache a) hA, Bi, hA, Ci, hB, Ci; b) h2A + 3B, 4Ci; c) kAk, kBk; d) Normalize A e B.
6) Encontre o ângulo entre:
a) u = (1, −3, 2) e v = (2, 1, 5) em R3
b) u = (1, 3, −5, 4) e v = (2, −3, 4, 1) em R4
R1
c) u(t) = 2t − 1 e v(t) = t2 , onde hu, vi = 0 u(t)v(t) dt
0 −1
2 1
, onde hA, B.i = tr(At B).
eB=
d)A =
2 3
3 −1
7) Verifique se o conjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal.
a) V = R3 , com produto interno usual, S = {(0, 1, 1), (1, 1, 0)}
R1
b) V = P2 (R), com produto interno hp, qi = 0 p(t)q(t) dt, S = {t, t2 }
c) V = M2 (R) com o produto interno hA, B.i = tr(At B),
1 0
0 1
0 0
S=
,
,
0 0
0 1
1 0
d) Quais dos conjuntos acima são ortonormais?
8) Seja W = [(1, 2, 3, −1, 2), (2, 4, 7, 2, −1)] subespaço de R5 , determine uma base para
W⊥ (conjunto de todos os vetores ortogonais à W).
9) Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetoriais W do espaço
com produto interno V abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt:
a)
V = R3 com produto interno usual, W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y = 0}
b) V = R4 , com produto interno usual, W = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)]
c) V = R4 , com produto interno usual, W = [(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 4), (1, 2, −4, −3)]
R1
d) V = P2 (R), com o produto interno hp, qi = 0 p(t)q(t) dt, W = [1, 1 + t, t2 ]
e) V = M2 (R) com o produto interno hA, B.i = tr(At B),
0 0
0 1
1 0
,
,
W =
1 1
0 1
0 0
2
10) a) Mostre que se kuk2 + kvk2 = ku + vk2 , então u e v são ortogonais.
b) Mostre que se um vetor w é ortogonal a u e v, então w é ortogonal ao vetor u + v.
11) Considere P3 (R) com o produto interno hp, qi =
de p(x) = 1 + x + x2 + x3 sobre W = [x3 − x].
R1
0
p(t)q(t) dt. Encontre a projeção
12) Dados os vetores u = (2, −1, 2), v = (1, 2, 1), w = (−2, 3, 3), determine o vetor de R3
que é a projeção ortogonal de w sobre o plano gerado por u e v.
13) Dado u = (1, 3, −4) ∈ R3 , encontre uma base para o subespaço u⊥ (conjunto de todos
os vetores ortogonais à u).
14) Dado u = (1, 1, 1, 1) ∈ R4 , encontre uma base ortonormal para o subespaço u⊥
(conjunto de todos os vetores ortogonais à u) .
15) Seja u = (1, 3, 5, 7). Ache a projeção de u sobre W, onde
a) W = [(1, 1, 1, 1), (1, −3, 4, −2)]
b) W = [(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2)].

1/2
1/3 2/5
16) Dada a matriz [T ]B =  1/2 −1/3 2/5, onde B é a base canônica de R3 , verifique
−1/2
0
4/5
se T é uma isometria.

17) Determinar P ∈ M2 (R) , se existir, de modo que P −1 AP seja uma matriz diagonal
nos seguintes
casos:
3 −2
2 4
b) A =
a) A =
2 1
3 13
18) Verifique se T : M2 (R) → M2 (R) dada por T (A) = At , é uma isometria.
19) Seja T : R3 → R3 uma transformação linear cuja matriz em relação à base canônica é


2 2 0
[T ]B = 2 −1 0 .
0 0 2
a) T é um operador auto-adjunto? Justifique.
3
b) Encontrar os autovalores de T .
c) Encontrar, se possı́vel, uma base ortonormal do R3 de modo que a matriz da transformação seja diagonal.
20) Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por
T (x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z)
a) T é um operador auto-adjunto? Justifique.
b) Encontrar os autovalores de T .
c) Encontrar, se possı́vel, uma base ortonormal do R3 de modo que a matriz da transformação seja diagonal.
21) Dê a expressão geral de uma matriz quadrada de ordem 2 ortogonal.
22) Dada uma matriz A de ordem m×n, podemos definir quatro subespaços fundamentais: o espaço linha (gerado pelas linhas de A), o espaço coluna (gerado pelas colunas de
A), o espaço anulado de A (que é o conjunto de soluções do sistema homogêneo AX = 0)
e o anulado de AT (conjunto de soluções do sistema homogêneo AT X = 0).

1 −1 3
5
2
1

a) Encontre os quatro subespaços fundamentais da matriz A = 
0
1 −2
−1 −1 1

b) Verifique que
(o espaço linha de A)⊥ = anulado de A,
(o espaço coluna de A)⊥ = anulado de AT .
23) Diagonalize as seguintes matrizes, encontrando uma matriz ortogonal P e uma matriz
diagonal D de modo que P T AP = D.
√ 2
1
−1 3
4 1
c) A = √
b) A =
a) A =
3 −1
1 4
2 0


5 0 0
d) A = 0 1 3
0 3 1


2 3 0
e) A = 3 2 4
0 2 2
4