Recredenciamento Portaria MEC 347, de 05.04.2012

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
Álgebra 1 – Quest (ii)
Álgebra das proposições
Lógica proposicional (ou formal)
A lógica formal é o estudo matemático de linguagens definidas de
forma precisa, levando em consideração a sintaxe, isto é, sua estrutura
gramatical e sua semântica ou significado. O principal objetivo da lógica
formal é analisar o papel representado pelos conectivos lógicos em
demonstrações matemáticas.
Na linguagem natural há vários tipos de proposições ou sentenças:
Declarativas: O céu está nublado.
Interrogativas: Será que vou aprovar na disciplina de Álgebra I?
Exclamativa: Boa noite queridos alunos!
Imperativas: Feche a porta.
Proposições
Proposições são sentenças declarativas, compostas por um conjunto
de palavras que exprimem um pensamento de sentido completo. Por
exemplo: “Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul”. “O Lucas é
professor de matemática”. “2 + 5 = 7”. “53 = 125”. Para toda a proposição
valem os seguintes princípios de lógica:
(I)
(II)
Princípio do terceiro excluído: toda a proposição tem um
dos dois valores: falso ou verdadeiro. Uma proposição
não pode ter um terceiro valor lógico, pois ele só pode ser
Falso ou Verdadeiro.
Princípio de não contradição: uma proposição não pode
ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira. Devido a este
princípio diz-se que a lógica é bivalente.
Valor de uma proposição
Se uma proposição p é verdadeira, dizemos que ela tem um valor
verdade; se p é falsa, a proposição tem valor falsidade. Representamos os
valores lógicos de uma proposição por V, se verdadeira, e F, se falsa.
Por exemplo, indique o valor das proposições abaixo:
a) 2 : 2 = 0 ( )
b) 5 é um número irracional. ( )
c) O quadrado é um polígono regular. ( )
d) O número 51 é primo. ( )
Proposições simples ou compostas
As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma. As letras minúsculas são
usadas par representar as proposições simples: p, q, r, ..., p1, q1, r1, ...,
p2, q2, r2, ..., chamadas de letras proposicionais ou átomos. São exemplos
de proposições simples:
p: Lucas é professor.
q: Leôncio é jovem.
Conectivos
Os conectivos são palavras que usamos para formar novas conexões.
Conectivo
Negação
Conjunção
Disjunção
Condicional
Bicondicional
Leitura
Não
E
Ou
Se...então
Se e somente se
Símbolo
~ , ¬, ’
˄
˅
→
↔
Podemos usar os conectivos e as preposições simples p e q definidas
acima para criarmos proposições compostas, como, por exemplo:
P1: se Lucas é professor então Leôncio é Jovem. (neste caso p→q)
P2: Lucas é professor se e somente se Leôncio é Jovem. (neste caso
p↔q)
Seja, por exemplo, p a proposição “Lucas está fora” e q a proposição
“Márcio está aqui”, enuncie, na linguagem corrente, as seguintes
proposições:
a) ~ p
b) p ˄ q
c) ~ p ˅ q
d) p→q
e) ~ p→q
f) p↔q
g) ~ q→p
Tabela-verdade
O valor verdade de uma proposição composta depende do valor
verdade das proposições componentes e pode ser determinado por um
dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os
possíveis valores verdade. Por exemplo, no caso de uma proposição R,
cujas proposições componentes são p e q, as únicas combinações
possíveis são:
p: V e q: V
p: V e q: F
p: F e q: V
p: F e q: F
O número de linhas de uma tabela-verdade de uma proposição
composta depende do número de proposições simples que a compõem. A
tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples
possui 2n linhas. Por exemplo: para uma proposição p, depois para duas
proposições p e q e depois par três proposições p, q e r.
21
p
V
F
22
p
V
V
F
F
23
q
V
F
V
F
As proposições compostas são aquelas formadas pela combinação de
duas ou mais proposições simples. Letras maiúsculas são usadas para
representar proposições compostas: P, Q, R,... São exemplos de
proposições compostas:
P: Lucas é professor e Leôncio é Jovem.
Q: Lucas é professor ou Leôncio é Jovem.
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Rua Silvério Manoel da Silva, 160 - CEP 94930000 - Cachoeirinha – RS - Tel/Fax. (51) 34418650 – www.cesuca.com.br – [email protected]
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
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Operações lógicas
Conjunção: “e” (  ), uma coisa e outra, p e q. seu valor lógico é verdade
quando p e q forem ambas verdadeiras, e falso nos outros três casos.
Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas
sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei
uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora, pergunte a qualquer criança!
Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não
dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido
cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as
duas partes forem também verdadeiras!
p ˄ q também se lê:
p e então q
p todavia q
p assim como q
p embora q
p no entanto q
p contudo q
p mas q
p enquanto q
Não só p, mas ainda q
p e também q
p além disso q
p apesar de que também q
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
pq
V
F
F
F
Por exemplo: O Brasil Situa-se na América do Sul, mas a Argentina é
uma nação européia.
p: O Brasil Situa-se na América do Sul (V)
q: a Argentina é uma nação européia (F)
p ˄ q: F
Disjunção: “ou” (  ), uma coisa ou outra, p ou q. O valor lógico é
verdade quando ao menos uma das proposições, p e q, for verdadeira e
falso se ambas as proposições p e q forem falsas.
Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos:
“eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”. Neste caso, a criança
já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola
ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai
já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois
presentes? A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso,
todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer
o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda
a disjunção.
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
pq
V
V
V
F
Condicional (→): se p, então q. O valor lógico de uma proposição
condicional é falso somente quando p (antecedente) é verdadeiro e q
(consequente) é falso, nos outros três casos a proposição é verdadeira.
Pense: é evidente que a condicional “Se Aristóteles era grego, era
africano” é falsa. É falsa porque a antecedente é verdadeira e a
consequente falsa. Mas que dizer do valor de verdade da condicional “Se
Aristóteles era português, era africano”? Quase qualquer pessoa diria
que esta condicional é falsa. Contudo, na lógica proposicional considerase, desde o tempo dos estóicos, que é verdadeira. Este é um problema em
aberto, que tem provocado muitas discussões ao longo da história da
filosofia. Mas temos de ter consciência que a lógica clássica entende as
condicionais de uma maneira especial. Intuitivamente, achamos que uma
condicional como “Se Aristóteles era português, era africano” é falsa
porque sabemos que se Aristóteles fosse mesmo português, não seria
africano: seria europeu. A nossa intuição baseia-se no fato de ser falso
que os portugueses sejam africanos; olhamos para a condicional e vemos
outra condicional: “Se alguém é português, é africano”. E como esta
condicional é realmente falsa, pensamos que a outra condicional também
é falsa. Mas na lógica clássica olha-se unicamente para o valor de
verdade da antecedente e consequente da condicional literal e considerase que uma condicional só é literalmente falsa quando parte de uma
verdade e chega a uma falsidade; em todos os outros casos, a condicional
é verdadeira.
p
V
V
F
F
p→q
V
F
V
V
Bicondicional (↔): p se, e somente se, q (sse). Seu valor lógico é
verdade quando p e q são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Do
contrário, o valor lógico é falso.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
Negação (~): “não p”. A negação de uma proposição é definida pela
seguinte tabela-verdade:
p
V
F
~p
F
V
Negação conjunta de duas proposições (↓): “nem p nem q”. O valor
lógico será verdade quando p e q forem ambas falsas. Nos outros três
casos a proposição é falsa.
p
V
V
F
F
Por exemplo: O Brasil Situa-se na América do Sul, ou a Argentina é uma
nação européia.
p: O Brasil Situa-se na América do Sul (V)
q: a Argentina é uma nação européia (F)
p ˅ q: V
OBS: na disjunção exclusiva de duas preposições “ou p ou q” (p ˅ q), o
valor lógico é falso quando ambas forem verdadeiras. Pense nisso!
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p↓q
F
F
F
V
Construção
C o m p l e x o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C a c h o e i r i n h a
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de Tabelas-verdade
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O valor verdade de proposições pode ser obtido via combinação de
conectivos. Assim como na linguagem, que é regida por algumas regras
de sintaxe, em lógica também devemos levar em conta determinadas
regras. Essas regras determinam cadeias válidas, também chamadas
fórmulas bem formadas (fbfs) ou wffs (well-formed formulas). As
expressões p˄q, ~~~p, ~p˅q→r são fórmulas. Mas, expressões do tipo
p˄, ↔z, não são fórmulas bem formadas.
Afim de reduzir o número de parênteses necessários em uma wffs,
estipulamos uma ordem na qual os conectivos são aplicados. Esta ordem
de precedência é:
1) Quais as fórmulas que se obtêm, suprimindo-se todos os parênteses
desnecessários, utilizando a ordem de precedência dos conectivos?
1. conectivos dentro dos parênteses, dos mais internos aos mais externos
2. ~
3. ˄, ˅
4. →
5. ↔
2) Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições:
Isso quer dizer que a fórmula ~p˅q é o mesmo que (~p)˅q, o síbolo
de negação (~) seguido de uma letra proposicional sem parênteses referese somente à letra. Uma expressão do tipo q˅p→r˄s dá margem às
seguintes fórmulas proposicionais, utilizando-se os parênteses:
(q˅p)→(r˄s), q˅(p→(r˄s)), (q˅(p→r))˄s, q˅(p→r)˄s.
c) (p ˄ ~q) ˅ (~p ˄ q)
OBS: um alfabeto proposicional é composto por símbolos lógicos, que
são os conectivos (~,˅, ˄, →, ↔), por pontuação (,) e por símbolos nãológicos, que servem para representar as proposições.
Chama-se tautologia a proposição composta que sempre é verdadeira.
Na tabela-verdade de uma proposição tautológica, a coluna resultante
contém somente V (verdade). As tautologias também são denominadas
proposições logicamente verdadeiras.
Vamos verificar se a proposição “p ˅ ~p” é tautológica:
As tabelas-verdade vistas na aula anterior (uma para cada conectivo)
permitem construir a tabela-verdade de qualquer proposição P(p, q, r, ...)
obtida a partir das proposições p, q, r, ... combinadas pelos conectivos já
conhecidos (~,˅, ˄, →, ↔),.

a) (~a) ˄ (b→c)
b) (~p) → (q ˅ r)
c) (p ↔ (~q)) ˅ r
d) (~q) ˅ (p ↔ r)
a) ~(~p ↔ q)
b) (p ˅ q) ˄ ~ (p ˄ q)
d) (p →q) ˅ ~ (p ↔~q)
Tautologia ou Válida
p
V
F
Exemplo para acompanhar em aula.
~p
p ˅~p
Complete a tabela verdade de cada uma das proposições:
Contradição ou Contra-válida
a) ~p˄q
Chama-se contradição a proposição composta que é sempre falsa. Ou
seja, a coluna resultante só tem F (falso). As contradições também são
denominadas proposições logicamente falsas.
Vamos verificar se a proposição “p ˄ ~p” é contraditória:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p˄q
~p
F
p
V
F
b) ~(p˄~q)
p ˄ ~p
Contingência ou Indeterminada
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
p˄~q
F
~(p˄~q)
Determina-se contingência a proposição composta que pode ser
verdadeira e pode se falsa. Na tabela-verdade de uma proposição
contingencial, a coluna resultante contém a verdade (V) e a falsidade (F).
Vamos verificar se a proposição “~(p ˄ q) ˅ ~(q↔p)” é uma
contingência:
p
Exercícios I
~p
q
p˄q
~(p ˄ q)
Implicação lógica (  )
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Primeiramente, para que não haja confusão, o símbolo “→”
representa uma operação entre proposições resultando em uma nova
proposição, como já vimos. Por exemplo, operando a proposição P com
a proposição Q através do conectivo “→”, resultará na proposição P →
Q. O símbolo “  ” indica apenas uma relação entre duas proposições
dadas. A relação de implicação lógica entre as proposições p˄q e p˅q,
por exemplo, é dada por p˄q  p˅q.
Então, definindo uma implicação lógica, diz-se que uma proposição
P implica logicamente outra proposição Q quando, em suas tabelasverdade não ocorre VF nessa ordem em uma mesma linha. Em outras
palavras, P  Q se Q é verdadeira (V) todas as vezes que P é verdadeira
(V).
Por exemplo: vamos verificar se p  q→p.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q→p
V
V
F
V
Observe que para concluir se p  q→p, temos de analisar as colunas
em destaque, e logo notamos que “q→p” é verdadeira todas as vezes em
que “p” é verdadeira. Portanto, “p” implica logicamente “q”. Notamos
também que, comparando a primeira com a terceira coluna, não ocorreu
VF.
Propriedades das implicações lógicas
1. Reflexiva: P  P
2. Transitiva: se P  Q e Q  R, então P  R
3. P  Q se, e somente se, a condicional P→Q é tautológica.

Agora verifique se p ˅ q  p ↔ q e justifique a sua
resposta.
Exercícios II
1) Verifique se a proposição P: 24 = 16 e 42 = 16 implica logicamente a
proposição Q: 34 = 81 e 43 = 81.
2) Mostre que “p ↔~q” não implica logicamente a proposição “p→q”.
Justifique sua resposta.
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