Instituto Superior Técnico

Instituto Superior Técnico
Mestrado em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
CONTROLO EM ESPAÇO DE ESTADOS
Ano Lectivo: 2008/2009
Semestre de Primavera
Programa
O programa de CEE está organizado em torno de conceitos
fundamentais da Engenharia dos Sistemas de Decisão e Controlo:





Estado de um sistema e conceitos a ele associados (espaço de
estados, descrição de um sistema através de um sistema de
equações de estado, sistemas lineares e não lineares,
estrutura das soluções no caso linear, aproximação qualitativa
das soluções de um sistema não linear por linearização em
torno de pontos de equilíbrio);
Projecto por colocação de valores próprios (vulgarmente,
pólos) de controladores para sistemas lineares;
Estimação do estado de sistemas lineares com observadores;
Estabilidade com ênfase no Método Directo de Lyapunov e
introdução ao projecto de controladores de sistemas não
lineares garantindo estabilidade;
Projecto de controladores óptimos com base no Princípio de
Pontriagyn.
Estes conceitos são apresentados no seguinte programa:
1

1.Introdução ao Modelo de Estado (12 horas)
Revisão de conceitos sobre modelos lineares de espaço de
estado. Equação de estado para sistemas invariantes. Solução da
equação de estado. Matriz de transição. Realizações de estado.
Relações com a função de transferência.

2.Controlo por realimentação de variáveis de estado (6
horas)
Controlabilidade e observabilidade. Realizações
Interpretação em termos de pólos e zeros.
mínimas.
Projecto de controladores por colocação de pólos através de
realimentação linear de variáveis de estado. Método dos
coeficientes
indeterminados.
Fórmula
de
Bass-Gura.
Demonstração da fórmula de Bass-Gura. Fórmulas de Ackerman
e Mayne-Murdoch. Interpretação da relação entre os ganhos e a
posição dos pólos da cadeia fechada.
Observadores de estado. Observadores de ordem reduzida.
Projecto do compensador de realimentação linear de variáveis de
estado na situação em que o estado não se encontra acessível.
Teorema de separação.
Problema do seguimento do sinal de referência. Introdução do
sinal de referência. Introdução do efeito integral.
Referências: Cap. 6 de [1]. Caps. 9 e 10 de [2].

3.Introdução aos sistemas não lineares (9 horas)
Modelo de estado de sistemas não lineares. Diferenças
qualitativas em relação aos sistemas lineares ilustradas através
de exemplos. Análise com base no plano de estado. Pontos de
2
equilíbrio. Estabilidade. Relação entre a estabilidade dos pontos
de equilíbrio do sistema não-linear e do sistema linearizado.
Sinais da derivada. Exemplos de determinação qualitativa das
soluções.
Segundo método de Lyapunov para sistemas
Aplicação ao caso linear. Equação de Lyapunov.
invariantes
Método da função descritiva.
Introdução à síntese de Controladores não lineares com base em
Funções de Lyapunov de Controlo.
Referências: Cap. 8 de [2] (Função Descritiva) e secções 9.7 e
9.8 de [2] (Segundo Método de Lyapunov). Acetatos das aulas
teóricas.

4.Introdução ao Controlo Óptimo (12 horas)
Formulação do problema. Exemplos de problemas de Controlo
Óptimo.
Justificação e enunciado do Princípio de Pontryagin para
problemas de tempo terminal fixo e sem restrições no estado
terminal. Problemas com restrições no estado terminal.
Problema Linear Quadrático. Problema Linear Quadrático
Gaussiano (LQG). Introdução ao filtro de Kalman. Projecto de
controladores LQG com recuperação do ganho de malha (LQGLTR).
Referências: Acetatos das aulas teóricas. Cap. 10 de [2]. Os
alunos mais interessados poderão consultar a referência
complementar [4] que no entanto apresenta os assuntos a um
nível substancialmente mais avançado do que o considerado em
Controlo em Espaço de Estado.
3
Bibliografia
[1] Cópias dos acetatos das aulas
[2] Franklin, Powell, Emami-Naeini (1991). Feedback Control of
Dynamic Systems. 2nd Ed. Addison Wesley.
[3] Ogata (1990). Modern Control Engineering. 2nd Ed. Prentice
Hall.
[4] Lewis, F. and V. Syrmos (1995). Optimal Control, 2nd ed. Wiley.
[5] Ribeiro, M. I. (2002). Análise de Sistemas Lineares, IST Press.
4