1 Lógica - DMA-UEM

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Lógica
Este material se compõe de exercícios de Lógica relacionadas as disciplinas
de Fundamentos de Matemática e Matemática Discreta..
1.1 Tabela Verdade
1. (FM-2003) O conectivo ∇ é tal que p∇t ⇔ t e p∇c ⇔ c, onde p é
uma proposição qualquer, t é uma tautologia e c é uma contradição.
(a) Construa a tabela verdade de p∇q, para quaisquer proposições
p e q.
(b) O conectivo ∇ é comutativo?
(c) Verifique se i) p∇p ⇐⇒ p
ii) (p → q) ⇒ (p∇q −→ q∇p).
2. (MD-2002) Determine, através de uma tabela-verdade, os valoresverdade da proposição (p ∧ ∼ q) → r. Usando as proposições simples
p, q, r, dê um exemplo de proposição equivalente à proposição dada.
3. (MD-2002) Construa a tabela-verdade da proposição abaixo e conclua, justificando, que ela é equivalente à proposição ∼ (q ∧ r∧ ∼ p).
(q → r) ∧ (r∨ ∼ p) →∼ (q∧ ∼ p)
1.2 Método Dedutivo
1. (MD-2002) Verifique se as inferências abaixo são válidas (nesse caso
apresente uma demonstração) ou inválidas (nesse caso apresente um
contra-exemplo):
q∨p
q∨p
q→p
q→p
q
p
2. (MD-2002) Verifique se as inferências abaixo são válidas (nesse caso
apresente uma demonstração) ou inválidas (nesse caso apresente um
contra-exemplo):
q→r
q→r
q∨p
q∨p
∼r
∼r
p→r
p
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1. Lógica
3. (FM-2003) Mostre que o seguinte argumento é válido:
H1 : A ∨ (B → C)
H2 : C → (D ∧ E)
H3 : (∼ B ∨ D) → F
H4 :∼ F
T :A
4. (FM-2003) Mostre que o seguinte argumento é válido:
P ∨ (Q ∧ R), Q → S, P → U, ˜(R ∧ X), S → (X ∨ Y ), ˜U ` Y,
onde P, Q, R, S, U, X e Y são proposições quaisquer.
5. (FM-2003) Verifique se a proposição
(p ∧ q) ∨ (∼ r ∧ p) → q∨ ∼ r
é uma tautologia. Caso o seja, demonstre pelo método dedutivo e
caso não seja apresente os valores lógicos de p, q e r que impedem de
ser.
6. (MD-2001) Demonstre, justificando cada passo, a inferência
p→q∨r
p ∧ ∼r
q.
7. (FM-2002) Mostre que (p ∧ q) → r ⇔ [(p → r) ∨ (q → r)], utilizando
o método dedutivo.
8. (MD-2000) Valide o argumento
A ∨ J =⇒ G, J =⇒∼ G, J ∨ B ` A =⇒ B.
9. Prove que os seguintes argumentos são válidos:
a) T, T =⇒∼ Q, ∼ Q =⇒∼ S ` ∼ S.
b) S ∧ Q, T =⇒∼ Q, ∼ T =⇒ R ` R.
c) ∼ A =⇒ B, B =⇒ C, ∼ C ` A.
d) ∼ A =⇒ C, C =⇒∼ M, M ∨ R, ∼ R ` A.
e) P =⇒ Q, ∼ R =⇒∼ Q, ∼ (∼ P ∨ ∼ S) ` R ∧ S.
f) P ∧ Q =⇒∼ R∨ ∼ S, R ∧ S ` P =⇒∼ Q.
g) P ∨ Q, ∼ R∨ ∼ Q ` ∼ P =⇒∼ R.
10. (MD-1997)Compare os argumentos abaixo. Quais são válidos ? Explique e dê exemplos:
P ⇒Q
P
Q
P ⇒Q
∼P
∼Q
1. Lógica
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1.3 Quantificadores
1. (FM-2003) Considerando N como universo de discurso e a proposição
(∃x)(∃y)(q(x, y)∧ ∼ p(x))
responda:
(a) Qual a negação da proposição acima?
(b) Se p(x) : "x é par" e q(x, y) :"x = 2y", qual o valor lógico da
proposição do item (a)?
2. (FM-2003) Considere a seguinte proposição: (∃x)(˜p(x))∨[(∀x)(∃y)(q(x, y))].
(a) Apresente a sua negação.
(b) Encontre o valor lógico da proposição obtida no item a), considereando o universo de discurso {1, 2, 3, 4}, as proposições p(x) :
x < 5 e q(x, y) : x2 + 2y < 15.
3. (MD-2002) Escreva a negação da proposição abaixo e determine o
valor-verdade da proposição obtida:
(∀x)(∀y)(p(x, y) → q(x)),
onde, no universo dos números inteiros, q(x) é o predicado "x é par"
e p(x, y) é o predicado "x = 2y".
4. (MD-2002) Escreva a negação da proposição abaixo:
(∃x)(∃y)(q(x, y)∧ ∼ p(x)).
Sabendo que, no universo dos números inteiros, p(x) é o predicado
"x é par" e q(x, y) é o predicado "x = 2y", determine o valor-verdade
da proposição obtida.
5. Escreva (em português, não em linguagem lógica) a negação de cada
sentença abaixo:
(a) Todo número inteiro é um número real.
(b) Existe um número real que não é inteiro.
(c) Alguns naturais são primos.
(d) Nem todos os naturais são primos.
(e) Todas as casas são feitas de tijolos.
(f) Nenhum natural é primo.
(g) Todo carro é ou branco ou preto.
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1. Lógica
(h) Alguns carros são brancos por fora e pretos por dentro.
(i) Existe um número natural que é par ou um quadrado perfeito.
(j) Todo natural é ímpar ou um quadrado perfeito.
6. No universo dos números inteiros, considere o predicado s(x) : x3 = −
x. Qual das seguintes proposições são verdadeiras (justifique):
(a) s(o)
(b) s(−1)
(c) s(1)
(d) (∃x)(s(x))
(e) (∀x)(s(x))
(f) (∃!x)(s(x))
7. Considere o mesmo predicado s do exercício anterior, agora no universo {0, −1}, e determine os valores-verdade das seguintes proposições:
(a) (∃x)(s(x))
(b) (∃!x)(s(x))
(c) (∀x)(s(x))
8. No universo dos números inteiros Z, determine o valor-verdade de
cada proposição abaixo (justifique a resposta):
(a) (∀x)(∀y)(x = y)]
(b) (∀x)(∀y)(xy = yx)
(c) (∀x)(∃y)(xy = 1)
(d) (∀x)(∃y)(xy = x)
(e) (∃x)(∀y)(xy = y)
(f) (∀x)(∃y)(∀z)(xy = z)
(g) (∀x)(∀y)(∃z)(xy = z)
9. No universo dos números naturais N, escreva (usando quantificadores
e, se necessário, conectivos lógicos) os seguintes predicados (siga o
exemplo do item (a)):
(a) p(n): n é par. (solução: (∃k)(n = 2k))
(b) i(n): n é ímpar.
(c) d(n, m): n divide m.
(d) r(n): n é primo (use d(n, m) para indicar a propriedade do item
anterior).
1. Lógica
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(e) q(n): n é um quadrado perfeito (isto é, n é o quadrado de um
número natural).
10. Expresse a negação de cada predicado do exercício anterior.
11. Usando os predicados p, i, d, r, q do exercício acima (sem descrevê-los
novamente), conectivos lógicos e quantificadores, expresse cada uma
das proposições abaixo (siga o primeiro exemplo):
(a) Todo natural é par ou ímpar. (solução: (∀n)(p(n) ∨ i(n)))
(b) Se um quadrado perfeito é par, então ele é divisível por 4.
(c) Só existe um número primo par.
(d) Se um primo divide o produto de dois números, então ele divide
um dos dois números.
(e) Há números primos pares, mas não há quadrados perfeitos primos.
(f) Alguns números são divisíveis por 3 mas não por 9
12. Ainda considerando os predicados p, i, d, r, q sobre N, determine os
valores-verdade das seguintes proposições abaixo:
(a) (∀n)([p(n) → i(n + 1)])
(b) (∃n)(r(n) ∧ d(3, n))
(c) (∀n)(r(n) → (d(n, 2) ∨ d(2, n))
(d) (∀n)(∃m)((m 6= 1) ∧ q(m) ∧ d(m, n))
(e) (∀n)(∃m)(q(m) ∧ d(n, m))
(f) (∀n)(∀m)[((n = m2 ) ∧ p(m)) → q(m) ∧ p(n)]
(g) (∃n)(q(n) ∧ q(n + 1))
13. (MD-1997)Para cada das sentenças abaixo, determine valor verdade
e faça as respectivas negações sem usar o conectivo ∼ .
a)
b)
∀y∃x[2x = y]
(universo: inteiros)
(universo: 1,2,3,...)
∀x[(x 6= 1) ⇒ (x2 > x + 1)]
14. (MD-1997)Esceva em notação lógica o enuncido :“Todo número natural é soma de 3 quadrados”. Qual seu valor verdade( universo naturais: 0, 1, 2, 3, ....? E qual a sua negacão( sem usarr o conectivo ∼).
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1. Lógica
1.4 Indução Finita
1. (MD-2001) Enuncie o Princípio de Indução Finita.
2. Mostre, utilizando indução finita, que as seguintes proposições são
verdadeiras.
(a) (FM-2002) 1.2+2.3+3.4+. . .+n. (n + 1) =
N.
(b) (MD-1997) 3 + 6 + 9 + ... + 3n =
(c) (MD-1997) 1 + 3 + 32 + ... + 3n =
3n
(d) (MD-1997) 7 divide 2
3
3
n
3
(n + 1) . (n + 2) , ∀n ∈
3n(n+1)
, ∀n
2
n+1
3
− 1, ∀n ∈ N.
2
−1
n2
4 (n +
n(n+1)
, ∀n
2
∈ N.
, ∀n ∈ N.
(e) (MD-2001) 1 + 2 + · · · + n3 =
1)2 , ∀n ∈ N.
(f) (MD-2001) 1 + 2 + · · · + n =
∈ N.
2n
(g) (FM-2003) 24 divide 5
2
− 1, ∀n ∈ N.
(h) (FM-2003) n > 2n + 1, para todo número n > n0 pertencente
aos Naturais, determinando o valor de n0 .