Combinação – 2016 - NS Aulas Particulares

Combinação – 2016
1. (Fgv 2015) Em uma sala estão presentes n pessoas, com n  3. Pelo menos uma pessoa
da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes
trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas. Nessas condições,
o número máximo de apertos trocados pelas n pessoas é igual a
a)
n2  3n  2
2
b)
n2  n  2
2
c)
n2  2n  2
2
d)
n2  3n  2
2
e)
n2  n  2
2
2. (Uern 2015) Considere a seguinte equação:
 x  2   3x  1



 2   1 
 2x  1
A partir dessa equação, conclui-se que o número binomial 
 equivale a
 2 
a) 3.
b) 10.
c) 21.
d) 60.
Observação da NS Aulas Particulares:
A forma de escrita
Assim sendo, podemos interpretar este exercício como sendo:
Cx + 2 , 2 = C3x + 1 , 1 e após calcular o valor de x, substitui na combinação: C 2x – 1 , 2 .
3. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo:
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6
sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre
uma de cada sabor.
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a
a) 20.
b) 41.
c) 120.
d) 35.
4. (Uema 2015) Um engenheiro construiu três casas de mesmo modelo e tamanho, uma junto
da outra. Para pintura dessas casas, contratou um profissional que poderia escolher, a seu
critério, tintas de cinco cores distintas.
Determine de quantas formas o pintor poderia escolher as tintas, de modo que as casas
fossem pintadas de cores diferentes.
5. (Epcar (Afa) 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil
não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações:
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã.
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso
contrário, não conheceria nenhum dos dois.
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número
de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para
a situação II, nessa ordem, é
11
a)
26
13
b)
25
13
c)
24
11
d)
24
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6. (Uepa 2015) Atual tendência alimentar baseada no maior consumo de legumes, verduras e
frutas impulsiona o mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos e uma diminuição
no consumo de produtos que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa especializada no
preparo de refeições, visando a esse novo mercado de consumidores, disponibiliza aos seus
clientes uma “quentinha executiva” que pode ser entregue no local de trabalho na hora do
almoço. O cliente pode compor o seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e
sobremesas. Se essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos de pratos principais e 5
tipos de sobremesas, o número de possiblidades com que um cliente pode compor seu almoço,
escolhendo, dentre os tipos ofertados, duas entradas, um prato principal e uma sobremesa é:
a) 400
b) 600
c) 800
d) 1.200
e) 1.400
7. (Uerj 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas
acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções
de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem
apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de
iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo
y  60. Os valores respectivos de x e y são:
a) 4 e 12
b) 8 e 24
c) 25 e 12
d) 50 e 24
8. (Unesp 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um
sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As
novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos.
Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo
repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo
sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em
qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas.
No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato “Letra-LetraAlgarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de
possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo
repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou
de fatorial.
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9. (Pucpr 2015) Dado o conjunto A  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}, quantos subconjuntos com 3
elementos podem ser formados de maneira que a soma dos três elementos seja um número
par?
a) 60.
b) 120.
c) 10.
d) 40.
e) 125.
10. (Uece 2015) A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 36 alunos,
sendo 22 mulheres e 14 homens. O número de comissões que podem ser formadas com
alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a
participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é
a) 5236.
b) 6532.
c) 3562.
d) 2635.
11. (Cefet MG 2015) Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12
moedas de ouro idênticas entre as três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá
receber, pelo menos, duas moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa
distribuição é
a) 12.
b) 28.
c) 38.
d) 40.
e) 120.
12. (Uern 2015) Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete e y sabores de cobertura.
Combinando um sabor de sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se,
respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de escolha.
Assim, conclui-se que o número de sabores de cobertura disponível é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
13. (Uece 2015) Um conjunto X é formado por exatamente seis números reais positivos e seis
números reais negativos. De quantas formas diferentes podemos escolher quatro elementos de
X, de modo que o produto destes elementos seja um número positivo?
a) 245.
b) 225.
c) 235.
d) 255.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Gabarito Oficial: [E]
Gabarito SuperPro®: [D]
O resultado pedido se dá quando o número de pessoas que não trocou aperto de mão com
todos os presentes na sala é mínimo, ou seja, igual a 1.
Portanto, a reposta é
 n  1
(n  1)!
(n  1)(n  2) n2  3n  2



.


2
2
 2  2!(n  3)!
Resposta da questão 2:
[B]
Desenvolvendo a equação dada:
 x  2 !
 3x  1!
 x  2    x  1  x! 3x  1  3x !
 x  2   3x  1






2!  x!
1!   3x !
2!    x  2   2 ! 1!    3x  1  1!
 2   1 
 x  2   x  1  2   3x  1  x2  3x  2  6x  2  x 2  3x  0  x   x  3   0
x  3 ou x  0
Desenvolvendo o número binomial dado:
 2x  1!
 2x  1   2x  2   2x  3 !  2x  1   2x  2 
 2x  1




2!   2x  3 !
2
 2  2!    2x  1  2 !
Assim, se x  0 o número dado seria também igual a zero, o que não consta nas alternativas.
Se x  3, tem-se:
 2  3  1   2  3  2 5  4 20


 10
2
2
2
Resposta da questão 3:
[B]
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se
que o resultado pedido é dado por
6 6 6
6!
6!

         6 
1
2
3
2!

4!
3!
 3!
     
 6  15  20
 41.
Resposta da questão 4:
5
5!
As tintas podem ser escolhidas de   
 10 modos distintos.
 3  3!  2!
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Resposta da questão 5:
[A]
11!
 11
Para a situação I, existem   
 55 escolhas possíveis. Para a situação II, o número
2
2!
 9!
 
10!
 10 
de possibilidades é dado por 10     10 
 130. Em consequência, a resposta é
3!  7!
3
55
11

.
130 26
Resposta da questão 6:
[E]
8
8!
O cliente pode escolher duas entradas de   
 28 modos, um prato principal de 10
2
  2!  6!
maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é
28  10  5  1400.
Resposta da questão 7:
[B]
Duas vermelhas e uma azul: C9,2  7  36  7  252
Duas azuis e uma vermelha: C9,2  7  36  7  252
Portanto, o tempo total será de 252  252  504 segundos.
Como, 504  8  60  24, temos: x  8 e u  24.
Resposta da questão 8:
Para calcular o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-Algarismo-AlgarismoAlgarismo-Letra-Letra” pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item:
26  26  10  10  10  26  26  264  103
Para calcular o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3
algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a
posição das letras. Ou seja: C74  35.
Assim, há 35 possíveis combinações de 4 letras e 3 algarismos. Pelo princípio fundamental da
contagem, para cada letra há 26 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o
total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos
(incluindo repetição) é de 35  264  103.
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Resposta da questão 9:
[D]
Os subconjuntos considerados no enunciado podem ser formados de duas maneiras
diferentes:
5
5!
Primeira maneira (3 elementos pares):   
 10
 3  2! (5  2)!
 4
4!
Segunda maneira (2 elementos ímpares e um par):    5 
 5  30
2
2!

(4
 2)!
 
Portanto, o número de subconjuntos com 3 elementos com soma par será dado por:
10  30  40.
Resposta da questão 10:
[A]
O número de comissões que podem ser formadas, independentemente do sexo de seus
 36 
36!
participantes, é   
 7140. Desse total, devemos descontar o número de
 3  3!  33!
comissões cujos membros são todos homens, e o número de comissões cujos membros são
todos mulheres.
O número de comissões formadas exclusivamente por mulheres é igual a
 22 
22!
 1540.
  
3
3!
 19!
 
 14 
14!
O número de comissões formadas apenas por homens é   
 364.
3
3!
 11!
 
Portanto, o resultado pedido é igual a 7140  1540  364  5236.
Resposta da questão 11:
[B]
Como cada pessoa receberá no mínimo duas moedas, devemos calcular o número de
maneiras de distribuir 6 moedas para 3 pessoas. Assim, o resultado pedido corresponde ao
número de soluções inteiras e não negativas da equação x  y  z  6, isto é,
8
8!
CR36    
 28.
6
2!
 6!
 
Resposta da questão 12:
[C]
Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3 sabores de cobertura, pode-se escrever:
y!
C3y 200
y!
(y  2)!  2! (y  2)  (y  3)!  2! (y  2)
(y  2) 200
(y  3)!  3!








2
y!
150
(y

3)!

3!
y!
(y

3)!

3

2!
3
3
150
Cy
(y  2)!  2!
y  2 200

 150y  300  600  150y  900  y  6
3
150
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Resposta da questão 13:
[D]
Para que o produto dos quatro números escolhidos seja positivo, só existem 3 possibilidades:
1. Os quatro números escolhidos são positivos;
2. Os quatro números escolhidos são negativos;
3. Dois números escolhidos são positivos e dois são negativos.
Sabendo disso, e sabendo que a ordem dos números escolhidos não interfere no seu produto,
podemos calcular as combinações. Os casos 1 e 2 são idênticos, ou seja, sua combinação é:
6!
6  5  4! 30
C64 


 15
4!(6  4)!
4!  2!
2
Já o caso 3 pode ser calculado como sendo a combinação de 6 elementos 2 a 2 (para os dois
números positivos) e a combinação de 6 elementos 2 a 2 (para os dois números negativos). Ou
seja:
6!
6  5  4! 30
C26 


 15
2!(6  2)!
2!  4!
2
C26  C26  15  15  225
Somando-se as três possibilidades, tem-se: 15  15  225  255 formas de escolher quatro
elementos de X de modo que o produto destes elementos seja um número positivo.
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