Aulas 05

LÓGICA – Aulas - Introdução à lógica elementar ou de primeira ordem
AULAS 11 - 17
CPC – Cálculo proposicional clássico ou cálculo sentencial, ou cálculo intersentencial
Considerações introdutórias:
 O cerne da lógica clássica é o cálculo de predicados de primeira ordem (CQC - cálculo
quantificacional clássico). Essa lógica é também conhecida como lógica de primeira ordem, lógica
elementar ou teoria da quantificação. Existem várias formulações do cálculo de predicados,
dependendo da linguagem empregada; vamos estudar a formulação mais simples (sem identidade,
nem símbolos funcionais).
 O cálculo proposicional clássico (CPC) é um subsistema do CQC. A linguagem do CPC é uma parte
pequena da linguagem do cálculo de predicados.
Lógica proposicional:
 Linguagem proposicional: permite formalizar diversos argumentos.
 Lógica proposicional: métodos de avaliação e demonstração da validade de argumentos.
o Métodos semânticos: inspetores de circunstâncias (por meio de tabelas de verdade).
o Métodos sintáticos: derivações ou dedução natural.
 A dedução natural é, certamente, o método mais popular. Ela reproduz o processo
inferencial dos matemáticos, daí a capacidade para apresentar uma heurística ao
processo de derivação das conclusões desejadas.
 Não estudaremos nesse curso o método de avaliação chamado de tableaux (tablôs
semânticos) ou árvores de refutação (método mais recente, criado por Evert Beth).
Operadores lógicos:
 Há muitos operadores de formação de frases, dos quais alguns são verofuncionais (como é o caso dos
5 operadores estudados pela lógica clássica).
o Os operadores verofuncionais são aqueles que, dado o valor de verdade da frase à qual eles se
aplicam, é possível inferir o valor de verdade da frase que resulta da aplicação.
o Exemplo de operador não-verofuncional: a crença (x pensa que).
 Se eu sei o valor de verdade da frase “Jesus nasceu em Belém”, isso não me permite
saber o valor de verdade da frase “João pensa que Jesus nasceu em Belém”.
 5 operadores da lógica clássica:
¬p
p˄q
p˅q
p→q
p↔q
NEGAÇÃO
CONJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
Não-p, ~ p
q e q, p • q , p & q
p ou q, p + q , p ǀǀ q
se p, então q, p  q, p ⇒ q
p se e somente se q, p sse q, p iff q, p ≡ q, p ⇔q
 Essas operações são expressas de diversas maneiras na linguagem natural. Por exemplo:
o Negação:
 O conhecimento dos mistérios da fé não é possível.
 Não é verdade que o conhecimento dos mistérios da fé seja possível.
 O conhecimento dos mistérios da fé é impossível.
 Negar uma negação equivale à afirmação inicial (¬ ¬ p é equivalente a p).
Sendo assim temos:
o (1) O conhecimento dos mistérios da fé é possível.
o (2) O conhecimento dos mistérios da fé não é possível. [Negação]
o (3) Não é o caso que o conhecimento da fé não é possível. [Negação da
negação = Afirmação].
o Conjunção: Uma sentença do tipo p e q é denominada uma conjunção
 O conhecimento e a fé são estudados pela filosofia.
 O conhecimento é estudado pela filosofia e a fé também.
 O conhecimento é estudado pela filosofia mas a fé também.
 Tanto o conhecimento como a fé são estudados pela filosofia.
 A filosofia estuda quer o conhecimento, quer a fé.
 Negação da conjunção: ou uma das sentenças é falsa, ou as duas.
o Disjunção: Uma sentença do tipo p ou q é denominada uma disjunção
 Tomás de Aquino ou Agostinho escreveram a Suma Teológica.
 Ou foi Tomás de Aquino que escreveu a Suma Teológica ou foi Agostinho.
 No que respeita à autoria da Suma Teológica, a alternativa é entre Tomás de Aquino e
Agostinho.
 Negação da disjunção (as duas sentenças são falsas): ¬ p ˄ ¬ q
o Ex: Nem Tomás de Aquino nem Agostinho escreveu a Suma Teológica.
o Condicional:
 Se Deus existe, então a vida faz sentido.
 Se Deus existe, a vida faz sentido.
 A vida faz sentido se Deus existir.
 A vida faz sentido caso Deus exista.
 A existência de Deus é uma condição suficiente para que a vida faça sentido.
 Negação da condicional: A afirmação do antecedente e a negação do
conseqüente (p ˄ ¬ q)
o Ex: p, entretanto não q, ou p mas não q.
o A negação de ‘Se Deus existe, a vida faz sentido’ é ‘Deus existe, mas a
vida não faz sentido’.
o Bicondicional:
 Uma obra é arte se, e somente se, for a criação de um artista.
 Se uma obra for arte, é a criação de um artista e vice-versa.
 Uma condição necessária e suficiente para algo ser uma obra de arte é ser a criação de
um artista.
 Negação da bicondicional:
o Uma bicondicional é verdadeira quando p e q tem o mesmo valor de
verdade. Para negar p se e somente se q (p ↔ q), afirmamos p ou q,
mas não ambos.
 Algumas observações:
o Lógica clássica: ferramenta que funciona em um grande número de casos (mas não em todos).
 A análise dos conectivos sentenciais como funções de verdade não corresponde
exatamente ao modo pelo qual eles são usados na linguagem coloquial. Por outro lado,
ainda assim, a lógica sentencial é uma ferramenta poderosa para analisar argumentos.
Lembre-se que o objetivo da lógica, o problema que a lógica se propõe resolver, não é
elaborar uma teoria do significado mas sim estabelecer um critério e métodos para
determinar quando uma conclusão é conseqüência lógica de um conjunto de
premissas.
o Sobre a disjunção:
 É preciso distinguir a disjunção inclusiva (e/ou, ˅) da disjunção exclusiva (ou...ou, w,
v). Ambas são expressas em português pela palavra “ou”.
 Ex 1: Não podemos ter as duas coisas: Deus e o mal. Ou é Deus que existe ou é
o mal. (disjunção exclusiva)
 Ex 2: Permitir o aborto ou a eutanásia é legalizar o assassínio. (disjunção
inclusiva)
 Definição da disjunção exclusiva: (p ˅ q) ˄ ¬(p ˄ q)
 Na lógica clássica, toma-se a disjunção inclusiva como primitiva e a exclusiva como
derivada.
 A introdução da disjunção (˅-introdução) é permitida na lógica clássica, o que permite
da verdade de p, afirmar p ˅ q. Essa possibilidade, contudo, contraria uma máxima de
franqueza conversacional (segundo Grice), pois não se deve fazer uma asserção mais
fraca quando se pode fazer uma mais forte (isso faz crer que não sabemos se p ou q é
verdadeiro).
o Sobre a condicional:
 Condicional = implicação material.
 Em uma condicional se p, então q, dizemos que p é condição suficiente para q
e q é condição necessária para p.
o Dizemos que X é condição necessária para Y se X é uma circunstância
cuja ausência implica a ausência de Y.
o Dizemos que X é condição suficiente para Y se basta a ocorrência de X
para que tenhamos também Y.
o Bicondicional: quando, simultaneamente, duas sentenças são condição
suficiente e condição necessária uma da outra, i.e. se A, então B e se B,
então A são ambas verdadeiras.
 Há uma ambiguidade no termo implicação, que pode se referir (1) a uma
determinada relação entre frases declarativas ou (2) a um determinado tipo de
frase declarativa (as frases condicionais).
o (1) A relação de implicação entre duas frases declarativas pode ser (do
sentido mais fraco ao mais forte):
 Implicação material: P implica materialmente (p → q) no caso
de p ser falsa e/ou q verdadeira.
 O valor de verdade de uma implicação material não
exige nenhum tipo de conexão causal entre os conteúdos
das frases. Daí os exemplos contraintuitivos, como a
sentença ‘Brasília é a capital do Brasil’ implicar
materialmente que ‘A neve é branca’ ou ainda que
‘Buenos Aires é a capital do Brasil’ implicar
materialmente que ‘o universo é infinito’ ou que ‘o
universo não é infinito’.
 Implicação estrita: p implica estritamente q (p ⊢> q, p ⥽ q)
quando é impossível que p seja verdadeira e q falsa: □ (p → q).
 Assim, a frase ‘Brasília é a capital do Brasil’ não implica
estritamente que ‘A neve é branca’.
 Alguns paradoxos da implicação material levaram Lewis
a propor esse condicional mais forte (a implicação
estrita).
 Implicação lógica: p implica logicamente q quando p funciona
como premissa da qual se conclui q. (pode-se dizer que q é uma
consequência semântica de p: p╞ q).
 A sentença ‘Esta mesa é agora totalmente vermelha’ não
implica logicamente que ‘Esta mesa não é agora
totalmente verde’ (embora implique estritamente), mas
implica logicamente que ‘alguma mesa é vermelha’.
o (2) A implicação é usada para nomear um tipo de frase declarativa, a
condicional (se... então...), que é representada pelo operador lógico →,
que representa uma implicação material.
 A implicação formal não é uma condicional (como ‘se Jesus era
judeu, não era egípcio’), mas antes um argumento (como Jesus
era judeu; logo, não era egípcio).
Tabelas de verdade:
 As chamadas tabelas de verdade mostram como determinamos o valor de verdade de sentenças
formadas com os operadores da lógica sentencial. No lado esquerdo da tabela de verdade temos as
sentenças a partir das quais a sentença composta foi formada. O valor da sentença composta é dado
pela coluna da direita.
 As tabelas de verdade exprimem o significado dos operadores verofuncionais relevantes para a lógica
proposicional clássica.
o Tabela de verdade da negação:
p
V
F
¬p
F
V
 A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma sentença
verdadeira, quando negada, produz uma sentença falsa, e vice-versa. A sentença
verdadeira “Aristóteles é filósofo”, quando negada, “Aristóteles não é filósofo” (ou
não é o caso que Aristóteles é filósofo) produz uma sentença falsa. Na lógica clássica,
negar duas vezes uma sentença é equivalente a afirmar a própria sentença. Essa é a
chamada Lei da dupla negação : para uma sentença p qualquer, ¬ ¬ p é equivalente p.
o Tabela de verdade da conjunção:
 É fácil perceber que p ˄ q é verdadeira somente em uma situação: quando p e q são
ambas verdadeiras.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p˄q
V
F
F
F

o Tabela de verdade da disjunção:
 uma sentença p ou q é verdadeira quando uma das sentenças p e q é verdadeira ou
quando são ambas verdadeiras.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p˅q
V
V
V
F
o Tabela de verdade da disjunção exclusiva:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
F
V
V
F

o Tabela de verdade da condicional:
 Analisada como uma função de verdade, a condicional é denominada condicional
material. A condicional material é falsa apenas em um caso: quando o antecedente é
verdadeiro e o conseqüente falso.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
 Ex:
(1)
(2)
(3)
(4)
Todo mineiro é brasileiro.
Se Tancredo é mineiro, Tancredo é brasileiro.
Se Lula é mineiro, Lula é brasileiro.
Se Obama é mineiro, Obama é brasileiro.
o Sendo (1) verdadeira, todas as demais sentenças também são. Veja
 (2) corresponde à linha 1 da tabela, com antecedente e
conseqüente verdadeiros;
 (3) corresponde à linha 3 da tabela, pois tem antecedente falso,
‘Lula é mineiro’, e conseqüente verdadeiro ‘Lula é brasileiro’.
 (4) corresponde à linha 4 da tabela, pois tem antecedente e
conseqüente falsos – tanto ‘Obama é mineiro’ quanto ‘Obama é
brasileiro’ são sentenças falsas.

 A interpretação do uso dos condicionais na lógica clássica é, por vezes, contraintuitiva.
 Por exemplo, é verdadeira qualquer condicional com uma antecedente falsa.
Por exemplo: “Se Jesus era carioca, era francês” é verdadeira para a lógica
clássica (dado que o antecedente é falso), embora seja intuitivamente tomada
por falsa.
o Isso ocorre porque, intuitivamente, tendemos a interpretar a
condicional, equivocadamente, como um caso particular de uma
condicional geral (por exemplo, “se alguém é carioca, é francês”, o que
é efetivamente falso).
 A forma mais intuitiva de explicar a tabela de verdade da condicional material
(→) é tomar esse operador como equivalente à forma (¬ p ˅ q).
 Aqui, cabe mais uma vez lembrar que o objetivo da lógica não é esclarecer
significado das expressões da linguagem coloquial mas sim determinar se um
dado argumento é válido.
o Tabela de verdade da bicondicional (equivalência):
 A bicondicional é apenas a conjunção de duas condicionais (de p com q e vice-versa).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V

 Valorações:
o Do ponto de vista proposicional, temos dois tipos de fórmula:
o O valor de uma fórmula molecular pode ser obtido a partir do valor de seus componentes. E é
justamente isso que uma valoração é: uma atribuição de valor de verdade a todas as fórmulas
atômicas. As valorações, são, pois, interpretações simples, no nível proposicional.
o Ex:
o
o
o
o
o Para determinar a validade de um argumento, contudo, precisamos saber o valor de certas
fórmulas não apenas com respeito a uma certa valoração, mas em todos os casos possíveis. A
solução é simples: basta examinar o que são os 'casos possíveis' (isso corresponderia a todas
as valorações).

 Quando temos duas fórmulas atômicas (e.g. A e B), o número de combinações
possíveis é 4:

 Quando temos três fórmulas atômicas (e.g. A, B e C), o número de combinações
possíveis é 8:

 A partir daí, fica fácil calcular o resto, bastando acrescentar cada subfórmula na tabela
e seu valor de verdade até podermos determinar o valor da fórmula molecular em cada
valoração possível.
o Ex1: Vejamos então como avaliar a fórmula (¬A ˄ B) → ¬A
o Precisamos fazer a lista de todas as subfórmulas de (¬A ˄ B) → ¬A, pois, para calcular o valor
de qualquer fórmula, precisamos, obviamente, do valor de suas subfórmulas imediatas. Ora, a
lista das subfórmulas é:


Devemos simplesmente colocar essas subfórmulas em uma tabela (com 4 linhas, pois
temos duas fórmulas atômicas: A e B) e colocar, ao final, a fórmula molecular que
queremos avaliar:


o Ex2: Vejamos agora um exemplo com 3 fórmulas atômicas: (¬A ∨ C) ↔ ¬B
 A lista das subfórmulas é a seguinte:


 Uso de tabelas de verdade para detectar Tautologias, contradições e contingências:
o Tautologia: verdade lógica. Fórmulas que obtêm V em todas as linhas de sua tabela.

 A verdade da fórmula tautológica é independente dos valores de verdade de seus
componentes mais elementares (as fórmulas atômicas). Ou seja, ela é logicamente
verdadeira (sempre verdadeira em razão unicamente do significado dos operadores).
o Contradição: falsidade lógica. Fórmulas que obtêm F em todas as linhas de sua tabela.
 Ex: A ˄ ¬A, como “Jesus era judeu e não era judeu” (é diferente da falsidade da frase
“Jesus era egípcio”, que não é logicamente falsa).

o Temos assim uma contradição ou uma fórmula logicamente falsa.
o Contingência: são fórmulas que, dependendo do valor de verdade de suas fórmulas atômicas,
podem ser V ou F (sendo assim, sua verdade ou falsidade não pode ser determinada apenas
por meio lógicos).
o
o As tautologias são as leis lógicas. Abaixo, algumas das tautologias mais conhecidas:
o
Conseqüência lógica:



 Inspetores de circunstâncias (por meio de tabelas de verdade):
o As tabelas de verdade nos fornecem um método para determinar a validade de qualquer
argumento da lógica sentencial. Para saber se um dado argumento é válido, nós verificamos
com as tabelas de verdade se é possível as premissas serem simultaneamente todas
verdadeiras e a conclusão falsa.
o Modelo simplificado que permite avaliar os seguintes argumentos:
 A) Argumentos cuja validade depende da sua forma lógica (não serve para os
informais ou conceituais);
 B) Argumentos cuja validade é de caráter proposicional (não pode ter quantificadores
– por ex: “Habermas é um filósofo; logo, há filósofos”).
 C) Argumentos cuja validade é de caráter proposicional e que não dependem de outros
operadores diferentes dos 5 da lógica clássica (por exemplo: “Deus existe; logo, é
possível que Deus exista”, que envolve um operador modal).
o
o
o
Vamos tentar formalizar argumentos da linguagem ordinária, segundo a linguagem do CPC, e avaliar
sua validade fazendo uso de tabelas de verdade.
o Ex1: “É evidente que a vida faz sentido, dado que Deus existe. Se por acaso Deus não
existisse, a vida não faria sentido”.
 Formulação canônica do argumento: Se Deus não existir, a vida não faz sentido.
Mas Deus existe.
`
Logo, a vida faz sentido.
 Formalização:
¬p→¬q
p
∴q
 Montando a tabela de verdade, percebemos que o argumento é INVÁLIDO (pois as
premissas podem ser verdadeiras e a conclusão falsa):
(Premissa1) (Premissa2) (Conclusão)
p
V
V
F
F
q
¬p
¬q
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
¬p→ ¬ p
q
V
V
V
V
F
F
V
F
q
V
F
V
F
o Ex2: “É evidente que a vida faz sentido, dado que Deus existe. Se por acaso Deus a vida não
fizer sentido, Deus não existe”.
 Formulação canônica do argumento: Se a vida não fizer sentido, Deus não existe.
Mas Deus existe.
`
Logo, a vida faz sentido.
 Formalização:
¬p→¬q
q
∴p
 Montando a tabela de verdade, percebemos que o argumento é VÁLIDO (pois quando
as premissas são verdadeiras, a conclusão também é):
(Premissa1) (Premissa2) (Conclusão)
p
V
V
F
F
q
¬p
¬q
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
¬p→¬ q
q
V
V
V
F
F
V
V
F
p
V
V
F
F
o Outro exemplo: Considere a forma P → Q, P ⊨ Q (modus ponens):

 Como não há linha alguma na tabela na qual as premissas sejam verdadeiras e a
conclusão falsa, o argumento é válido.
o Vejamos agora um exemplo de uma forma inválida, P → Q, ¬ P ⊨ ¬ Q (negação do
antecedente):

 Repare que na linha da tabela, marcada com * todas as premissas são verdadeiras mas
a conclusão é falsa. Por essa razão, é uma forma inválida.
 Ainda que simples, as valorações já nos possibilitaram definir validade e conseqüência lógica, o
que nos permite testar a validade de muitos argumentos, ainda que isso não seja suficiente para
o CQC todo.
Bibliografia básica:
o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed.
UFMG, 2006. (Cap. 2: As principais conectivas intersentenciais, p. 49-88).
o MORTARI, Cezar. Introdução à lógica. São Paulo: Ed. UNESP, 2001. (Cap. 9: Valorações,
p. 129-154; Cap. 13: Sistemas axiomáticos e sistemas formais, p. 226-234; Cap. 14: Dedução
natural (I), p. 235-262; Cap. 15: Dedução natural (II), p. 263-267 - trecho).
o MURCHO, Desidério. O lugar da lógica na filosofia. Lisboa: Plátano, 2003 (cap. 4: Forma
lógica, p. 39-65; cap. 5: Lógica Clássica, trecho - p. 66-77).
o MURCHO, Desidério. “Regras de dedução natural”. In: BRANQUINHO, João; MURCHO,
Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.). Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. São
Paulo: Martins Fontes, 2006.
o RODRIGUES, Abílio. Lógica. São Paulo: WMF Martins Fontes, 2011. (cap. 2: A lógica
clássica, p. 26-47).
o RODRIGUES, Abílio. Verdade e validade II – lógica sentencial. (Manuscrito).
Bibliografia complementar:
o BERGMANN, Merrie; MOOR, James; NELSON, Jack. The logic book. 3ª ed. McGraw-Hill,
1998. (cap. 2-6: Sentential logic, p. 25-245).
o BRANQUINHO, João; MURCHO, Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.).
Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
o DA COSTA, Newton; CARRION, Rejane. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed.
da Universidade / UFRGS, 1988.
o DA COSTA, Newton; KRAUSE, Décio. Notas de lógica. Florianópolis: Núcleo de
Epistemologia e Lógica UFSC, 2004. (Cap. 2: Os alicerces da lógica proposicional clássica,
p. 21-48; Cap. 3: O cálculo proposicional clássico, p. 49-70).
o HURLEY, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 11ª ed. Wadsworth, 2012. (Cap. 6:
Propositional logic, p. 310-379; Cap. 7: Natural deduction in propositional logic, p. 380-441).
o LEMMON, E. J. Beginning logic. Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing, 1998. (Cap.
1-2: The propositional calculus, p. 1-91).
o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed.
UFMG, 2006. (Cap. 3: As principais expressões da lógica intersentencial, p. 89-138; Cap. 4:
Avaliação de argumentos intersentenciais simples, p. 139-172; Cap. 5: Avaliação de
argumentos intersentenciais complexos, p. 173-204).
o RAUTENBERG, Wolfgang. A concise introduction to mathematical logic. Springer, 2009.
(Cap. 1: Propositional logic, p. 1-40).