Raciocinio Lógico

LÓGICA
PROPOSIÇÃO
Denominamos proposição ( ou proposição lógica ou ainda sentença ) a toda oração declarativa
afirmativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa ( ou verdadeira ou falsa ). Daí o
nome lógica bivalente.
Exemplos :
a) 9 ≠ 5
b) 7 < 3
c) 2 ∈ Z
d) 3.5 + 1
e) 3x – 1 = 11
Naturalmente, as expressões d) e e) não são proposições.
Terminologia: Os valores lógicos de uma proposição são verdadeiro ( V ) ou falso ( F ).
Por exemplo: O valor lógico da proposição a) acima é verdadeiro, enquanto que o valor lógico da
proposição b) acima é falso.
PROPOSIÇÃO SIMPLES
É toda sentença que contém uma única afirmativa. São representadas por letras minúsculas do alfabeto,
preferencialmente p, q, r e t.
EXEMPLOS:
a) p: 2– 1 = – 2
b) q: 3 . 4 > 10
c) r: O Brasil é uma monarquia.
Negação de uma Proposição Simples
Dada uma proposição p, é sempre possível obtermos outra proposição cujo sentido seja contrário
ao de p. Esta proposição é chamada negação de p e é representada por “~ p” ( costuma-se ler “
não p” ou “não é verdade que p” ).
EXEMPLOS:
a) p: 7 – 2 = 5 tem como negação: ~ p: 7 – 2 ≠ 5
b) q: 3– 1 ≥ 2– 1 tem como negação: ~ q: 3– 1 < 2– 1
OBSERVAÇÕES:
(1) Pode-se verificar, pelos exemplos acima, que uma proposição e a sua negação têm valores
lógicos contrários. Este fato pode ser resumido na tabela abaixo:
p ~p
V F
F V
1
(2) A negação de ~ p ( chamada lei da dupla negação ) equivale à própria proposição p, isto é:
~ (~ p) é o mesmo que p
EXERCÍCIOS:
1. Quais das expressões abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são as verdadeiras?
a) 5 . 4 = 20
e) 3 + 4 > 0
b) 5 – 4 = 3
f) 11 – 4 . 2
c) 1 + 3 ≠ 1 + 6
d) (– 2)5 ≥ (– 2)3
2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Quais negações são verdadeiras?
a) 3 . 7 = 21
b) 3 . (11 – 7) ≠ 5
c) 3 . 2 + 1 > 4
d) 5 . 7 – 2 ≤ 5 . 6
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
Às vezes, trabalhamos não só com proposições ( no sentido que foi definido acima, isto é, que
podem ser classificadas de maneira inequívoca como verdadeiras ou falsas ), mas também com o
que chamamos de funções proposicionais, veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
Sabemos, que a rigor, 3x – 1 = 11 não é uma proposição, más é fácil observar que, a depender do valor
de x, a expressão 3x – 1 = 11 pode ser verdadeira ou falsa ( mais especificamente, para x = 4 a
expressão dada: 3x – 1 = 11 se torna uma proposição verdadeira e para qualquer x ≠ 4 a expressão
dada: 3x – 1 = 11 se torna uma proposição falsa ). Independentemente do valor lógico de 3x – 1 = 11
podemos negá-la. Assim se quisermos negar a função proposicional 3x – 1 = 11 ( que por um abuso de
linguagem, alguns autores denominam também de proposição ), teremos: 3x – 1 ≠ 11.
Exemplo 2:
Usando a mesma linha de raciocínio do exemplo 1 acima, pode-se falar em negação da “proposição”
a > b. Sua negação é a ≤ b.
Exemplo 3:
A frase “o cachorro fugiu“ não é, a rigor, uma proposição, pois não sabemos a qual cachorro
especificamente a frase se refere, se identificarmos o tal cachorro podemos determinar a veracidade ou
falsidade da afirmação “o cachorro fugiu“. Como havíamos comentado antes, alguns ( na verdade
muitos ) autores por um abuso de linguagem, denominam afirmações como essa ( “o cachorro fugiu“ )
de proposição ( ou seja, “estendem” a definição de proposição ).
Deste modo, independentemente do valor lógico de “o cachorro fugiu“ podemos negá-la. Sua negação é
“ o cachorro não fugiu” ou “ não é verdade que o cachorro fugiu”.
2
Seguiremos nos nossos estudos essa “convenção”, isto é, expressões como as dos exemplos 1, 2 e 3
serão chamadas de proposições.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
A partir de proposições simples, podemos construir novas proposições, mediante o emprego de
símbolos ( conectivos ) lógicos como conjunção, disjunção ( inclusiva e exclusiva ), condicional,
bicondicional.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Na verdade ao utilizarmos os conectivos entre as proposições
simples estaremos realizando operações entre essas proposições, isto é, entre os valores lógicos
( verdadeiro ou falso ) correspondentes a essas proposições. Portanto deveremos explicitar para
vocês, prezados alunos, qual o “resultado” de cada operação lógica.
CONJUNÇÃO
Colocando o conectivo e entre duas proposições p e q, obtemos uma proposição composta, p ∧ q,
denominada conjunção das proposições p e q.
ATENÇÃO: p ∧ q lê-se: p e q.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧ q
V
F
F
F
Definição: A conjunção entre duas proposições só é verdadeira, apenas se
ambas as proposições que a compõem são verdadeiras. Em qualquer outra
situação a proposição composta é falsa.
OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO:
1) p : 2 > 0 ( cujo valor lógico é verdadeiro = V )
q : 5 ≠ 5 ( cujo valor lógico é falso = F )
p ∧ q : 2 > 0 e 5 ≠ 5 ( é uma proposição composta falsa, pois V e F, pela tabela acima, tem falso
como resultado ).
2) p : 2 > 0 ( V )
q:2≠5(V)
p ∧ q : 2 > 0 e 2 ≠ 5 ( é uma proposição composta verdadeira, pois V e V, pela tabela acima, tem
verdadeiro como resultado ).
DISJUNÇÃO
Colocando-se o conectivo ou entre duas proposições, p e q, obtemos uma proposição composta, p ∨ q,
denominada disjunção ( disjunção inclusiva ) das proposições p e q.
ATENÇÃO: p ∨ q lê-se: p ou q.
3
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨ q
V
V
V
F
Definição: A disjunção entre duas proposições é falsa, apenas se ambas as
proposições que a compõem são falsas. Em qualquer outra situação a proposição
composta é verdadeira.
OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO:
1) p : 34 < 26 ( F )
q : 22 > ( – 3 )5 ( V )
p ∨ q : 34 < 26 ou 22 < ( – 3 )5 ( V ).
2) p : 34 < 26 ( F )
q : 22 < ( – 3 )5 ( F )
p ∨ q : 34 < 26 ou 22 < ( – 3 )5 ( F ).
.
HÁ TAMBÉM OUTRO TIPO DE DISJUNÇÃO CHAMADA DE DISJUNÇÃO EXCLUSIVA.
Dadas duas proposições p e q, podemos obter uma proposição composta, p ∨ q, denominada
disjunção ( disjunção exclusiva ) das proposições p e q.
ATENÇÃO: p ∨ q lê-se: ou p ou q.
Observe a tabela abaixo:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ∨ q
F
V
V
F
A disjunção entre duas proposições é verdadeira, apenas se as proposições
que a compõem tiverem valores lógicos diferentes.
Por exemplo, considere que:
p:2>0(V)
q:5≠5 (F)
p ∨ q : ou 2 > 0 ou 5 ≠ 5 ( V )
CONDICIONAL
Colocando-se o conectivo se antes das afirmativas e a palavra então entre elas, obtemos uma
proposição composta, p → q, denominada condicional das sentenças p e q.
ATENÇÃO: p → q lê-se: Se p então q.
4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
Propriedade: A condicional somente é falsa se a primeira das proposições
é verdadeira e a segunda é falsa.
Por exemplo, considere que:
p:5<2 (F)
q:2∈Z (V)
p → q : Se 5 < 2 então 2 ∈ Z ( V )
BICONDICIONAL
Colocando-se o conectivo se e somente se entre duas proposições, p e q, obtemos uma proposição
composta, p ↔ q, denominada bicondional das sentenças p e q.
ATENÇÃO: p ↔ q lê-se: p se e somente se q.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ↔q
V
F
F
V
Propriedade: A bicondicional é verdadeira, se as proposições que a
compõem possuem valores lógicos iguais.
Por exemplo, considere que:
p : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a ( F )
q : um quadrado de lado a tem área a2 ( V )
p ↔ q : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a se e somente se sua área for a2. ( F )
PODEMOS USAR A TABELA ABAIXO, PARA SINTETIZAR OS RESULTADOS ACIMA:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ∧ q
V
F
F
F
p∨ q
V
V
V
F
p ∨ q
F
V
V
F
p→q
V
F
V
V
p↔q
V
F
F
V
EXERCÍCIOS:
1) Classificar em verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 3 > 1 e 4 > 2
d) 16 = 6 ou mdc(4,7) = 2
b) 1/2 < 3/4 ou 5 < 11
e) 2 – 1 = 1 → 5 + 7 = 3 . 4
c) (– 1)6 = – 1 e 25 < (– 2)7
f) 22 = 4 ↔ (– 2)2 = 4
5
2) Admitindo que p e q são verdadeiras, r é falsa e t é uma proposição cujo valor lógico não é
conhecido, determine o valor (V ou F), de cada proposição abaixo:
a) p → r
d) (p ∨ r) ↔ q
g) ~ p ↔ ~ q
b) p ↔ q
e) p → (q → r)
h) (~ p ↔ r ) ∨ t
c) r → q
f) p → (q ∧ r)
i) r → (q ∧ t )
3) Considere ao proposições:
i) p: 2,4333... ∈ Q
ii) q: – 32 = 9
iii) r: (− 5 )2 = −5
Assinale V ou F nas proposições a seguir:
p ∧ q
p∨ r
q→r
p↔ r
~p → ~q
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
~q ∧ r
(p ∧ ~q) → r
~q ↔ (p → r)
(~p ∧ ~r) → (p → q)
~(~q ∨ p) ∨ (r → p)
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
4) Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo,
a)
b)
c)
d)
e)
Jair não está machucado nem quer jogar.
Jair não quer jogar nem está machucado.
Jair não está machucado e quer jogar.
Jair está machucado e não quer jogar.
Jair está machucado e quer jogar.
5) Se Pedro gosta de pimenta, então ele é falante. Portanto,
a)
b)
c)
d)
e)
Se Pedro não é falante, então ele não gosta de pimenta.
Se Pedro é falante, então ele gosta de pimenta.
Se Pedro é falante, então ele não gosta de pimenta.
Se Pedro não gosta de pimenta, então ele não é falante.
Se Pedro gosta de pimenta, então ele não é falante.
6) Considere a proposição “ Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito.” Como Pedro não é
bonito, então
a)
b)
c)
d)
e)
“ Pedro é estudioso e trabalhador.”
“ Pedro é estudioso ou trabalhador.”
“ Pedro não é estudioso ou não é trabalhador.”
“ Pedro é estudioso e não é trabalhador.”
“ Pedro não é estudioso e não é trabalhador.”
6
7) Considere as seguintes premissas ( proposições verdadeiras )
i) “ Se não chover, Cláudia vai à praia.”
ii) “ Se chover, Fábia vai ao clube.”
Como choveu o dia inteiro, então:
a)
b)
c)
d)
e)
“ Cláudia não foi à praia.” e “ Fábia foi ao clube.”
“ Cláudia e Fábia não foram à praia.”
“ Cláudia e Fábia não foram ao clube.”
“ Cláudia foi à praia.”
“ Fábia foi ao clube.”
8) A proposição composta (p ↔ q)
a)
b)
c)
d)
e)
∧
~ q tem valor lógico V; então o valor lógico da proposição p:
só pode ser V
pode ser V ou F
só pode ser F
depende do valor de q
não pode ser determinado a partir dessa proposição.
9) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a)
b)
c)
d)
e)
p ∧ q é verdadeira, qualquer que seja q
p ∨ q é verdadeira, qualquer que seja q
p ∧ q é verdadeira, só se q for falsa
p → q é falsa, qualquer que seja q
p ↔ q é falsa, qualquer que seja q
10) A proposição ( ~ p ∨ q ) → ( q ∧ r ) é VERDADEIRA se
a) p e q são verdadeiras e r falsa.
b) p, q e r são verdadeiras.
c) p e q são falsas e r verdadeira.
d) p e r são falsas e q verdadeira.
e) p, q e r são falsas.
11) Sendo
i) p: 6,143143... ∈ Q
ii) q: todo racional possui inverso
A única proposição falsa é:
7
a) p
∨
q
b) p ∧ q
c) p → q
d) ( p ∧ q ) → p
e) ~ (~ p)
12) José quer ir ao cinema assistir ao filme ”Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está
sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou
não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então
Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme
“Fogo contra Fogo” está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa.
Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido
Luís e Júlio não estão enganados
Júlio está enganado, mas não Luís
Luís está enganado, mas não Júlio
José não irá ao cinema
13) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi
efetivamente cometido pôr um ou mais de um deles, já que podem Ter agido individualmente ou
não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada, B) ou o
mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois, C) o mordomo não é inocente.
Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
a governanta e o mordomo são os culpados
somente o cozinheiro é inocente
somente a governanta é culpada
somente o mordomo é culpado
o cozinheiro e o mordomo são os culpados
14) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro
falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Nestor e Júlia disseram a verdade
Nestor e Lauro mentiram
Raul e Lauro mentiram
Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
Raul e Júlia mentiram
15) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma
Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é
cinza, o carro de César é o Santana, o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da
Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
cinza, verde e azul
azul, cinza e verde
azul, verde e cinza
cinza, azul e verde
verde, azul e cinza
8
16) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então
Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma,
logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Celso compra um carro e Ana não vai à África
Celso não compra um carro e Luís não compra o livro
Ana não vai à África e Luís compra um livro
Ana vai à África ou Luís compra um livro
Ana vai à África e Rui não vai a Roma
EQUIVALENTES DA CONDICIONAL
A condicional p → q possui, entre outras, duas proposições importantes, que lhe são equivalentes:
1) ~ p ∨ q
2) ~ q → ~ p ( a proposição ~ q → ~ p é chamada de contrapositiva da aplicação p → q )
RESUMINDO: A proposição p → q tanto é equivalente à proposição ~ q → ~ p quanto à
proposição ~ p ∨ q.
ASSIM, PODEMOS AFIRMAR QUE:
Se o pássaro canta então está vivo ( p → q )
SIGNIFICA O MESMO QUE:
Se o pássaro não está vivo então não canta ( ~ q → ~ p )
E TAMBÉM SIGNIFICA O MESMO QUE:
O pássaro não canta ou está vivo ( ~ p ∨ q )
Mesmo frases malucas ( risos! ), podem ser reescritas como foi indicado acima, por exemplo:
Se o macaco voa então João é uma pedra ( p → q )
SIGNIFICA O MESMO QUE:
Se João não é uma pedra então o macaco não voa ( ~ q → ~ p )
E TAMBÉM SIGNIFICA O MESMO QUE:
O macaco não voa ou João é uma pedra ( ~ p ∨ q )
EXERCÍCIOS
1) Considere a sentença “Se é feriado, os bancos estão fechados.”
A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é
a) “Se os bancos não estão fechados, não é feriado.”
b) “Se os bancos estão fechados, não é feriado.”
c) “Se não é feriado, os bancos estão fechados.”
d) “Se os bancos estão fechados, é feriado.”
e) “Se é feriado, os bancos estão fechados.”
9
2) Considere a sentença “Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas.”A CONTRAPOSITIVA
dessa sentença é
a) “Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval.”
b) “Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval.”
c) “Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.”
d) “Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval.”
e) “Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.”
3) Se Rubens estudar, então passará no concurso. Deste modo, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
se Rubens não passar no concurso, então não terá estudado.
o estudo de Rubens é condição necessária para que ele passe no concurso.
se Rubens não estudar, não passará no concurso.
Rubens passará no concurso só se estudar.
mesmo que Rubens estude, ele não passará no concurso.
4) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente eqüivalente a dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro
5) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer
que:
a)
se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b)
se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c)
se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d)
se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e)
se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
TABELA – VERDADE
Podemos construir muitos raciocínios que podem se deduzidos das convenções e definições
estabelecidas anteriormente. Vamos demonstrar algumas equivalências e propriedades usando as
tabelas de verdade ( ou tabelas – verdade ).
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
CONJUNÇÃO
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
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Exemplo: A negação de "o carro é preto e a pedra é dura" é " o carro não é preto ou a pedra não é
dura ".
DISJUNÇÃO
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Exemplo: A negação de "estudo ou trabalho" é "não estudo e não trabalho".
CONDICIONAL
~(p → q) ⇔ p ∧ ~q
Exemplo: A negação de "se sou baiano, então sou brasileiro" é "sou baiano e não sou brasileiro".
BICONDICIONAL
A bicondicional pode ser negada de duas maneiras:
~(p ↔ q) ⇔ ~p ↔ q
ou
~(p ↔ q) ⇔ p ↔ ~q
Exemplo: A negação de "3 > 2, se e somente se 2∈ N" pode ser feita de duas formas:
a) 3 ≤ 2, se e somente se 2 ∈ N
b) 3 > 2 , se e somente se 2 ∉ N
EXERCÍCIOS
1) Negar as proposições:
a) 3 é impar e dois é primo;
b) Magno é Bahia ou Nelson não é Vitória;
c) Se x2 = 4, então x = ±2 ;
d) x 2 = x , se e somente se x ≥ 0.
2) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é
a)
b)
c)
d)
e)
se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
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3) A negação da proposição “A Seleção Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo,
mas não jogou bem.”
a) “A Seleção Brasileira de Futebol não se classificou para a Copa do Mundo e não jogou bem.”
b) “A Seleção Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo ou não jogou bem.”
c) “A Seleção Brasileira de Futebol não se classificou para a Copa do Mundo, mas jogou bem.”
d) “A Seleção Brasileira de Futebol não se classificou para a Copa do Mundo ou jogou bem.”
e) “A Seleção Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo e não jogou bem.”
SENTENÇAS ABERTAS, QUANTIFICADORES
Já vimos que expressões como x + 1 = 7, x > 2 e x3 = 2x2, não podem ser classificadas como
verdadeiras ou falsas, pois para isso dependem do valor assumido pela variável x. Sendo assim, estas
expressões, no sentido formal não constituem proposições, elas são denominadas sentenças abertas.
No entanto, vamos mostrar a vocês que podemos transformá-las em proposições, juntando-lhes os
chamados quantificadores.
OBSERVAÇÕES:
1) Salvo menção em contrário os valores numéricos de x poderão ser quaisquer números reais. Em
outras palavras, costuma-se dizer que o nosso universo lógico, normalmente simbolizado por U, será,
salvo menção em contrário, o conjunto R;
2) Nas sentenças matemáticas abaixo, a expressão “tal que” será abreviada por um ponto e vírgula.
QUANTIFICADORES:
Universal : ∀ x ( Lê-se: Todo x ou Para todo x ou Qualquer que seja x )
Exemplo: ( ∀ x ) ( x + 1 = 7 ), que se lê: “Para qualquer valor de x, x + 1 = 7” ( proposição falsa ).
Existencial : ∃ x ( Lê-se: Existe pelo menos um x ou Existe x ou Existe algum x )
Exemplo: ( ∃ x ); ( x + 1 = 7 ), que se lê: “Existe algum x tal que x + 1 = 7” ( proposição verdadeira ).
Existencial Particular : ∃! x ( Lê-se: Existe um único x ou Existe apenas um x )
Exemplo: ( ∃! x ); ( x + 1 = 7 ), que se lê: “Existe apenas um x tal que x + 1 = 7” ( proposição
verdadeira ).
NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADORES:
Nas explicações que se seguem, considere U um universo lógico e p ( x ) uma proposição:
1) ~ ( ∀ x ∈ U, p ( x ) ) = ∃ x ∈ U; ~ p ( x )
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EXEMPLOS:
a. ~ ( ∀ x ∈ R, x2 > 4 ) = ∃ x ∈ R; x2 ≤ 4
b. ~ ( ∀ x ∈ R, x2 ≥ 0 ) = ∃ x ∈ R; x2 < 0
c. ~ ( Todo homem é mortal ) = Existe pelo menos um homem que não é mortal ( ou, o
que é o mesmo, Existe pelo menos um homem imortal ).
RESUMINDO: Negação do quantificador Universal: Troca-se ∀ x por ∃ x e nega-se a proposição.
2) ~ ( ∃ x ∈ U, p ( x ) ) = ∀ x ∈ U; ~ p ( x )
EXEMPLOS:
a) ~ ( ∃ x ∈ R, x2 > 16 ) = ∀ x ∈ R; x2 ≤ 16
b) ~ ( ∃ x ∈ R, x2 ≥ 0 ) = ∀ x ∈ R; x2 < 0
c) ~ ( Existe homem que é mortal ) = Todo homem não é mortal ( ou, o que é o mesmo:
Todo homem é imortal ).
RESUMINDO: Negação do quantificador Existencial: Troca-se ∃ x por ∀ x e nega-se a proposição.
3) Negação do quantificador Nenhum: Troca-se Nenhum por ∃x e conserva-se a proposição
EXEMPLOS:
a) A negação de: “ Nenhuma pessoa que contrai o vírus da AIDS sobrevive” é “Existe
alguma pessoa que contrai o vírus da AIDS e sobrevive”.
b) ~ ( Nenhum homem é mortal ) = Existe homem que é mortal.
EXERCÍCIOS:
1) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é
a) “Todas as mulheres são boas motoristas.”
b) “Algumas mulheres são boas motoristas.”
c) “Nenhum homem é bom motorista.”
d) “Todos os homens são maus motoristas.”
e) “Ao menos um homem é mau motorista.”
2) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: Nenhum pescador é mentiroso
a)
b)
c)
d)
e)
Algum pescador é mentiroso.
Nenhum mentiroso é pescador.
Todo pescador não é mentiroso.
Algum mentiroso não é pescador.
Algum pescador não é mentiroso.
13
3) A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.” é
a) “Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.”
b) “Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.”
c) “Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.”
d) “Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.”
e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.”
4) A negação da sentença “Todos os triângulos são eqüiláteros.” é
a) “Todos os triângulos não são eqüiláteros.”
b) “Existe triângulo que não é eqüilátero.”
c) “Existe triângulo que é eqüilátero.”
d) “Nenhum triângulo é eqüilátero.”
e) “Todos os triângulos são isósceles.”
5) A negação da sentença “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada” é
a) “Todas as pessoas que choram muito ficam desamparadas.”
b) “Todas as pessoas que choram muito não ficam desamparadas.”
c) “Algumas pessoas que choram muito ficam desamparadas.”
d) “Algumas pessoas que choram muito não ficam desamparadas.”
e) “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada.”
6) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico,
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
7) Dar a negação de "Todo homem bom é justo e existe torcedor do Vitória que não é bom de bola".
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DIAGRAMAS LÓGICOS
Diagramas lógicos são diagramas de Venn ( normalmente curvas planas fechadas, como circunferências
ou elipses ) que servem para representar certas proposições quantificadas.
EXEMPLO:
Vamos desenhar um ( ou mais ) diagramas de Venn que possam representar as situações lógicas
abaixo:
a) Todo artista é inteligente
b) Nenhum ladrão é honesto
c) Algum político é honesto ( Não esqueça, que em lógica, algum tem o mesmo significado que: existe
ao menos um, isto é, é possível que alguns possa significar todos )
EXERCÍCIOS:
1) ( ESAF ) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,
portanto, necessariamente que:
a)
b)
c)
d)
e)
todo C é B
todo C é A
algum A é C
algum B não é A
algum A não é C
2) ( ESAF ) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então,
também é necessariamente verdade que
a)
b)
c)
d)
e)
nenhum músico é escritor
algum escritor é músico
algum músico é escritor
algum escritor não é músico
nenhum escritor é músico
3) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores
são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade
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a)
b)
c)
d)
e)
alguns filósofos são professores
alguns professores são filósofos
nenhum filósofo é professor
alguns professores não são filósofos
nenhum professor é filósofo
4) Considere as seguintes proposições:
I:Todo artista é simpático.
II:Todo político não é simpático.
Pode-se afirmar que
a) alguns artistas são políticos.
b) algumas pessoas simpáticas são políticos.
c) nenhum artista é simpático.
d) nenhum artista é político.
e) nenhuma pessoa simpática é artista.
16
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
CONCEITO DE ARGUMENTO:
Argumento é um conjunto formado por certas proposições, chamadas premissas, consideradas como
verdadeiras e uma outra proposição chamada de conclusão. Normalmente o argumento tem a forma:
Premissa 1
Premissa 2
.
.
.
Premissa n
__________
Conclusão
EXEMPLO:
Magno é legal ( Premissa 1 )
Maria é bonita ou Magno não é legal ( Premissa 2 )
______________________________
Maria é bonita ( Conclusão )
A lógica de argumentação é uma ciência composta por regras usadas para a decisão sobre a validade
de argumentos ( essas regras estão relacionadas com as tabelas que estudamos ).
♦ IMPORTANTE:
a) Se as premissas ( assumidas sempre como verdadeiras ) nos levarem a uma conclusão sempre
verdadeira, o argumento é dito válido.
b) Se as premissas ( assumidas sempre como verdadeiras ) nos levarem a uma conclusão falsa ( no
sentido de que não possamos afirmar com toda certeza seu valor lógico a partir das premissas ou que
seu valor lógico é com toda certeza falso ), o argumento é dito não válido. Ou simplesmente, o
argumento é chamado de não válido se não for válido, como definido no item a) acima. Ou ainda, um
argumento é falso se houver alguma possibilidade da conclusão assumir o valor lógico falso.
Vamos resolver alguns exercícios para que você possa compreender melhor a lógica de argumentação.
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TESTE A VALIDADE DOS SEGUINTES ARGUMENTOS:
1) Magno é legal ( Premissa 1 )
Se Maria é bonita então Magno não é legal ( Premissa 2 )
_______________________________________________
Maria não é bonita ( Conclusão )
2) Magno é legal ( Premissa 1 )
Se Maria é bonita então Magno não é legal ( Premissa 2 )
_______________________________________________
Maria é bonita ( Conclusão )
3) Magno é legal ( Premissa 1 )
Maria é bonita ou Magno não é legal ( Premissa 2 )
_________________________________________
Maria é bonita ( Conclusão )
4) Magno é legal ( Premissa 1 )
Maria é bonita ou Magno não é legal ( Premissa 2 )
_________________________________________
Maria não é bonita ( Conclusão )
5) Magno não é legal ( Premissa 1 )
Maria é bonita e Magno não é legal ( Premissa 2 )
________________________________________
Maria é bonita ( Conclusão )
6) Magno não é legal ( Premissa 1 )
Maria é bonita e Magno não é legal ( Premissa 2 )
________________________________________
Maria não é bonita ( Conclusão )
7) Maria é bonita ( Premissa 1 )
Se Maria é bonita então Magno não é legal ( Premissa 2 )
______________________________
Magno não é legal ( Conclusão )
18
8) Maria é bonita ( Premissa 1 )
Se Maria é bonita então Magno não é legal ( Premissa 2 )
______________________________
Magno é legal ( Conclusão )
9) 2 < 3 ( Premissa 1 )
Se 4 + 1 = 5 então 2 < 3 ( Premissa 2 )
______________________________
4 + 1 = 5 ( Conclusão )
10) 2 < 3 ( Premissa 1 )
Se 4 + 1 = 5 então 2 < 3 ( Premissa 2 )
______________________________
4 + 1 ≠ 5 ( Conclusão )
11) Sobre os seguintes argumentos que seguem, podemos afirmar:
1º argumento:
Este argumento não é incorreto
_________________________
Logo este argumento é correto
a) são ambos não válidos
2 º argumento:
Se este argumento for correto, então ele não será inválido
__________________________________________
Assim, se ele for inválido, então ele será incorreto
b) são ambos válidos
d) o 1º não é válido e o 2º é válido
c) o 1º é válido e o 2º não é válido
e) Nada é possível afirmar
12) Classificando os argumentos que seguem em válido (V) e não-válido (N), a seqüência correta
obtida, para os argumentos 1, 2 e 3, nesta ordem, é:
argumento 1:
Nenhum F é G
Todo G é H
_____________
argumento 2:
Todo F é G
Nenhum G é H
______________
argumento 3:
Algum F é G
Algum G é H
____________
Nenhum F é H
Nenhum F é H
Algum F é H
a) N, V, N
b) N, V, V
c) V, V, N
d) V, N, V
13) Considere os seguintes argumentos:
I. Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo.
Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo
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II. Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França.
Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca.
III. Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15.
Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo.
A validade dos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte seqüência:
a) Válido, Válido, Válido
b) Não-Válido, Não-Válido, Válido
c) Válido, Não-Válido, Válido
d) Válido, Válido, Não-Válido
e) Não-Válido, Não-Válido, Não-Válido
14) Considere os argumentos abaixo:
I. Se 6 não é par, então 3 não é primo.
Mas 6 é par.
Logo 3 é primo.
II. Se faz frio, Margarete fica em casa.
Margarete não ficou em casa.
Logo não fez frio.
III. Se você tem ar condicionado, então não passa calor.
Quem mora em Foz do Iguaçu tem ar condicionado.
Logo, se você mora em Foz do Iguaçu, não passa calor.
O ( s ) argumento ( s ) DEDUTIVO ( S ) é ( são )
a) I e II.
d) Somente III.
b) II e III.
c) Somente I.
e) I, II e III.
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15) Considere as seguintes premissas ( onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios ):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"
Premissa 2: "X não está contido em P"
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a)
b)
c)
d)
e)
Y está contido em Z
X está contido em Z
Y está contido em Z ou em P
X não está contido nem em P nem em Y
X não está contido nem em Y e nem em Z
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Denominamos análise combinatória à parte da matemática que estuda as técnicas de contagem de
agrupamentos que podem ser formados com elementos de um dado conjunto. Os agrupamentos mais
comuns são os arranjos, as combinações e as permutações.
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ( PFC )
Se um evento é composto de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ocorrer de m modos e a
segunda pode ocorrer de n modos, então o número de modos diferentes de realizar o evento é m.n .
Exemplo: Prof. Sônia deseja formar conjuntos calça - blusa para vestir-se. Se ela dispõe de 6 calças e
10 blusas para escolher, de quantos conjuntos diferentes poderá dispor?
Resposta: Pelo PFC: 6 .10 = 60 conjuntos calça - blusa.
2. ARRANJOS
Arranjos Simples ( sem repetição ) são agrupamentos nos quais a ordem é importante ( isto é, ao
mudarmos a ordem dos elementos num agrupamento qualquer, formamos um novo agrupamento ).
Exemplo: Com os algarismos 2 e 3, quantos números de dois algarismos podem ser formados, sem
repetição de algarismos?
Note que são apenas dois números: 23 e 32.
Tome, pôr exemplo o agrupamento ( número ) 23, ao mudarmos a ordem dos algarismos deste número
constituímos um novo agrupamento, isto é, o número 32. Logo, 23 e 32 são dois exemplos de arranjos
possíveis com os dígitos 2 e 3.
3. PERMUTAÇÕES
Permutações Simples são arranjos simples que envolvem todos os elementos do conjunto.
4. COMBINAÇÕES
Combinações Simples ( sem repetição ) são agrupamentos nos quais a ordem não é importante
21
( ou seja, ao mudarmos a ordem dos elementos num agrupamento qualquer, não formamos um novo
agrupamento ).
Exemplo: Os conjuntos A = { 2, 3, 5 } e B = { 3, 5, 2 } são combinações iguais, pois ao mudarmos a
ordem dos elementos do conjunto A, não formamos um novo conjunto ( pois A = B ).
5. FÓRMULAS PRINCIPAIS
OBSERVAÇÃO: O símbolo !, em matemática lê-se fatorial e, pôr exemplo:
3! = 3.2.1 = 6 ( lê-se o fatorial de 3 é igual a seis ou 3 fatorial é igual a seis )
4! = 4.3.2.1 = 24
Pôr Convenção: 0! = 1 e 1! = 1
ARRANJOS:
Sem repetição :
An , p =
n!
( n − p )!
COMBINAÇÕES :
Cn , p =
n!
p !( n − p ) !
Com repetição :
An , p = n p
PERMUTAÇÕES :
Sem repetição :
Pn = n !
Com repetição :
Pn ,a ,b ,c =
n!
a !b !c !
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( Resoluções em sala )
1) Num estádio de futebol há 12 portas de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa
entrar pôr uma porta e sair pôr outra diferente? Resp. 132
2) ACM possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele poderá vestir um
terno, uma camisa e um par de sapatos? Resp. 600
3) Uma prova consta de 12 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas esse teste poderá ser
respondido? Resp. 4.096
4) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa
se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual é o número mínimo de peças
( número de paletós mais número de calças ) de que ele precisa? Resp. 10
22
5) Quantos divisores positivos tem o número 180? Resp. 18
6) Quatro linhas de ônibus unem a cidade A à cidade B e três linhas unem a cidade B à cidade C. Um
usuário vai viajar de A para C, passando pôr B e vai voltar para A, passando novamente pôr B. De
quantos modos diferentes esse usuário poderá escolher as linhas, se na volta ele não puder usar a
linha que usou na ida? Resp. 72
7) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números naturais de 3 algarismos podem ser escritos?
Destes números, quantos são formados pôr algarismos distintos? Resp. 125 e Resp. 60
8) Quantas placas de licença de automóveis podem ser formadas pôr três letras e quatro algarismos,
sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismos distintos? E se os algarismos puderem ser
repetidos? Resp. 630.000 e Resp. 1.250.000
9) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais ímpares de três algarismos distintos
podemos formar? Resp. 120
10) Quantos são os anagramas da palavra MAGNO ? ( anagramas são “palavras” formadas com as
mesmas letras da palavra dada. Tais “palavras” podem não ter significado na linguagem comum ).
Resp. 120
11) Com relação à palavra TEORIA:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Quantos anagramas existem? Resp. 720
Quantos anagramas começam pôr T? Resp. 120
Quantos anagramas começam pôr T e terminam pôr A? Resp. 24
Quantos anagramas começam pôr vogal? Resp. 480
Quantos anagramas têm as vogais AEIO juntas e nesta ordem? Resp. 6
Quantos anagramas têm as vogais juntas? Resp. 144
12) Quantos são os anagramas da palavra:
a) ELEGER? Resp. 120
b) CANDIDATA? Resp. 30.240
c) MISSISSIPI? Resp. 6.300
13) Quantos subconjuntos do conjunto A = { 1, 2, 6, 8, 9} têm exatamente 2 elementos? Resp. 10
14) Quantas diagonais tem um decágono ( polígono de 10 lados )? Resp. 35
15) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas, se podemos escolhê-las dentre 7 pessoas?
Resp. 35
16) Deve ser formada uma comissão de 3 estatísticos e 3 economistas, escolhidos entre 7 estatísticos e 6
economistas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formadas essas comissões?
Resp. 700
23
17) Um examinador dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria, para montar uma prova de 4
questões. Quantas provas diferentes ele pode montar, usando 2 questões de álgebra e 2 de
geometria? Resp. 90
18) Uma empresa tem 12 diretores, sendo que um deles é presidente e o outro é vice-presidente.
Quantas comissões distintas, de seis diretores, podem ser formadas, sempre contendo o presidente e
o vice-presidente como dois de seus membros? Resp. 210
19) ( ESAF ) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10
funcionários de uma empresa?
a) 120
b) 210
c) 720
d) 4.050
c) 5.040
Resp. b)
20) ( ESAF ) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma possibilidade de
vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os três primeiros lugares?
a) 240
b) 270
c) 420
d) 720
e) 740
Resp. d)
PROBABILIDADES
CONCEITOS BÁSICOS
A teoria da probabilidade ocupa-se do cálculo da chance de ocorrência de determinado evento, levando
em conta as condições em que esse evento pode ocorrer.
Pôr exemplo: No lançamento de um dado honesto qual a probabilidade de ocorrer o número 4?
Veremos mais adiante que a resposta é 1/6.
Experimento Aleatório ( ou não determinístico )
É aquele experimento que pode ser repetido inúmeras vezes, sob idênticas condições, sendo que o
resultado de cada repetição não pode ser previsto antes da sua realização.
Pôr exemplo: No lançamento de um dado honesto, determinar o número da face voltada para cima.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Símbolo: A
Pôr exemplo: No lançamento de um dado honesto podem ocorrer os seguintes resultados:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ( Espaço Amostral )
24
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE
P ( E ) = m/n
Onde: m = número de resultados favoráveis ao evento E.
n = número de resultados possíveis ( desde que igualmente prováveis ).
OBSERVAÇÃO: Dois eventos são chamados independentes, quando P ( A ∩ B ) = P ( A ) .P ( B )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( Resoluções em sala )
1) No sorteio de um número natural de 1 a 20, calcule as probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
De ocorrer número par;
Resp. 1/2 = 50%
De ocorrer número ímpar; Resp. 1/2 = 50%
De ocorrer número primo; Resp. 2/5 = 40%
De não ocorrer número primo; Resp. 3/5 = 60%
De ocorrer um múltiplo de 5; Resp. 1/5 = 20%
De não ocorrer um múltiplo de 5; Resp. 4/5 = 80%
De ocorrer um divisor de 20. Resp. 3/10 = 30%
O que você conclui sobre a soma das probabilidades das letras c) e d) acima; e das letras e) e f)?
2) Uma urna contém seis bolas vermelhas numeradas de 1 a 6 e quatro bolas amarelas numeradas de 7
a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determine as probabilidades:
a)
b)
c)
d)
De sair uma bola amarela; Resp. 2/5
De sair uma bola vermelha; Resp. 3/5
De sair uma bola com número par; Resp. 1/2
De sair uma bola amarela com número par. Resp. 1/5
3) Calcular a probabilidade de se obter, no lançamento de um dado honesto, um ponto múltiplo de 2 e
um ponto múltiplo de três. Resp. 1/6
4) Calcular a probabilidade de se obter, no lançamento de um dado honesto, um ponto múltiplo de 2
ou um ponto múltiplo de três. Resp. 2/3
( Podemos usar a fórmula: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) )
5) Uma urna contém 3 fichas azuis, 5 fichas brancas e 2 fichas cinzas. Supondo a extração de uma
ficha, calcular a probabilidade de se obter uma ficha azul ou uma ficha branca. Resp. 4/5
6) ( ESAF ) Num sorteio, concorreram 50 bilhetes, com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete
sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade do número sorteado ser 25, é:
a) 15%
b) 5%
c)10%
d) 30%
e) 20%
Resp. c)
25
7) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade de o número ser par? Resp. 1/2
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50? Resp. 24/49
c) Qual a probabilidade de o número ser divisível pôr 5, dado que é par? Resp. 1/5
8) Supondo que numa pesquisa realizada com 200 pessoas tenha-se chegado aos seguintes resultados:
90 homens alfabetizados, 10 homens não alfabetizados e 150 pessoas alfabetizadas, calcule a
probabilidade de se obter:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Um homem; Resp. 1/2
Um homem alfabetizado; Resp. 9/20
Uma mulher; Resp. 1/2
Uma mulher alfabetizada; Resp. 3/10
Uma mulher não alfabetizada; Resp. 1/5
Uma pessoa não alfabetizada. Resp. 1/4
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