lógica matemática i - Gran Cursos Presencial

LÓGICA MATEMÁTICA
Walter Sousa
Resumo teórico
1) PROPOSIÇÕES LÓGICAS SIMPLES
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou
falsa (F), mas não ambas as interpretações. Por exemplo, a sentença “O Brasil é um país da América
Latina” é uma proposição básica, simples ou atômica, de valor lógico V.
As frases imperativas, interrogativas e exclamativas não devem ser classificadas como
proposições, por não fazer sentido valorá-las como V ou F. Assim, a frase “Qual é o seu nome?” não é
uma proposição porque é uma pergunta e, portanto, não faz sentido classificá-la em V ou F.
As sentenças abertas, sem a definição do sujeito, não são proposições. Por exemplo, as
sentenças: “Ele é um grande brasileiro” e “ x + 2 > 5” só podem ser classificadas em V ou F se for
definido o sujeito referencial da sentença.
As proposições básicas, fórmulas simples, podem ser representadas por variáveis
proposicionais, através das letras do alfabeto, maiúsculas ou minúsculas, tais como A, B, C,...,P, Q, R,
etc. Assim, se o valor lógico de uma proposição P é verdade, representamos P = V, ou, se P é falsa, P =
F.
Exemplos de proposições:
P: Brasília é a capital do Brasil (valor lógico P = V)
Q: 2 + 3 = 7 (valor lógico Q = F)
2) TABELA-VERDADE
Tabela-verdade é um quadro de valorações lógicas que estabelece todas as possibilidades de
valores lógicos associados às proposições componentes.
O número de linhas, L(n), de uma tabela verdade depende da quantidade n de proposições
básicas componentes, distintas, sendo igual ao produto das possibilidades lógicas dessas proposições.
Representamos L(n) = 2n, para n inteiro e n ≥1.
As linhas da tabela representam os arranjos dos valores lógicos possíveis do conjunto de
proposições, que estão representadas nas colunas da tabela. O esquema abaixo pode auxiliar na
formação das possibilidades associadas às proposições básicas:
1. À primeira coluna (P), atribui-se uma quantidade de valores V igual à metade do total de linhas
2n
da tabela (
), seguidos de valores F, na mesma proporção.
2
2. À segunda coluna (Q), atribui-se uma quantidade de valores V igual à metade da atribuída na
primeira coluna (
2n
), alternados de valores F, na mesma proporção, até se completarem todas
4
as linhas.
3. Aplica-se este mesmo raciocínio até serem preenchidas todas as colunas da tabela.
Desta forma, serão estabelecidas todas as possibilidades lógicas para as proposições básicas
componentes.
Exemplo: Uma tabela para 3 proposições básicas: P, Q e R
Cálculo do número de linhas: L(3) = 2 3  8 linhas
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8
= 4. Atribui-se 4 valores V, alternados de valores F, na mesma proporção.
2
4
Coluna Q:
= 2. Atribui-se 2 valores V, alternados de valores F, na mesma proporção, até completar as
2
Coluna P:
8 linhas.
Coluna R:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
2
 1. Atribui-se 1 valor V, alternado de 1 valor F, até completar as 8 linhas
2
R
V
F
V
F
V
F
V
F
3) PROPOSIÇÕES COMPOSTAS - CONECTIVOS LÓGICOS
As proposições lógicas básicas podem ser combinadas através dos conectores lógicos, dando
origem às proposições compostas. Assim, sendo P e Q duas proposições simples, podemos formar
sentenças compostas do tipo:
a) Negação:  P (lê-se não P)
b) Conjunção: P  Q (lê-se "P e Q" ).
c) Disjunção: P  Q (lê-se "P ou Q") .
d) Condicional: P  Q (lê-se "se P então Q" ).
e) Bicondicional: P  Q ( "P se e somente se Q") .
Conhecendo-se os valores lógicos das proposições básicas, pode-se determinar os valores lógicos das
proposições compostas de acordo com os conectivos utilizados.
3.1) NEGAÇÃO (não)
símbolos:  ou ~
O conector negação é chamado de modificador lógico, pois muda o valor lógico da proposição.
Assim, se P é uma proposição verdadeira, P = V, então a negação de p, representada por  p (leia-se
não P) é falsa,  p = F.
A negação da proposição P pode ser feita de uma das seguintes formas:
não em P

P nao é verdade que P

 É falso que P
Exemplos:
a) Seja a proposição P: A lua é um planeta, pode-se negar a proposição P por uma das seguintes
formas:



A lua não é um planeta
Não é verdade que a lua é um planeta.
É falso que a lua é um planeta
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Observe do exemplo que o valor lógico de P é falso, P = F, enquanto  P = V.
Tabela-verdade: Negação
P
P
V
F
F
V
3.2) CONJUNÇÃO (e)
símbolo: 
A conjunção lógica normalmente é identificada pela presença da conjunção e na frase. Por
exemplo, a sentença “Matheus é médico e Paulo é advogado” é uma proposição composta, formada por
uma conjunção. Pode-se também utilizar outros termos, como as conjunções adversativas (mas), ou
sentenças que expressem simultaneidade.
VALOR LÓGICO
A conjunção da proposição P com a proposição Q, representada por P  Q (leia-se P e Q) será
uma proposição verdadeira (V), somente se todas as proposições componentes forem verdadeiras.
Será falsa (F), se pelo menos uma das componentes for falsa.
Podemos, para justificar a natureza lógica do operador, associar a conjunção P  Q à operação
de intersecção entre conjuntos. Assim, a intersecção entre os conjunto P e Q, representada por P  Q,
relaciona os elementos que pertencem a ambos os conjuntos. Caso um elemento seja exclusivo de P ou
de Q, ou não pertença a qualquer dos dois conjuntos, não estará presente na intersecção.
No diagrama abaixo, a parte sombreada representa os elementos que atendem a condição de P
e de Q.
Tabela-Verdade: Conjunção
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P Q
V
F
F
F
Exemplos:
a) A proposição “ 36  6 e 81  9 ”, de valores e forma V  V , possui valor lógico V.
b) A proposição 2 + 3 = 5 e 7 > 9, da forma V  F , possui valor lógico F.
3.3) DISJUNÇÃO (ou)
Símbolo: 
A disjunção lógica é representada na sentença pela presença do ou na frase. Assim, sendo as
proposições P: Ana viajou e Q: Haroldo foi pescar, a disjunção de P com Q será a sentença “Ana
viajou ou Haroldo foi pescar”.
VALOR LÓGICO
A disjunção da proposição P com a Q, representada por P  Q (leia-se P ou Q) será verdadeira
(V) se pelo menos uma das proposições componentes for verdadeira. Será falsa (F) somente se todas
elas forem falsas.
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Associaremos a disjunção à operação de reunião entre conjuntos, P  Q. Para que um
elemento pertença à união entre conjuntos, é preciso que pertença a pelo menos um deles.
Analogamente, a disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições básicas for verdadeira.
No diagrama abaixo, a parte sombreada representa a união de P com Q.
Tabela-Verdade: Disjunção
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P Q
V
V
V
F
Exemplos
a) A proposição “5 é ímpar ou 4 é um número primo” tem valor lógico V, pois a sentença “5 é ímpar” é
V. Basta que uma das proposições seja verdadeira para que a disjunção seja verdadeira.
b) A proposição “5 é par ou 4 é ímpar” tem valor lógico F, pois a disjunção é falsa quando ambos os
valores lógicos forem falsos.
DISJUNÇAO EXCLUDENTE
Um tipo de disjunção importante é a Disjunção excludente (“ ou exclusivo”), representada por
(P  Q) que se lê: “P ou Q, mas não ambos”, que é falsa se ambas forem verdadeiras (deve haver
exclusividade), ou ambas forem falsas.
Observe as proposições abaixo:
 R: Paulo é médico ou professor.
 S: Paulo é paulista ou Carioca.
Veja que a proposição R pode ser verdadeira se ambas as proposições componentes forem
verdadeiras, pois é possível que Paulo seja ao mesmo tempo médico e professor. No entanto, na
proposição S, o referido Paulo não pode ser simultaneamente paulista e carioca, pois tais proposições
são excludentes.
Tabela-Verdade: Disjunção excludente
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PQ
F
V
V
F
3.4) CONDICIONAL (Se…então)
símbolo: 
A condicional, também chamada de implicação lógica, é uma proposição composta, identificada
normalmente pela presença das palavras “Se” e “então” na sentença. Por exemplo, a proposição “Se
Paulo é paulista, então Paulo é brasileiro” é uma condicional.
As expressões abaixo podem ser utilizadas como forma de representação da condicional:
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Se P enta~o Q

 P implica Q
 P é condiç a~o suficiente para Q


P  Q Q é condiç a~o necessária para P
Q, se P

 P, somente se Q

Todo P é Q
VALOR LÓGICO
A condicional de uma proposição P, chamada antecedente, com uma proposição Q, chamada
conseqüente, representada por P  Q, (leia-se P implica Q), será falsa, somente se P é verdadeira e Q
é falsa. Assim, uma sentença V  F tem valor lógico F. Nos demais casos a condicional é verdadeira.
Pode-se chamar a condicional de proposição hipotética, onde o antecedente P é chamado de
hipótese, e o conseqüente Q é chamado de tese (Q é uma decorrência de P). Desta forma, a condicional
é verdadeira quando em todas as situações nas quais a hipótese se verifique, a tese também esteja
satisfeita. Será falsa quando um dado objeto satisfaz a condição da hipótese P e não satisfaz a condição
da tese Q, se tornando um contra-exemplo `a fórmula “se P então Q”.
A natureza da implicação entre P e Q não quer dizer que o antecedente P deva ser
necessariamente verdadeiro, mas que em sendo verdadeiro, o conseqüente Q também será. Do
exemplo anterior, se é verdade que Paulo é paulista, necessariamente deverá ser verdade que Paulo é
brasileiro, senão a condicional será avaliada em falsa.
Podemos associar a condicional a uma operação de inclusão entre conjuntos, do tipo P  Q (P
está contido em Q), indicando que os elementos que cumprem a condição P, cumprem também a
condição Q. Indicamos que todo elemento de P é também elemento de Q, daí podermos expressar a
condicional “Se P então Q” através do quantificador universal “Todo P é Q”. Veja diagrama de inclusão
abaixo.
Tabela-Verdade: Condicional
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P→Q
V
F
V
V
De forma semelhante, podemos explicar as relações de suficiência e de necessidade que
envolvem a condicional: diz-se que “P é suficiente para Q”, ao passo que a proposição “Q é necessária
para P”. De fato, se um elemento atende a condição P, é suficiente para que atenda a condição de Q,
uma vez que P  Q. Recorrendo à condicional anteriormente exemplificada, observamos que “ser
paulista é suficiente para que seja brasileiro”. De outro giro, caso um elemento não pertença ao conjunto
Q, de modo algum pertencerá a P, pois P  Q, daí dizer-se que a sentença Q é necessária para P. Se
uma pessoa não é brasileira, não poderá ser paulista, logo: “ser brasileiro é necessário para que seja
paulista”.
A conjunção “Paulo é paulista e Paulo não é brasileiro”, representemos por P  Q, é um
contra-exemplo à fórmula P  Q. Assim, a conjunção P  Q é a negação de P  Q , o que nos
permite concluir que P  Q será verdadeira quando P  Q for falsa. Observe a tabela-verdade abaixo:
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P
V
V
F
F
Q P Q
V
V
F
F
V
V
F
V
Q
P  Q
( P  Q)
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
Exemplos:
a) A proposição “Se 2 é par, então 5 não é ímpar”, da forma V  F , possui valor lógico F, pois o
antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
b) A proposição “Se a lua é um planeta, então 2 + 3 = 5”, da forma F  V , possui valor lógico V,
pois o antecedente é falso e o conseqüente é verdadeiro.
c) A proposição “ Se 2+3 = 7, então 7>9, da forma F  F , tem valor lógico V.
3.5) BICONDICIONAL (Se e somente se)
símbolo: 
A bicondicional é uma sentença lógica composta, normalmente identificada pela presença da
expressão “se e somente se” na frase. Por exemplo, a sentença “2 é par, se e somente se 3 é ímpar” é
uma bicondicional.
A bicondicional das proposições P e Q, representada por P  Q (leia P se e somente se Q), é
equivalente à conjunção das condicionais de P para Q e de Q para P: ( P  Q)  (Q  P) . Assim, a
bicondicional é uma dupla implicação lógica.
Podemos representar a bicondicional das seguintes formas:

P se e somente se Q
P  Q

P é condição necessária e suficiente para Q
VALOR LÓGICO
Considerando a forma equivalente da bicondicional, ( P  Q)  (Q  P), e a noção de conjuntos,
podemos estabelecer que a dupla implicação lógica, “todo P é Q” e “todo Q é P”, associada à forma
( P  Q e Q  P) só é possível se os conjuntos P e Q forem iguais. Assim, a bicondicional é verdadeira
somente se os valores lógicos de P e de Q forem iguais. Será falsa, se forem diferentes.
Exemplos:
a) A proposição 9  4 , se e somente se 16  3 , da forma F  F , possui valor lógico V, pois
as proposições básicas componentes têm os mesmos valores lógicos, ambas são falsas.
b) A proposição 9  3 , se e somente se 16  5 , da forma V  F , possui valor lógico F, pois
as proposições básicas componentes têm valores lógicos diferentes.
Tabela-Verdade: Bicondicional
P
V
V
F
F
Q P Q
V
V
F
F
V
F
F
V
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